《高數(shù)下冊(cè)第七章微分方程一、二、三節(jié)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)下冊(cè)第七章微分方程一、二、三節(jié)（41頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、1 微分方程 第 七 章 yxfy 求已 知 ,)( 積 分 問(wèn) 題 yy 求及 其 若 干 階 導(dǎo) 數(shù) 的 方 程已 知 含 , 微 分 方 程 問(wèn) 題 推 廣 2 微 分 方 程 的 基 本 概 念 第 一 節(jié) 微 分 方 程 的 基 本 概 念引 例 幾 何 問(wèn) 題物 理 問(wèn) 題 第 七 章 3 引 例 1. 一 曲 線 通 過(guò) 點(diǎn) (1,2) ,在 該 曲 線 上 任 意 點(diǎn) 處 的解 : 設(shè) 所 求 曲 線 方 程 為 y = y(x) , 則 有 如 下 關(guān) 系 式 :xxy 2dd xxy d2 Cx 2 (C為 任 意 常 數(shù) )由 得 C = 1, .12 xy因 此 所 求
2、 曲 線 方 程 為21xy由 得切 線 斜 率 為 2x , 求 該 曲 線 的 方 程 . 4 引 例 2. 列 車(chē) 在 平 直 路 上 以 sm20 的 速 度 行 駛 , 制 動(dòng) 時(shí)獲 得 加 速 度 ,sm4.0 2a 求 制 動(dòng) 后 列 車(chē) 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 .解 : 設(shè) 列 車(chē) 在 制 動(dòng) 后 t 秒 行 駛 了 s 米 ,已 知 4.0dd 22 ts ,00 ts 200dd tts由 前 一 式 兩 次 積 分 , 可 得 2122.0 CtCts 利 用 后 兩 式 可 得 0,20 21 CC因 此 所 求 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 為 tts 202.0 2 說(shuō) 明 : 利
3、用 這 一 規(guī) 律 可 求 出 制 動(dòng) 后 多 少 時(shí) 間 列 車(chē) 才能 停 住 , 以 及 制 動(dòng) 后 行 駛 了 多 少 路 程 . 即 求 s = s (t) . 5 常 微 分 方 程偏 微 分 方 程含 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 或 微 分 的 方 程 叫 做 微 分 方 程 .方 程 中 所 含 未 知 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 的 最 高 階 數(shù) 叫 做 微 分 方 程(本 章 內(nèi) 容 )0),( )( nyyyxF),( )1()( nn yyyxfy( n 階 顯 式 微 分 方 程 )微 分 方 程 的 基 本 概 念一 般 地 , n 階 常 微 分 方 程 的 形 式 是的 階
4、 . 分 類(lèi)或 6,00 ts 200 tdtds引 例 2 使 方 程 成 為 恒 等 式 的 函 數(shù) .通 解 解 中 所 含 獨(dú) 立 的 任 意 常 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 與 方 程)1(00)1(0000 )(,)(,)( nn yxyyxyyxy 確 定 通 解 中 任 意 常 數(shù) 的 條 件 .n 階 方 程 的 初 始 條 件 (或 初 值 條 件 ):的 階 數(shù) 相 同 .特 解 2dy xdx 21xy引 例 1 Cxy 2 2122.0 CtCts 通 解 : tts 202.0 2 12 xy特 解 :微 分 方 程 的 解 不 含 任 意 常 數(shù) 的 解 , 定 解 條 件
5、其 圖 形 稱(chēng) 為 積 分 曲 線 .04 22 dtsd 7 例 1. 驗(yàn) 證 函 數(shù)是 微 分 方 程 tkCtkCx sincos 21 22ddtx 的 解 ,0 Ax t 00dd ttx 的 特 解 . 解 : 22ddtx tkkC sin22 )cossin( 212 tkCtkCk xk2這 說(shuō) 明 tkCtkCx sincos 21 是 方 程 的 解 . 是 兩 個(gè) 獨(dú) 立 的 任 意 常 數(shù) ,21,CC ),( 21 為 常 數(shù)CCtkkC cos21 02 xk利 用 初 始 條 件 易 得 : ,1 AC 故 所 求 特 解 為tkAx cos ,02 C 故 它
