多面函數(shù)與二次曲面高程擬合的精度比較

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1、LOGO報 告 人 ： 張 暉 日 期 ： 2012年 12月 3日多 面 函 數(shù) 與 二 次 曲 面 高 程擬 合 的 精 度 比 較 關(guān) 鍵 詞 ： 大 地 高 正 常 高 二 次 曲 面 法 多 面 函 數(shù) 法摘 要 GPS平 面 測 量 數(shù) 據(jù) 由 于 其 高 精 度 的 特 性 已 在 測 繪 領(lǐng) 域 到 了 廣 泛 的 應(yīng) 用 。如 何 有 效 利 用 其 高 程 信 息 ， 把 大 地 高 轉(zhuǎn) 化 為 正 常 高 ， 直 接 為 測 繪 行 業(yè) 服 務(wù) 是一 個 非 常 實 際 且 有 意 義 的 課 題 。 針 對 目 前 GPS高 程 擬 合 的 研 究 現(xiàn) 狀 ， 本 文

2、主要 討 論 GPS點 位 成 面 狀 分 布 時 的 兩 種 擬 合 方 法 ， 即 對 二 次 曲 面 法 和 多 面 函 數(shù)法 比 較 。 目 錄 GPS高程擬 合基本理論二次曲面法擬 合多面函數(shù) 法擬 合實 例分析總 結(jié) 分析 GPS高 程 擬 合 基 本 理 論v 高 程 基 準 面 ： 高 程 基 準 面 是 地 面 點 的 高 程 起 算 面 ， 即 水 準 零 點 。v 測 量 中 主 要 涉 及 三 個 高 程 基 準 面 ： 地 球 的 物 理 表 面 大 地 水 準 面 ， 地 球 的 數(shù)學(xué) 表 面 參 考 橢 球 面 ， 還 有 一 個 抽 象 的 曲 面 似 大 地

3、水 準 面 。v 高 程 系 統(tǒng) ： 與 三 個 高 程 基 準 面 相 對 應(yīng) 有 三 個 常 用 的 高 程 系 統(tǒng) ， 正 高 高 程 系 統(tǒng) 、大 地 高 高 程 系 統(tǒng) 、 似 大 地 高 高 程 系 統(tǒng) 。v 目 前 我 國 所 用 的 高 程 系 統(tǒng) 為 似 大 地 高 高 程 系 統(tǒng) 而 GPS高 程 是 大 地 高 高 程 系 統(tǒng) 。由 于 參 考 橢 球 面 與 似 大 地 水 準 面 不 重 合 。 大 地 高 與 正 常 高 之 間 就 存 在 一 個 高程 異 常 。 如 下 圖 所 示 GPS高 程 擬 合 的 基 本 理 論v 正 常 高 與 大 地 高 之 間

4、的 關(guān) 系 為 ：v 因 此 求 出 高 程 異 常 進 而 求 的 正 常 高 ，建 立 似 大 地 水 準 面 的 過 程 就 是 GPS高 程 擬 合 的 過 程 。 HH 高 程 異 常 9210 aaaa ， 二 次 曲 面 法 高 程 擬 合 v 曲 面 擬 合 法 ： 當(dāng) GPS點 布 設(shè) 成 一 定 區(qū) 域 面 時 ， 可 以 用 數(shù) 學(xué) 曲 面 擬 合 法 求 定 待定 點 的 正 常 高 。 其 原 理 是 :根 據(jù) 測 區(qū) 中 已 知 點 的 平 面 坐 標(biāo) x、 y(或 大 地 坐 標(biāo) B、L)和 高 程 異 常 值 ， 用 數(shù) 值 法 擬 合 ， 擬 合 出 測 區(qū)

