《直紋二次曲面》PPT課件.ppt

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1、上 頁 下 頁 結(jié) 束 7 直 紋 二 次 曲 面 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 例 如 : 平 面 、 柱 面 、 錐 面 以 及 旋 轉(zhuǎn) 單 葉 雙 曲 面都 是 直 紋 面 , 因 為 它 們 都 可 由 一 條 直 線 繞 另 一 條直 線 旋 轉(zhuǎn) 而 得 到 . 定 義 : 由 一 族 直 線 構(gòu) 成 的 曲 面 稱 為 直 紋 面 , 這 些直 線 稱 為 它 的 直 母 線 .下 面 我 們 討 論 二 次 曲 面 中 的 直 紋 面 . 7 直 紋 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 7 直 紋

2、 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 7 直 紋 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (一 ) 橢 球 面 1 橢 球 面 : ;1222222 czbyax 2 點 : ;0222222 czbyax (二 ) 雙 曲 面 3 單 葉 雙 曲 面 : ;1222222 czbyax 非 空 二 次 曲 面 有 下 面 這 14 種 類 型 (五 大 類 ): 4 雙 葉 雙 曲 面 : ;1222222 czbyax 7 直 紋 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (三 ) 拋 物 面 5 橢 圓 拋 物 面 : ;zbyax 22222 6 雙 曲 拋 物 面 : ;zbyax

3、 22222 (四 ) 二 次 錐 面 7 二 次 錐 面 : ;0222222 czbyax (五 ) 二 次 柱 面 8 橢 圓 柱 面 : ;12222 byax 7 直 紋 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 9 一 條 直 線 : ;02222 byax 10 雙 曲 柱 面 : ;12222 byax 11 一 對 相 交 平 面 : ;02222 byax 12 拋 物 柱 面 : ;pyx 22 14 一 張 平 面 : .02 x 13 一 對 平 行 平 面 : ., 02 aax 7 直 紋 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 其 中 所 有 二 次 柱 面 和

4、二 次 錐 面 都 是 直 紋 面 . 橢 球 面 和 點 都 是 有 界 二 次 曲 面 , 容 不 下 直 線 , 故 它 們 都 不 是 直 紋 面 . 雙 葉 雙 曲 面 不 是 直 紋 面 , 因 為 當(dāng) 它 由 方 程 4 給出 時 , 它 的 圖 像 在 平 面 z = c上 方 或 z = c下 方 , 因 此 平 行 于 xy面 的 直 線 和 與 xy面 相 交 的 直 線都 不 可 能 全 在 曲 面 上 .橢 圓 拋 物 面 也 不 是 直 紋 面 , 因 為 當(dāng) 它 由 方 程 5 給 出 時 , 它 的 圖 像 完 全 在 xy面 上 方 , 因 此 平 行 于xy

5、面 的 直 線 和 與 xy面 相 交 的 直 線 都 不 可 能 全 在曲 面 上 . 7 直 紋 二 次 曲 面 上 頁 下 頁 結(jié) 束 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 雙 曲 拋 物 面 上 有 直 線 , 這 是 已 經(jīng) 知 道 的 . 例 如 xy平 面 的 截 線 就 是 一 對 相 交 直 線 . 事 實 上 有定 理 : 雙 曲 拋 物 面 是 直 紋 面 . 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 證 明 : 設(shè) 雙 曲 拋 物 面 S 的 方 程 為 ,zbyax 22222 改 寫 為 ,)( zbyaxbyax 2 上 頁 下 頁 結(jié) 束 容 易 看 出 , 對

6、 任 何 實 數(shù) c, 平 面 與 S 的 交 線 是 直 線 cbyax ;)(: l c zbyaxc cbyax 2平 面 與 S 的 交 線 是 直 線 cbyax .)(: l c zbyaxc cbyax 27.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 于 是 , 得 到 S 上 的 兩 族 直 母 線 I = lc | c R 和 I = lc | c R , x y z 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 先 證 : 對 S上 任 一 點 M0(x0, y0