6、 是 方 程 的 通 解 .并 求 滿 足 初 始 條 件 8 求 所 滿 足 的 微 分 方 程 .例 2. 已 知 曲 線 上 點(diǎn) P(x, y) 處 的 法 線 與 x 軸 交 點(diǎn) 為 Q，PQ xyo x解 : 如 圖 所 示 , yY y 1 )( xX 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo)yyxX ,xyyx 即 02 xyy點(diǎn) P(x, y) 處 的 法 線 方 程 為且 線 段 PQ 被 y 軸 平 分 , P263 (習(xí) 題 12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思 考 與 練 習(xí) 9 例 3. 已 知 函 數(shù) 是 微
7、分 方 程xxy ln的 解 , 則 )(yx解 : ， 故xxy ln 將 代 入 微 分 方 程 ， 得xx 2ln1)ln( )( yxxyy 21)( uu 22)( xyyx 的 表 達(dá) 式 為 （ ） 22xy(A) ; (B) ; (C) ; (D) .22xy 22yx22yx從 而 A 10轉(zhuǎn) 化 可 分 離 變 量 微 分 方 程 第 二 節(jié) 解 分 離 變 量 方 程 可 分 離 變 量 方 程 0 )(d )( 11 xNxxM yyNyM d)( )( 22 第 七 章 1 2( ) ( )dy f x f ydx ( ) ( )g y dy f x dx 11 分
8、離 變 量 方 程 的 解 法 : xxfyyg d)(d)( 設(shè) y (x) 是 方 程 的 解 , xxfxxxg d)(d)()( 兩 邊 積 分 , 得 yyg d)( xxf d)( CxFyG )()( 則 有 恒 等 式 )(yG )(xF 說(shuō) 明 由 確 定 的 隱 函 數(shù) y (x) 是 的 解 . 則 有稱(chēng) 為 方 程 的 隱 式 通 解 , 或 通 積 分 .= f (x)0 時(shí) , 上 述 過(guò) 程 可 逆 ,由 確 定 的 隱 函 數(shù) x (y) 也 是 的 解 . 當(dāng) G(y) 與 F(x) 可 微 且 (y) g(y)0 時(shí) , G 同 樣 ,當(dāng) (x)F 12 例
9、 1. 求 微 分 方 程 yxxy 23dd 的 通 解 .解 : 分 離 變 量 得 xxyy d3d 2兩 邊 積 分 xxyy d3d 2 得 13ln Cxy Cxy lnln 3 即 13 Cxey 31 xC ee 3xeCy 1CeC 令 ( C 為 任 意 常 數(shù) )或 說(shuō) 明 : 在 求 解 過(guò) 程 中每 一 步 不 一 定 是 同 解變 形 , 因 此 可 能 增 、減 解 .( 此 式 含 分 離 變 量 時(shí) 丟 失 的 解 y = 0 ) 13 例 2. 解 初 值 問(wèn) 題 0d)1(d 2 yxxyx解 : 分 離 變 量 得 xxxyy d1d 2 兩 邊 積 分
10、 得Cxy ln11lnln 2 即 Cxy 12由 初 始 條 件 得 C = 1, 112 xy( C 為 任 意 常 數(shù) )故 所 求 特 解 為 1)0( y練 習(xí) ： 已 知 曲 線 ( )y f x 過(guò) 點(diǎn) 1(0, )2 ， 且 其 上 任 一 點(diǎn)( , )x y 處 切 線 斜 率 為 ， 則2ln(1 )x x ( )f x 2 212( ) (1 )ln(1 ) 1f x x x 14 例 3. 求 下 述 微 分 方 程 的 通 解 :)1(sin2 yxy解 : 令 ,1 yxu 則yu 1故 有 uu 2sin1 即 xuu ddsec2 Cxu tan解 得 Cxy
11、x )1tan( ( C 為 任 意 常 數(shù) )所 求 通 解 : 15 練 習(xí) : .dd 的 通 解求 方 程 yxexy 解 法 1 分 離 變 量 xeye xy dd Cee xy 即 01)( yx eCe ( C 0, 21dd yxyx yx ,vyx則,yxv令 21dd vyvy yvyvyx dddd Cyvv lnln)1(ln 2 積 分 得故 有 1222 CvyCy,xvy 代 入 得 )2(22 CxCy (拋 物 線 ) 22 1)( vvCy Cyvv 21故 反 射 鏡 面 為 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 . 于 是 方 程 化 為(齊 次 方 程 ) 32 頂