5、似 大 地 水 準 面 ， 再 內(nèi) 插 出 待 求點 的 高 程 異 常 ， 從 而 求 出 待 求 點 的 正 常 高 。v 多 項 式 曲 面 擬 合 ： 多 項 式 曲 面 擬 合 法 是 近 年 來 使 用 的 主 要 擬 合 方 法 ， 其 中 二次 多 項 式 曲 面 擬 合 最 為 常 見 。 多 項 式 曲 面 擬 合 的 一 般 模 型 為 :v 式 中 為 模 型 的 待 定 參 數(shù) 。v 當(dāng) 控 制 點 為 n個 ， 所 取 的 項 數(shù) 為 n項 時 ， 則 存 在 如 下 方 程 組 矩 陣 : .3928273625423210 yaxyayxaxayaxyaxaya

6、xaa XA 二 次 曲 面 法 高 程 擬 合v 其 中 v 通 過 高 斯 消 元 法 求 出 模 型 參 數(shù) A， 然 后 求 出 未 知 點 的 高 程 異 常 值 ， 進 而求 出 正 常 高 。 110n 110naaaA 2 111 2111 2000111 nnn xyx xyx xyxXH 二 次 曲 面 法 高 程 擬 合v 當(dāng) 控 制 點 個 數(shù) 多 于 多 項 式 的 項 數(shù) 時 ， 為 了 充 分 利 用 己 知 數(shù) 據(jù) ， 通 常 會 采 用 最小 二 乘 法 擬 合 。v 設(shè) 點 的 高 程 異 常 與 其 平 面 坐 標(biāo) 存 在 以 下 關(guān) 系 式 ：v 其 中

7、 v 根 據(jù) 最 小 二 乘 原 理 可 求 ： 帶 入 模 型 公 式 可 求 出 未 知 點 的高 程 異 常 ， 進 而 求 出 正 常 高 。 yx,0 XAV 110nvvvV 2 111 2111 2000111 nnn xyx xyx xyxX 110naaaA 002010 n 01)( TT XXXA 二 次 曲 面 法 高 程 擬 合v 在 工 程 中 應(yīng) 用 較 多 的 是 二 次 曲 面 法 擬 合 ， 其 數(shù) 學(xué) 模 型 為 ：v 在 求 模 型 參 數(shù) 時 需 要 至 少 6個 已 知 點 的 高 程 異 常 值 。 25423210 yaxyaxayaxaa 多

8、面 函 數(shù) 法 高 程 擬 合v 多 面 函 數(shù) 擬 合 曲 面 的 方 法 是 美 國 Hardy教 1977年 提 出 的 ， 其 理 論 基 礎(chǔ) 是 ， 任何 一 個 圓 滑 的 數(shù) 學(xué) 曲 面 總 可 以 用 一 系 列 有 規(guī) 則 的 數(shù) 學(xué) 表 面 的 綜 合 ， 以 任 意 精度 逼 近 。v GPS高 程 多 面 函 數(shù) 擬 合 法 就 是 把 擬 合 區(qū) 域 的 高 程 異 常 ， 用 多 個 曲 面 高 度 逼 近 ，建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 ， 借 此 可 以 求 得 未 知 點 的 高 程 異 常 ， 然 后 根 據(jù) GPS所 求 的 大 地高 來 計 算 常 規(guī) 基 準

9、 下 的 正 常 高 。v 一 個 數(shù) 學(xué) 表 面 上 點 的 函 數(shù) 值 可 表 達 成),( yx ),(),( 1 iiuj j yxyxQayx ),( yx 多 面 函 數(shù) 法 高 程 擬 合v 式 中 ， 為 待 定 系 數(shù) ； 是 x和 y的 二 次 核 函 數(shù) ， 其 中 核 心 在 處 ， 可 由 二 次 式 的 和 確 定 ， 故 稱 多 面 函 數(shù) ； x, y為 待 求 點 的 坐 標(biāo) ， 為 已知 點 坐 標(biāo) 。v 其 矩 陣 形 式 為 :v 根 據(jù) 最 小 二 乘 原 理 可 知 其 模 型 參 數(shù) ： v 將 模 型 參 數(shù) 代 入 函 數(shù) 模 型 可 得 高