7、, z0), 每 族 直 母 線中 都 恰 好 有 一 條 經(jīng) 過 M0 . 令 ,byaxc 000 則 M0 在 平 面 上 , 0cbyax 從 而 M0 . 0cl 而 當(dāng) c c0 時 , M0 不 在 平 面 上 , cbyax 從 而 M0 lc , 因 此 , I 中 經(jīng) 過 M0 的 直 線 只 有 一 條 . 0cl類 似 地 , 令 ,byaxc 000 I 中 經(jīng) 過 M 0 的 直 線 也 只 有 一 條 . 0cl 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 上 面 已 經(jīng) 證 明 了 : 雙 曲 拋 物 面 S上 的 每 個 點都 在 直

8、母 線 族 I 中 和 I 中 . 反 過 來 證 明 : 直 母 線 族 I 和 I 中 的 每 個 點 也都 在 雙 曲 拋 物 面 S上 .則 有 M1(x1, y1, z1), .)( 1111 111 2zbyaxc cbyax任 取 直 母 線 族 I 中 的 一 條 直 線 以 及 其 上 一 點 1cl 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 將 代 入 并 整 理 得 ,1221221 2zbyax 即 M1(x1, y1, z1) 在 雙 曲 拋 物 面 S 上 . 這 說 明 : 直 母 線 族 I 中 的 每 個 點 都 在 S上 .類 似

9、可 證 : 直 母 線 族 I 中 的 每 個 點 也 都 在 S上 .綜 上 證 明 了 : 雙 曲 拋 物 面 S 由 一 族 直 線 I 構(gòu) 成或 由 一 族 直 線 I 構(gòu) 成 , 從 而 是 直 紋 面 . 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 例 1 在 雙 曲 拋 物 面 求 平 行 于 平 面 zyx 2416 22 3x + 2y 4z + 1 = 0 的 直 母 線 方 程 . 解 : 設(shè) 所 求 直 母 線 為 l c zyxc cyx 224241 11 )(: ,)(: l c zyxc cyx 224242 22和 7.1 雙 曲 拋

10、物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 即 082 042 11 1 zycxc cyx , 082 042 22 2 zycxc cyx和 方 向 向 量 為 (1, 2, 0) (c1, 2c1, 8) =4 (4, 2, c1), 和 (1, 2, 0) (c2, 2c2, 8) =4 (4, 2, c2), 直 母 線 與 已 知 平 面 平 行 , 故 有 (4, 2, c1) (3, 2, 4) = 0, 和 (4, 2, c2) (3, 2, 4) = 0, 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 得 c1 = 4, c2 = 2, 因 此 所

11、 求 直 母 線 為 022 0162 zyx yx . 042 082 zyx yx和 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 雙 曲 拋 物 面 的 兩 族 直 母 線 的 性 質(zhì) (1) 對 S上 任 一 點 M0(x0, y0, z0), 每 族 直 母 線 中 都 恰 好 有 一 條 經(jīng) 過 M0 . (2) 同 族 的 直 母 線 都 平 行 于 同 一 張 平 面 , 同 族 的 兩 條 不 同 直 母 線 一 定 異 面 .(3) 異 族 的 直 母 線 一 定 相 交 . (4) I 和 I 無 公 共 直 母 線 . (5) S 上 的 所 有

12、直 母 線 都 在 I 或 I 中 . 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 證 明 : (1) 已 在 定 理 的 證 明 中 證 過 . (2) 前 半 部 分 顯 然 : I 中 的 直 母 線 都 平 行 于 平 面 ,0 byaxI 中 的 直 母 線 都 平 行 于 平 面 ,0 byax后 半 部 分 證 明 : 設(shè) c1 c2 , 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 則 ,)(: l zbyaxc cbyaxc 21 11 ,)(: l zbyaxc cbyaxc 22 22其 方 向 向 量 可 分 別 取 為 )

