《微積分基本定理》教案(新人教選修2-2).1

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1、 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書— 數(shù)學(xué) 選修 2-2[人教版 A] 1.4.2 微積分基本定理 教學(xué)目標(biāo)： 了解牛頓 -萊布尼茲公式 教學(xué)重點： 牛頓 -萊布尼茲公式 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)： 定積分的概念及計算 二、引入新課 我們講過用定積分定義計算定積分 ,但其計算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。 變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)一物體沿直線作變速運動，在時刻 t 時物體所在位置為 S(t), 速度為

2、 v(t) （ v(t) o ）， [T1 ,T2 ] 內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為 T2 則物體在時間間隔 v(t )dt 。 T1 另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù) S（ t）在 [T1 , T2 ] 上的增量 S(T1 ) S(T2 ) 來表 達，即 T2 v(t )dt = S(T1 ) S(T2 ) T1

3、 且 S (t ) v(t) 。 對于一般函數(shù) f (x) ，設(shè) F ( x) f ( x) ，是否也有 b F( b) F( a) f ( x) d x a 若上式成立，我們就找到了用 f ( x) 的原函數(shù) （即滿足 F ( x) f ( x)）的數(shù)值差 F (b) F (a) 來計算 f ( x) 在 [a, b] 上的定積分的方法。

4、 定理 如果函數(shù) F (x) 是 [a,b] 上的連續(xù)函數(shù) f ( x) 的任意一個原函數(shù)，則 b F (b) F (a) f ( x)dx a ( x) = x ( ) 與 F ( x) 都是 f ( x) 的原函數(shù)，故 證明：因為 f t dt a F ( x) - ( x) =C（ a

5、 x b ） 其中 C 為某一常數(shù)。 令 x a 得 F (a) - (a) =C，且 a (a) = f (t)dt =0 a 即有 C= F (a) ，故 F ( x) = (x) + F ( a) ( x) = F ( x) - F (a) = x f (t )dt a 令 x b f ( x)dx F (b) F (a) b ，有 a

6、 為了方便起見，還常用 F ( x) |ab 表示 F (b) F (a) ，即 b F (x) |ab F (b) F (a) f ( x)dx a 該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的 一般方法， 把求定積分的問題， 轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題， 是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 1 例1． 計算 x2 dx 0 解：由于 1 x3 是 x2 的一個原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 3 1 2 d x= 1 x3 |10 =

7、 1 13 1 03 = 1 x 0 3 3 3 3 例 2 2 x dx 求 0 1 x2 解 因為 xdx 1 d ( x2 ) 2 d (1 x 2 ) = 1 2(1x2 ) 21 C(1 x2 )21 C 1 x2 2 1 x2 2 1 x2 2 x 有一個原函數(shù)為 (1 1 即 (1 1 2 5 1 x2 )

8、 2 ，所以 x2 ) 2 1 x2 0 2 x dx = (1 1 2 1 0 x2 ) 2 5 1 x 2 0 例 3 汽車以每小時 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度 a =1.8 米/ 秒 2 剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？ 解 :首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時間

9、。當(dāng) t=0 時，汽車速度 v0 =32 公里 /小時 = 32 1000 米 /秒 8.88 米 /秒 ,剎車后汽車減速行駛 ,其速度為 v(t)= v0 at=8.88-1.8t 當(dāng)汽 3600 車停住時 ,速度 v(t)=0 ,故從 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= 8.88 4.93 秒 1.8 于是在這段時間內(nèi) ,汽車所走過的距離是 4.93 4.93 1 4.93 s (8.88 1.8t) dt = (8.88 1.8 t 2 ) 21.90 米,即在剎車后 ,汽 v(t)dt 0 0 2 0 車需走過 21.90 米才能停住 . 小結(jié)： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了牛頓 -萊布尼茲公式 . 課堂練習(xí)： 第 47 頁練習(xí) A 、 B 課后作業(yè)： 第 48 頁 A:3， 4，