10、程 異 常 值 ， 進 而 求 出 未 知 點 的 正 常 高 。v 常 用 的 核 函 數(shù) 有 正 雙 曲 面 和 倒 雙 曲 面 兩 種 ， 其 函 數(shù) 模 型 如 下 ：v 正 雙 曲 面 ： 其 中 稱 為 光 滑 因 子 ， 當(dāng) 其 值 為 0時 ， 正 雙 曲 面 退 化 為 圓 錐 面 。v 倒 雙 曲 面 ：ja ),( ii yxyxQ ),( ii yx ii yx ,0 AQV 01)( TT QQQA 2122 )()( ii yyxxQ 2122 )()( ii yyxxQ 多 面 函 數(shù) 法 高 程 擬 合v 高 程 擬 合 的 精 度 評 定 指 標(biāo)v 內(nèi) 符 合

11、 精 度 ： 根 據(jù) 參 與 計 算 的 己 知 點 的 高 程 異 常 值 和 計 算 后 得 到 的 高 程 異常 值 用 求 得 殘 差 值 ， 按 下 式 計 算 GPS水 準 的 內(nèi) 符 合 精 度v 外 符 合 精 度 ： 同 樣 根 據(jù) 參 與 檢 核 的 己 知 點 的 高 程 異 常 值 和 計 算 后 得 到 的 高程 異 常 值 用 求 得 殘 差 值 ， 按 下 式 計 算 GPS水 準 的 內(nèi) 符 合 精 度i0i 0iiiv 1 nVV 0iiiv 0i i1 nVVM 多 面 函 數(shù) 法 高 程 擬 合v 內(nèi) 符 合 精 度 與 外 符 合 精 度 都 是 從 點

12、 的 統(tǒng) 計 角 度 出 發(fā) 的 ， 可 以 說 是 一 種 相 對 意義 上 的 絕 對 精 度 評 定 。 垂 直 數(shù) 據(jù) 因 參 考 基 準 的 不 同 ， 會 有 不 同 的 系 統(tǒng) 偏 差 ，所 以 在 某 種 意 義 上 相 對 精 度 的 評 定 更 有 說 服 力 。水 準 限 差 注 ： L為 已 知 點 與 檢 核 點 的 距 離 （ 單 位 ： 公 里 ）測 量 等 級 允 許 的 最 大 限 差 （ mm）三 等 幾 何 水 準 測 量 四 等 幾 何 水 準 測 量普 通 幾 何 水 準 測 量 L20 L12 L30 實 例 分 析v 右 圖 為 某 中 型 城市

13、的 城 市 控 制 網(wǎng) ， 圖中 共 有 37個 GPS E級 控 制 點 。 為 了 研 究GPS擬 合 原 理 ， 對 以上 所 有 控 制 點 都 進 行了 三 等 水 準 測 量 ， 并應(yīng) 用 穩(wěn) 健 估 計 進 行 粗差 探 測 ， 未 發(fā) 現(xiàn) 粗 差 。v 為 了 保 證 試 驗 數(shù) 據(jù) 的 可 靠 性 ， 其 具 體數(shù) 據(jù) 見 下 表 。 實 例 分 析實 驗 數(shù) 據(jù) 表 （ 部 分 ）序 號 X坐 標(biāo) Y坐 標(biāo) 大 地 高 正 常 高 高 程 異 常1 -9230.899 -30277.679 11.879 3.493 8.3862 -10589.011 -26223.536

14、14.337 5.757 8.5803 -8775.220 -23280.827 13.173 4.500 8.6734 -7666.317 -19160.955 12.263 3.397 8.8665 -11649.851 -36495.574 11.592 3.430 8.1616 -8129.317 -33611.141 13.344 5.134 8.2107 -4334.088 -33564.440 12.817 4.610 8.2078 295.107 -32024.104 11.821 3.597 8.225 9 3802.651 -31147.313 13.030 4.776 8

