《雙曲線的簡單幾何性質》教學設計

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1、 《雙曲線的簡單幾何性質》教學設計 富源縣第一中學 李耀明 一、教材分析 1. 教材中的地位及作用 本節(jié)課是學生在已掌握雙曲線的定義及標準方程之后，在此基礎上，反過來 利用雙曲線的標準方程研究其幾何性質。它是教學大綱要求學生必須掌握的內容，也是高考的一個考點，是深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質解題的基礎，更能使學生理解、體會解析幾何這門學科的研究方法，培養(yǎng)學生的解析幾何觀念，提高學生的數(shù)學素質。 2.教學目標的確定及依據(jù) 平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性

2、質。教學參考書中明確要求：學生要掌握圓錐曲線的性質，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質的方法和步驟。根據(jù)這些教學原則和要求，以及學生的學習現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學目標。 （1）知識目標： ①使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的范圍、對稱性、 頂點、離心率、漸近線等幾何性質； ② 掌握雙曲線標準方程中 a, b, c 的幾何意義，理解雙曲線的漸近 線的概念及證明； ③能運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的一些基本問題。 （2）能力目標： ①在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，培養(yǎng)學生的觀察 能力，想象能力，數(shù)形結

3、合能力，分析、歸納能力和邏輯推 理能力，以及類比的學習方法； ②使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的概念的理解。 （3）德育目標：培養(yǎng)學生對待知識的科學態(tài)度和探索精神， 而且能夠運用運動的，變化的觀點分析理解事物。 3. 重點、難點的確定及依據(jù) 對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，而學生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證 明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，巧妙地應用極限思想導出了

4、雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學思想滲透于其中，學生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點，根據(jù)本節(jié)的教學內容和教學大綱以及高考的要求，結合學生現(xiàn)有的實際水平和認知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質作為本節(jié)課的重點。 4. 教學方法 這節(jié)課內容是通過雙曲線方程推導、 研究雙曲線的性質， 本節(jié)內容類似于 “橢圓的簡單的幾何性質” ，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，得到類似的結論。在教學中，學生自己能得到的結論應該讓學生自己得到，凡是難度不 大，經過學習學生自己能解決的問題，應該讓學生自己解決，這樣有利于調動學生學習的積極性，激發(fā)他們的學習

5、積極性，同時也有利于學習建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學生的思維能力和解決問題的能力。 漸近線是雙曲線特有的性質，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中著重培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，從已有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生自身探索的內驅力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。 例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論） ，訓練學生一題多解， 開拓其解題思路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解

6、決問題能力。 二、教學程序 （一） . 設計思路 復習橢圓的幾何性質 類比 雙曲線的幾何性質 特有的幾何性質（從特殊到一般的規(guī)律探索） 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明 加強應用 深化知識、鞏固提高 （二） . 教學流程 1. 復習引入 我們已經學習過橢圓的標準方程和雙曲線的標準方程，以及橢圓的簡單的幾 何性質，請同學們來回顧這些知識點，對學習的舊知識加以復習鞏固，同時為新知識的學習做準備，利用多媒體工具的先進性，結合圖像來演示。 2．觀察、類比 這節(jié)課內容是通過雙曲

7、線方程推導、 研究雙曲線的性質， 本節(jié)內容類似于 “橢圓的簡單的幾何性質” ，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質，歸納總結出雙曲線的幾何性質。一 般學生能用類似于推導橢圓的幾何性質的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，對知識的理解不能浮于表面只會看圖，也要會從方程的角度來解釋，抓住方程的本質。用多媒體演示，加強學生對雙曲線的簡單幾何性質范圍、對稱性、頂點（實軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個性質和橢圓的性質有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強新舊知識的聯(lián)系，借助于類 比方法，引

8、起學生學習的興趣，激發(fā)求知欲。 3. 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明（1）發(fā)現(xiàn) 由橢圓的幾何性質，我們能較準確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾 何性質，能否較準確地畫出雙曲線 x2 y 2 1 的圖形為引例，讓學生動筆實踐，通 過列表描點，就能把雙曲線的頂點及附近的點較準確地畫出來，但雙曲線向遠處 如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質 是不行的。 從學生曾經學習過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù) y 1 的圖像，它的圖像是雙曲線，當雙曲線伸向遠處時，它與

9、 x、y 軸無限接近， x 1 的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學生 此時 x、y 軸是 y x 猜想雙曲線 x2 y 2 1 有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性， 我們只須研究它的圖形在 第一象限 的情況即可。在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準 方程 x2 y 2 1 ，可解出 y 2 x2 1 ， y x2 1 ，當 x 無限增大時， y 也隨之增 大 ， 不 容 易 發(fā) 現(xiàn) 它 們 之 間 的 微 妙 關 系 。 但 是 如 果 將 式 子 變 形 為 y x2 2 1 1 12

10、 ，我們就會發(fā)現(xiàn)：當 x 無限增大， 12 逐漸減小、無限接近 x x x x 于 0，而 y 就逐漸增大、無限接近于 1( y 1) ；若將 y 變形為 y 0 ，即說明此時 x x x x 0 雙曲線在第一象限，當 x 無限增大時，其上的點與坐標原點之間連線的斜率比 1 小，但與斜率為 1 的直線無限接近，且此點永遠在直線 y x 的下方。其它象限向 遠處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到， 從而可知雙曲線 x2 y 2 1 的圖 形在遠處與直線 y x