13、,(),( 2011 111 u bcacba ),( 12 cbaab ),(),( 2011 222 u bcacba ),( 22 cbaab 因 此 直 線 和 不 平 行 , 從 而 異 面 . 1cl 2cl7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (3) 任 取 兩 數(shù) c1, c2 , 則 ,)(: l zbyaxc cbyaxc 21 11 ,)(: l zbyaxc cbyaxc 22 22其 方 向 向 量 可 分 別 取 為 ),(),( 2011 111 u bcacba ),( 12 cbaab ),(),( 2011 222 u bcac

14、ba ),( 22 cbaab 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 顯 然 u1 與 u2 不 平 行 , 從 而 l1 與 l2 不 平 行 ; 再 在 l1 和 l2 分 別 取 點 ,),( M 20 2111 cac ,),( M 20 2222 cac因 為 (M1 M2, u1, u2) 21 1222 12 204 cba cba ccaba cc )(= 0.所 以 l1 與 l2 共 面 , 從 而 必 定 相 交 . 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (4) 由 (3)即 知 . (5) 設(shè) l 是 S 的

15、直 母 線 , 則 它 不 會 平 行 于 xz面 和 yz面 (因 為 平 行 于 xz面 和 yz面 的 截 線 都 是 拋 物 線 ). 因 此 可 假 設(shè) 它 在 xy面 上 的 投 影 方 程 為 y = tx + r, t 0. 于 是 l 有 一 般 方 程 , rtxy zbyax 22222 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 從 而 l 又 有 一 般 方 程 ,)( rtxy brzxbtrxbta 0221 2222222 其 中 第 一 個 方 程 的 圖 像 是 平 行 于 y 軸 的 柱 面 . 此 柱 面 與 平 面 的 交 線

16、是 直 線 它 本 身 是 平 面 , 故 它 的 左 邊 是 一 次 式 , 即 有 | t | = b/a . 于 是 l 方 程 為 , brbyax zbyax 22222 是 I 或 I 中 的 直 母 線 . 7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 概 括 起 來 : 雙 曲 拋 物 面 恰 有 兩 族 直 母 線 ,)(: l c zbyaxc cbyax 2 ,)(: l c zbyaxc cbyax 2 c R, 同 族 的 直 母 線 都 平 行 于 同 一 張 平 面 ; 異 族 的 直 母 線 一 定 相 交 . 有 如 下 特 征 性 質(zhì)

17、: 方 向 向 量 分 別 為 : uc (a, b, c), uc (a, b, c), 同 族 的 兩 條 不 同 直 母 線 一 定 異 面 ;7.1 雙 曲 拋 物 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性定 理 : 單 葉 雙 曲 面 是 直 紋 面 . 單 葉 雙 曲 面 可 由 旋 轉(zhuǎn) 單 葉 雙 曲 面 (其 直 紋 性見 p92)經(jīng) 過 壓 縮 而 得 到 , 而 旋 轉(zhuǎn) 單 葉 雙 曲 面 是 直 紋面 , 壓 縮 變 換 把 直 線 變 成 直 線 , 且 不 改 變 直 線 的 共面 性

18、和 平 行性 , 因 此 有設(shè) 單 葉 雙 曲 面 S 的 方 程 為 ,1222222 czbyax 上 頁 下 頁 結(jié) 束 改 寫 為 ),)()( bybyczaxczax 11則 對 于 任 意 一 對 不 全 為 零 的 實 數(shù) s, t, 直 線 ,)()( )()(: l bysczaxt bytczaxsts 11都 在 單 葉 雙 曲 面 S 上 . l )()( )()(: bysczaxt bytczaxsts 11于 是 , 得 到 S 上 的 兩 族 直 母 線 I = ls:t |s, t不 全 為 零 , I = ls:t |s, t不 全 為 零 . 7.2 單