15、.25410 -11790.336 -21649.388 12.587 3.808 8.77811 -7892.980 -26803.839 12.313 3.755 8.558 實 例 分 析v 續(xù) 表序 號 X坐 標(biāo) Y坐 標(biāo) 大 地 高 正 常 高 高 程 異 常12 2078.745 -38769.456 12.097 4.173 7.92513 -9337.283 -39433.379 11.931 3.925 8.00514 -14355.472 -39856.997 11.467 3.421 8.04615 -17115.063 -49101.972 11.579 3.884 7

16、.69516 -18538.802 -52552.997 13.403 5.835 7.569 17 -15219.401 -53448.173 12.377 4.852 7.52518 -12601.594 -53833.912 11.381 3.906 7.47519 -12173.846 -29772.276 11.250 2.822 8.42820 -4986.383 -37421.711 11.366 3.332 8.034 實 例 分 析v 使 用 1、 7、 9、 10、 11、 13、 16、 17、 18、 19、 20、 22、 25、 26、 27、 28、31、 33

17、、 34、 36 共 20 個 均 勻 分 布 的 控 制 點 應(yīng) 作 為 已 知 點 ， 2、 3、 4、 5、 6、 8、12、 14、 15作 為 檢 核 點 分 別 用 二 次 曲 面 法 和 多 面 函 數(shù) 法 進 行 擬 合 計 算 ， 其 分 析 結(jié) 果 如下 表 ： 數(shù) 據(jù) 擬 合 分 析序 號 已 知 高 程 異 常 擬 合 值 殘 差 值 二 次 曲 面 錐 面 倒 雙 曲 面 二 次 錐 面 倒 雙 曲 面 2 8.580 8.549 8.536 8.624 -0.031 -0.043 0.045 3 8.673 8.626 8.759 8.773 -0.047 0.08

18、6 0.100 4 8.866 8.726 9.559 8.380 -0.140 0.693 -0.487 5 8.161 8.213 8.048 8.198 0.052 -0.114 0.037 6 8.210 8.290 8.177 8.279 0.080 -0.033 0.069 8 8.225 8.253 8.174 8.359 0.028 -0.051 0.13412 7.899 7.901 8.551 7.568 0.002 0.627 -0.35714 8.046 8.107 7.896 8.044 0.061 -0.150 -0.00215 7.695 7.732 7.563

19、7.716 0.037 -0.133 0.021外 符 合 精 度 0.065 0.207 0.224 實 例 分 析v 當(dāng) 核 函 數(shù) 為 錐 面 函 數(shù) 時 C取 1， 當(dāng) 核 函 數(shù) 為 到 雙 曲 面 時 取 10000， 以 下 是這 三 種 擬 合 模 型 的 殘 差 圖 。 2 實 例 分 析v 當(dāng) 選 取 1、 7、 9、 10、 11、 13、 19、 20、 22、 26、 28、 33、 34、 36這14個 點 作 為 已 知 點 進 行 二 次 曲 面 擬 合 時 其 精 度 如 下 表 ：序 號 二 次 曲 面 擬 合 殘 差 （ 14點 ） 二 次 曲 面 擬 合

20、 殘 差 （ 20點 ）2 -0.050 -0.031 3 0.002 -0.047 4 -0.062 -0.140 5 0.016 0.0526 0.061 0.0808 0.018 0.02812 0.135 0.002 14 0.011 0.061 15 -0.055 0.037 實 例 分 析v 其 殘 差 圖 如 下 ： 總 結(jié)總 結(jié) 與 分析一 二 三 對 于 地 勢 比 較 平 坦 ， 或 者 高 程 變 化 比 較 平 緩 時 ， 二 次 曲 面 法 擬 合 可 以 滿 足 其 精 度 要 求 對 于 多 面 函 數(shù) 法 擬 合 核 函 數(shù) 的 選 取 ， 以 及平 滑 因 子 都 會 對 精 度產(chǎn) 生 較 大 影 響 一 定 要多 次 嘗 試 。 已 知 點 的 選 取一 定 要 均 勻 ，并 非 已 知 點 越 多精 度 就 越 高 。 LOGO