11、 無限接近，此時我們就稱直線 y x 叫做雙曲線 x 2 y 2 1 的漸近線。這樣從已有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動 學生自身探索的內驅力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。 利用由特殊到一般的規(guī)律， 就可以引導學生探尋雙曲線 x 2 y 2 1(a>0，b>0) a 2 b2 的 漸 近 線 ， 讓 學 生 同 樣 利 用 類 比 的 方 法 ， 將 其 變 形 為 y 2 x 2 1 ，

12、 b2 a 2 y 2 b2 ( x 2 a 2 ) ，由于雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限向遠處的變化 a 2 b 2 2 y b a2 a 2 趨勢，繼續(xù)變形為 y a x a ， x a 1 x2 ，可發(fā)現(xiàn)當 x 無限增大時， x 2 逐 漸減小、無限接近于 0， y 逐漸增大、無限接近于 b ，即說明對于雙曲線在第一象 x a 限遠處的點與坐標原點之間連線的斜

13、率比 b 小，與斜率為 b 的直線無限接近，且 a a 此點永遠在直線 y b x 下方。其它象限向遠處無限伸展的變化趨勢可以利用對 a 稱性得到，從而可知雙曲線 x2 y 2 1 (a>0，b>0)的圖形在遠處與直線 y b x 無 a2 b2 a 限接近，直線 y b x 叫做雙曲線 x2 y 2 1(a>0，b>0)的漸近線。我就是這樣將 a a2 b 2

14、 漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、 分析，巧妙地應用極限思想導出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學思想滲 透于其中，學生也易接受。 （2）證明 如何證明直線 y b x 是雙曲線 x 2 y2 1(a>0， b>0)的漸近線呢？ a a 2 b2 啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉換成什么樣的數(shù)學語言？（ x→∞,d→ 0） 啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進行證明？ 啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎

15、樣利用 x 表示 d （工具是什么：點到直線的距離公式） 啟發(fā)思考④：讓學生設點，而 d 的表達式較復雜，能否將問題進行轉化？ 分析：要證明直線 y b x 是雙曲線 x2 y 2 1(a>0，b>0)的漸近線，即要證 a a2 b2 明隨著 x 的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離 ｜MQ｜越來越短，因此把問題轉化為計算｜ MQ｜。但因｜ MQ｜不好直接求得，因 此又可以把問題轉化為求｜ MN｜。 | MQ | | MN | b x b x2

16、a 2 y N a a B2 Q ＝ b ( x ab M x 2 a 2 ) a 2 A2x a x x2 A1 O B1 （ | MQ | x 0 ） 啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？ （在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況） 引導學生層層深入的進行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。 （

17、3）深化 再來研究實軸在 y 軸上的雙曲線 y 2 x 2 1(a>0，b>0)的漸近線方程就會變得 a 2 b2 容易很多，此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在 y 軸上的雙曲線的 漸近線方程即為 y a x 。 b 這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精確的畫出 雙曲線。但是如果仔細觀察漸近線實質就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點，作平 行與坐標軸的直線 x a, y b 所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結合，來加強對 雙曲線的漸近線的理解。

18、 4. 離心率的幾何意義 橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得 到： e c ,c a, e 1，這是剛剛學生在類比橢圓的幾何性質時就可以得到的 a 簡單結論。通過對離心率的研究，同樣也可以使學生進一步加深對漸近線的理解。 由等式 c2 a 2 b 2 ，可得： b c2 a 2 c2 1e2 1 ，不難發(fā)現(xiàn)： e a a a 2 越小（越接近于 1）， b 就越接近于 0，雙曲線開口越??； e 越大， b 就越大，雙曲 a

19、 a 線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關系，更加準確的作出雙曲線的圖形。 5. 例題分析 為突出本節(jié)內容，使學生盡快掌握剛才所學的知識。我選配了這樣的例題： 例 1. 求雙曲線 9x2－16y2=144 的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、離心率。 選題目的 在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標準式，要先將所給的雙曲線方程化為標準方程，后根據(jù)標準方程分別求出有關量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出； （ 2）利用雙曲線的圖形中的矩形

20、框架的對角線得到。加強對于雙曲線的漸近線的應用和理解。 變 1：求雙曲線 9y2－ 16x2=144 的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、離心率。 選題目的 ：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標準方程，后根據(jù)標準方程分別求出有關量；但求漸近線時可直接求出，也可以利用對稱性 來求解。 關鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標系中的位置改變，它的那些性質改變，那些性質不變？試歸納 雙曲線的幾何性質 。（小結列表） 變 2：已知雙曲線的漸近線方程是  y  4 x 

21、 ，且經過點 (  15  ,3),  求雙曲線的標 3  4 準方程。 選題目的 ：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙 曲線的方程。方法 1：分焦點在 x 軸，焦點在 y 軸分別求解；方法 2：確定點所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求 a、b。深化知識，加強應用，使知識系統(tǒng)化。 例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論） ，訓練學生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。 6. 課堂練習 課本 P113 練習 1.2 ，讓學生自己練習，熟悉并運用雙曲線的幾何性質解題，加強應用性。 7. 課堂小結 （ 1）通過本節(jié)學習，要求學生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質的證明，并能簡單應用雙曲線的幾何性質； （ 2）雙曲線的幾何性質總結 ( 學生填表歸納 ) 。 8. 課后作業(yè) 課本 P113習題 1.2.3 ，鞏固并掌握課上所學的知識。 思考：雙曲線與其漸近線的方程之間有何內在的變化規(guī)律？