19、 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 單 葉 雙 曲 面 的 兩 族 直 母 線 的 性 質(zhì) (1) 對 S上 任 一 點 M0(x0, y0, z0), 每 族 直 母 線 中 各 有 一 條 經(jīng) 過 M0 . (3) 同 族 的 任 何 三 條 直 母 線 都 不 會 平 行 于 同 一張 平 面 , 同 族 的 兩 條 不 同 直 母 線 一 定 異 面 .(4) 異 族 的 直 母 線 一 定 共 面 . (5) I 和 I 無 公 共 直 母 線 . (2) S 上 的 所 有 直 母 線 都 在

20、 I 或 I 中 . 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 證 明 : (1) 設(shè) M0(x0, y0, z0) 在 單 葉 雙 曲 面 S 上 , 則 和 不 全 為 零 . by01 by01如 果 , 01 0 by令 ,bys 01 1 ,czaxt 001 令 ,czaxs 002 ,byt 02 1 則 M0 在 上 . 22 ts l :則 M0 在 上 ; 11 ts l :7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 如 果 , 01 0 by令 ,bys 04 1 ,czaxt 004 令 ,czaxs 003 ,byt

21、03 1(2) 證 明 非 常 復(fù) 雜 , 從 略 .(3) 第 一 部 分 : 任 取 I 中 三 條 不 同 的 直 母 線 , : 332211 tststs l l l 則 M0 在 上 ; 33 ts l :則 M0 在 上 . 44 ts l :7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 容 易 算 出 它 們 的 方 向 向 量 分 別 為 ),(,),(: 212111212111 tsctbsstats u ),(,),(: 222222222222 tsctbsstats u ),(,),(: 232333232333 tsctbsstats u 因

22、 為 ),( : 332211 tststs u u u )()( )()( )()( 2323332323 2222222222 2121112121 tsctbssta tsctbssta tsctbssta 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 2323332323 2222222222 2121112121 tstsst tstsst tstsstabc 23233323 22222222 21211121222 tstst tstst tststabc 233323 222222 2111212 stst stst ststabc 23333 22222

23、 21111232221 1112 tsts tsts tststtabct 0, 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 因 此 不 會 平 行 于 同 一 個 平 面 . 332211 tststs lll : ,類 似 可 證 I 中 三 條 不 同 的 直 母 線 也 不 會 平 行 于 同 一 個 平 面 . 第 二 部 分 : 任 取 I 中 二 條 不 同 的 直 母 線 , : 2211 tsts l l 它 們 的 方 向 向 量 分 別 為 ),(,),(: 212111212111 tsctbsstats u ),(,),(: 22222222

24、2222 tsctbsstats u 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 分 別 取 上 的 點 M1, M2, 2211 tsts ll : , ),( 11 212111 2121 202 ts stcts sta ),( 22 222222 2222 202 ts stcts sta 因 為 )()( )()( )()( 2222222222 2121112121 11 212122 222211 212122 2222 22022 tsctbssta tsctbssta ts stts stcts stts sta ),( : 221121 tsts u

25、 u MM7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 2222222222 2121112121 11 212122 222211 212122 2222 02 tstsst tstsst ts stts stts stts stabc 22222222 21211121 11 212122 222211212222 0 tstst tstst ts stts sttsttstabc 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 222222 211121 22111122 0 stst stst tstsststabc ,)( 02 21221

26、tstsabc因 此 異 面 . 2211 tsts l l : ,7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (4) 任 取 I 中 的 直 母 線 和 I 中 的 直 母 線 11 ts l : ,: 22 ts l它 們 的 方 向 向 量 分 別 為 ),(,),(: 212111212111 tsctbsstats u ),(,),(: 222222222222 tsctbsstats u 分 別 取 上 的 點 M1 和 上 的 點 M2, 11 ts l : 22 ts l :),( 11 212111 2121 202 ts stcts sta ),(

27、22 222222 2222 202 ts stcts sta 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 因 為 ),( : 221121 tsts u u MM )()( )()( )()( 2222222222 2121112121 11 212122 222211 212122 2222 22022 tsctbssta tsctbssta ts stts stcts stts sta 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 222222 211121 22111122 0 stst stst tstsststabc = 0, 因 此

