《河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》5-4實對稱矩陣的對角化》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》5-4實對稱矩陣的對角化（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、定 理 1 對 稱 矩 陣 的 特 征 值 為 實 數(shù) . 說 明 ： 本 節(jié) 所 提 到 的 對 稱 矩 陣 ， 除 非 特 別 說明 ， 均 指 實 對 稱 矩 陣 定 理 1的 意 義 ., 0, 0)( , i以 取 實 向 量從 而 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 可系 知 必 有 實 的 基 礎(chǔ) 解由是 實 系 數(shù) 方 程 組線 性 方 程 組 所 以 齊 次為 實 數(shù)的 特 征 值由 于 對 稱 矩 陣 AE xAEA ii ., , 2 21212 121 正 交與則若是 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 的 兩 個 特 征 值是 對 稱 矩 陣設(shè)定 理 ppp pA 證 明 , 212
2、22111 AppApp , AAA T對 稱 TTT Appp 11111 ,11 ApAp TTT 于 是 22121211 ppApppp TTT ,212 pp T .0 2121 pp T,21 .21 正 交與即 pp.021 pp T . , , 31素 的 對 角 矩 陣 個 特 征 值 為 對 角 元的是 以其 中 使則 必 有 正 交 矩 陣階 對 稱 矩 陣為設(shè)定 理 nAAPP PnA 根 據(jù) 上 述 結(jié) 論 ， 利 用 正 交 矩 陣 將 對 稱 矩 陣 化為 對 角 矩 陣 ， 其 具 體 步 驟 為 ：將 特 征 向 量 正 交 化 ;3. 將 特 征 向 量 單
3、 位 化 .4.1. ;的 特 征 值求 A 的 特 征 向 量求 出由 AxAEi ,02 P,211 121 112 A例 對 下 列 實 對 稱 矩 陣 ， 分 別 求 出 正 交 矩 陣 ，使 為 對 角 陣 .APP 11 求 其 特 征 值 211 121 112 AE 41 2 從 而 得 特 征 值 .41 321 ， 得 基 礎(chǔ) 解 系時 ， 由當 ,0441 xAE 2 求 特 征 向 量 得 基 礎(chǔ) 解 系時 ， 由當 ,0121 xAE ,)0,1,1(1 T .)1,0,1(2 T3 將 特 征 向 量 正 交 化,11 取 .)1,1,1(3 T , 33 , 11
4、1 2122 得 正 交 向 量 組 .)1,1,1(3 T ., )1,21,21()0,1,1( 21 TT ,3,2,1, iiii 令得 ,0 21 212 ,31 31 311 .62 61 613 .31 31 3162 61 61021 21 P所 以 4 將 正 交 向 量 組 單 位 化 ， 得 正 交 矩 陣 P 1. 對 稱 矩 陣 的 性 質(zhì) ： (1)特 征 值 為 實 數(shù) ； (2)屬 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 正 交 ； (3)必 存 在 正 交 矩 陣 ， 將 其 化 為 對 角 矩 陣 ，且 對 角 矩 陣 對 角 元 素 即 為 特 征 值 2. 利 用 正 交 矩 陣 將 對 稱 陣 化 為 對 角 陣 的 步 驟 ： (1)求 特 征 值 ； (2)找 特 征 向 量 ； (3)將 特 征 向量 正 交 化 ； (4)最 后 單 位 化
河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》5-4實對稱矩陣的對角化