12、到 底 的 距 離 為 h , hdC 82說(shuō) 明 : )(2 22 CxCy 2,2 dyhCx 則 將這 時(shí) 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為 hdxhdzy 164 2222 h d若 已 知 反 射 鏡 面 的 底 面 直 徑 為 d ,代 入 通 解 表 達(dá) 式 得 )0,( 2C oy xA 33 ( h, k 為 待 *二 、 可 化 為 齊 次 方 程 的 方 程111dd cybxa cybxaxy )0( 212 cc,.1 11 時(shí)當(dāng) bbaa 作 變 換 kYyhXx ,dd,dd YyXx 則 原 方 程 化 為 YbXa YbXaXY 11dd ckbha 111 ckb
13、ha 令 0 ckbha 0111 ckbha , 解 出 h , k YbXa YbXaXY 11dd (齊 次 方 程 )定 常 數(shù) ), 34 , 代 入將 kyYhxX 求 出 其 解 后 , 即 得 原 方 程 的 解 . ,.2 11 時(shí)當(dāng) bbaa 原 方 程 可 化 為 1)(dd cybxa cybxaxy 令 ,ybxav xybaxv dddd 則1dd cv cvbaxv (可 分 離 變 量 方 程 )注 : 上 述 方 法 可 適 用 于 下 述 更 一 般 的 方 程 111dd cybxa cybxafxy )0( 212 cc )0( b 35 例 4. 求
14、解 64dd yx yxxy 52 xy解 : 04kh令 ,5,1 YyXx YX YXXY dd得再 令 Y X u , 得 令 06kh 5,1 kh得 XXuuu dd11 2 積 分 得 uarctan )1(ln21 2u XCln代 回 原 變 量 , 得 原 方 程 的 通 解 : 36 15arctan xy 2151ln21 xy )1(ln xC52 xy利 用 得 C = 1 , 故 所 求 特 解 為15arctan xy 22 )5()1(ln21 yx思 考 : 若 方 程 改 為 ,64dd yx yxxy 如 何 求 解 ? 提 示 : .yxv 令 37 練
15、 習(xí)1.求 微 分 方 程 2 2y x ydydx x 的 通 解 。2.求 微 分 方 程 2 2dyxy x ydx 的 特 解 。 滿 足 條 件 2x ey e 3.求 初 值 問(wèn) 題 2 21( ) 00 xy x y dx xdyy 的 特 解 。 ( 0)x2 2y x y c 2 22 (ln 1)y x x 21 12 2y x 3.求 初 值 問(wèn) 題 的 特 解 。 11 22 xy yxyyx 212 xxy (93, , ) (96, ) (91, ) (99, ) 38 (2003, ) )(xfy設(shè) 位 于 第 一 象 限 的 曲 線 )(xfy ),21,22(
16、過(guò) 點(diǎn)),( yxP y Q其 上 任 一 點(diǎn) 處 的 法 線 與 軸 的 交 點(diǎn) 為 ，xPQ且 線 段 被 軸 評(píng) 分 。(1) 求 曲 線 的 方 程 ；,0 l lxy sin(2) 求 曲 線 在 上 的 弧 長(zhǎng) 為 ， 試 用)(xfy s表 示 曲 線 的 弧 長(zhǎng) 。 12 22 yx ls 42 39 (2001, ) ),( yxP )0( xy到 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 的 距 離 ， 恒 等 于 該 點(diǎn) 的 切 線 在 軸 的 截 距 ，)0,21(L且 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn) 。L(1) 求 曲 線 的 方 程 ； LL(2) 求 位 于 第 一 象 限 的 一 條 切 線 ， 使 該 切
17、 線 與及 兩 坐 標(biāo) 軸 所 圍 圖 形 的 面 積 最 小 。 241 xy 3133 xy設(shè) 是 一 條 平 面 曲 線 ， 其 上 任 一 點(diǎn) L 40 一 、 求 下 列 齊 次 方 程 的 通 解 : 1、 0)( 22 xydydxyx ； 2、 0)1(2)21( dyyxedxe yxyx .二 、 求 下 列 齊 次 方 程 滿 足 所 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 1,02)3( 022 xyxydxdyxy ； 2、 ,0)2()2( 2222 dyxxyydxyxyx 11 xy .三 、 化 下 列 方 程 為 齊 次 方 程 ,并 求 出 通 解 : 1、 31 yx yxy ； 2、 0)642()352( dyyxdxyx . 練 習(xí) 題 41 練習(xí)題答案 一 、 1、 )ln2(22 Cxxy ； 2、 Cyex yx 2 .二 、 1、 322 yxy ； 2、 yxyx 22 . 三 、 1、 Cyxxy )2()1ln(2112arctan 22 ； 2、 Cxyxy 2)32)(34( .
高數(shù)下冊(cè)第七章微分方程一、二、三節(jié)