28、共 面 . 2211 tsts l l : ,(5) 由 (3)和 (4)可 知 . 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 概 括 起 來 : 單 葉 雙 曲 面 恰 有 兩 族 直 母 線 ,)()( )()(: l bysczaxt bytczaxsts 11 l )()( )()(: bysczaxt bytczaxsts 11其 中 s, t 不 全 為 零 . 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 同 族 的 任 何 三 條 不 同 的 直 母 線 都 不 平 行 于同 一 張 平 面 ; 異 族 的 直 母 線 一 定 共

29、 面 . 有 如 下 特 征 性 質(zhì) : 方 向 向 量 可 分 別 取 為 : ),(,),(: 2222 tscbststats u ),(,),(: 2222 tscbststats u 同 族 的 兩 條 不 同 直 母 線 一 定 異 面 ;7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 單 葉 雙 曲 面 是 直 紋 曲 面 . 上 面 有 兩 族 母 直 線 族 , 各 族 內(nèi) 母 線 彼 此 不 相 交 , 而 與 另 一 族 母 線 相 交 , 正 是 這 種 性 質(zhì) 在 技 術(shù) 中 得 到 了 應(yīng) 用 . 例 如 , 用 直 立 木 桿 造 水 塔 ,

30、如 果 把 這 些 桿 垂 直 地放 置 , 那 就 只 能 得 到 一 個 很 不 牢 固 的 建 筑 物 , 它會 因 為 非 常 小 的 負(fù) 荷 而 損 壞 . 如 果 立 桿 時 , 使 它們 構(gòu) 成 一 個 單 葉 雙 曲 面 (就 是 兩 組 母 線 族 ), 并 使它 們 的 交 點 處 連 接 在 一 起 , 就 會 得 到 一 個 非 常 輕巧 而 又 非 常 堅 固 的 建 筑 物 . 許 多 化 工 廠 或 熱 電 廠 的 冷 卻 塔 就 是 利 用 了 這 個 原 理 . 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 火 電 廠 、 核 電 站 的

31、 循 環(huán) 水 自 然 通 風(fēng) 冷 卻 的 一 種構(gòu) 筑 物 。 建 在 水 源 不 十 分 充 足 的 地 區(qū) 的 電 廠 ，為 了 節(jié) 約 用 水 ， 需 設(shè) 置 冷 卻 構(gòu) 筑 物 ， 以 使 從 冷卻 器 排 出 的 熱 水 在 其 中 冷 卻 后 可 重 復(fù) 使 用 。 大型 電 廠 采 用 的 冷 卻 構(gòu) 筑 物 多 為 雙 曲 線 型 冷 卻 塔 .英 國 最 早 使 用 這 種 冷 卻 塔 。 20世 紀(jì) 30年 代 以 來在 各 國 廣 泛 應(yīng) 用 ， 40年 代 在 中 國 東 北 撫 順 電 廠 、阜 新 電 廠 先 后 建 成 雙 曲 線 型 冷 卻 塔 群 。7.2 單

32、 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 冷 卻 塔 由 集 水 池 、 支 柱 、 塔 身 和 淋 水 裝 置 組 成 .塔 身 為 有 利 于 自 然 通 風(fēng) 的 雙 曲 線 形 無 肋 無 梁 柱的 薄 壁 空 間 結(jié) 構(gòu) ， 多 用 鋼 筋 混 凝 土 制 造 ， 塔 高一 般 為 75 110米 ， 底 邊 直 徑 65 100米 。 雙 曲線 型 冷 卻 塔 比 水 池 式 冷 卻 構(gòu) 筑 物 占 地 面 積 小 ，布 置 緊 湊 ， 水 量 損 失 小 ， 且 冷 卻 效 果 不 受風(fēng) 力 影 響 ； 它 又 比 機(jī) 力 通 風(fēng) 冷 卻 塔 維 護(hù) 簡 便 ，節(jié)

33、約 電 能 ； 但 體 形 高 大 ， 施 工 復(fù) 雜 ， 造 價 較 高 . 7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 例 2 求 單 葉 雙 曲 面 (ac 或 bc) 1222222 czbyax上 的 正 交 的 直 母 線 交 點 的 軌 跡 .解 : 為 簡 化 計 算 , 單 葉 雙 曲 面 的 直 母 線 族 中 的雙 參 數(shù) 可 以 改 為 單 參 數(shù) 如 下 : ,)( )(: l byczaxu byuczaxu 11 l byczaxv byvczaxv 11)( )(:7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 注 意

34、 : lu 族 比 ls:t 族 中 缺 少 一 條 直 線 , 001 czax bylv 族 比 ls:t 族 中 缺 少 一 條 直 線 . 001 czax by7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 由 單 葉 雙 曲 面 的 直 母 線 的 性 質(zhì) 可 知 , 正 交 的 直 母 線 必 異 族 . 從 中 各 自 任 取 一 條 為 : ,)( )(: l byczaxu byuczaxu 11 l byczaxv byvczaxv 11)( )(:其 方 向 向 量 分 別 為 : lu : ( a(u21), 2bu, c(u2+1) )lv :

35、( a(v21), 2bv, c(v2+1) )7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 它 們 的 交 點 坐 標(biāo) 為 ),)(,)(,)( vuuvcvu uvbvuuva 11由 于 兩 直 母 線 垂 直 , 所 以 a2(u21)(v21) 4b2uv + c2 (u2+1) (v2+1) = 0,即 a2 (uv+1)2 (u+v)2 + b2 (uv)2 (u+v)2 + c2 (uv1)2 + (u+v)2 = 0,7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 也 即 ,)()()( 222222222 11 cbavuuvcvu

36、 uvbvuuva 這 說 明 交 點 坐 標(biāo) 滿 足 方 程 x2 + y2+ z2 = a2 + b2 c2 ,又 異 族 兩 直 母 線 的 交 點 必 定 在 原 單 葉 雙 曲 面 上 , 故 所 求 軌 跡 的 方 程 為 . 1222222 222222 czbyax cbazyx7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 注 : 一 般 二 次 直 紋 面 的 直 母 線 族 的 一 種 求 法 : 設(shè) 二 次 方 程 可 寫 成 F (x, y, z) G(x, y, z) = H(x, y, z) K(x, y, z), 其 中 F, G, H, K

37、是 x, y, z 的 一 次 式 或 常 數(shù) , 則 這 曲 面 有 直 母 線 族 : ),(),( ),(),( zyxszyxt zyxtzyxs KG HF .),(),( ),(),( zyxszyxt zyxtzyxs HG KF和7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 例 3 說 明 方 程 (x+y) (y+z) = x + 2y+z 表 示 一 個 柱 面 , 并 求 過 (1, 1, 1) 的 直 母 線 方 程 . 解 : 由 上 面 的 注 可 知 , 該 曲 面 有 直 母 線 族 zyxzyu uyx 2)( 和 zyxyxv vzy

38、2)(即 012 zuyux uyx )()(和 ,)()( 021 zyvxv vzy7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 其 方 向 向 量 為 (1, 1, 0) (1, 2u, 1u) =(1u, u1, 1u), 和 (0, 1, 1) (1v, 2v, 1) =(v1, 1v, v1), 它 們 的 方 向 都 相 同 , 都 是 (1, 1, 1) , 也 即 過 曲 面 上 任 一 點 , 有 固 定 方 向 (1, 1, 1) 的 一 條 直 母 線 通 過 , 故 曲 面 是 柱 面 .過 點 (1, 1, 1) 的 直 母 線 方 程 為 .1 1111 1 zyx7.2 單 葉 雙 曲 面 的 直 紋 性 上 頁 下 頁 結(jié) 束 作 業(yè)P119. 習(xí) 題 2.7 1, 3, 10. 補(bǔ) 充 作 業(yè) : 證 明 方 程 y2 + 2yz + z2 = 1 x2 表 示 一 個 柱 面 . 課 外 思 考 題 : P119. 習(xí) 題 2.7 6, 7, 8.