《幾何與代數(shù)》PPT課件.ppt

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1、 6.2 空 間 的 曲 面 與 曲 線 將 空 間 曲 線 c 看 成 某 兩 個 曲 面 S1: F(x, y, z ) = 0 與S2: G(x, y, z ) = 0的 交 線 ， 則 若 點 P(x, y, z) 在 曲 面 S 上 F(x, y, z) = 0， 則 稱F(x, y, z) = 0為 曲 面 S的 方 程 。稱 為 空 間 曲 線 c 的 一 般 方 程 。 F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 P(x, y, z)F(x, y, z) = 0F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 x = x(t) y = y(t) z =

2、 z(t) 曲 面 的 一 般 方 程 :曲 線 的 一 般 方 程 : 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 :一 、 常 見 曲 面 基 本 問 題 ： (1) 給 出 圖 形 ， 建 立 曲 面 方 程 ；(2)已 知 坐 標(biāo) 滿 足 的 方 程 ， 研 究 其 表 示 的 曲 面 。 1. 球 面 (1) 以 點 P0(x0, y0, z0)為 球 心 ， R為 半 徑 的 球 面 方 程(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2 = R2 (2) 球 面 方 程 的 特 點 : 三 元 二 次 ; 二 次 項 x2, y2, z2前 面 的 系 數(shù) 相 同 ; 沒 有 xy, yz, zx這 類

3、 交 錯 項 。 (3) 由 方 程 x 2+y2+z2+Ax+By+Cz+D = 0， 配 方 得 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2 = k x yzO R b2 4a2 + c2 4a2 + d2 4a2 e a ax2 + ay2 + az2 + bx + cy + dz + e = 0 (x )2 + (y )2 + (z )2 = k b 2a c 2a b 2a 當(dāng) k 0時 : 球 面 , 球 心 ( , , ), b 2a c 2a b 2a 半 徑 k 當(dāng) k = 0時 : 點 當(dāng) k 0時 : 虛 球 面 曲 線 C: ( , ) 00f y zx C y zO繞

4、z軸 旋 轉(zhuǎn)2. 旋 轉(zhuǎn) 面 母 線 x C y zO 母 線曲 線 C: ( , ) 00f y zx 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn)2. 旋 轉(zhuǎn) 面 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 旋轉(zhuǎn) 曲 面 S. CS M (x,y,z)N ),0( 11 zyzz 1 P y zO 221 yxy f (y1, z1)=0 x M(x,y,z) S2 2( , ) 0 S f x y z ： 2 2PM x y 1PN y 曲 線 C: ( , ) 00f y zx 2. 旋 轉(zhuǎn) 面 母 線 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 :母 線 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ： S: C中

5、 軸 坐 標(biāo) (z)不 變 ,用 另 2個 變 量 的 平 方 和的 正 負(fù) 算 術(shù) 平 方 根 代 替 方 程 中 的 另 1個 變 量 . 反 過 來 ,方 程 中 若 有 兩 個 變 量 以 出 現(xiàn) ,這個 方 程 的 圖 形 一 般 是 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 .幾 種 常 用 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 :旋 轉(zhuǎn) 曲 面 名 稱 與 母 線 名 稱 對 應(yīng) . z yOx繞 z軸旋 轉(zhuǎn) (1) 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 : y xz繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 22 22 2 1 yx za b 22 2 2 10yxa bz 橢 圓 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 : 兩 個 平 方 項 系 數(shù) 相 同母 線 C: 0

6、 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：繞 z軸旋 轉(zhuǎn) (2) 旋 轉(zhuǎn) 雙 葉 雙 曲 面 : x2 22 2 10 x ya bz O y繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 .雙 曲 線旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 : 兩 個 平 方 項 系 數(shù) 相 同母 線 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：繞 z軸旋 轉(zhuǎn)2 2 22 2 1x y za b z (3) 旋 轉(zhuǎn) 單 葉 雙 曲 面 : a0旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 : 兩 個 平 方 項 系 數(shù) 相 同母 線 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z

7、：繞 z軸旋 轉(zhuǎn)2 22 2 10 x ya bz 繞 y 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 .雙 曲 線2 2 22 2 1x z ya b xyz (4) 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 :拋 物 線繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 . 2 2 ( 0)0y pz px yO旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 : 兩 個 平 方 項 系 數(shù) 相 同母 線 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：繞 z軸旋 轉(zhuǎn)2 2 2x y pz x z (5) 圓 錐 面 : 0 =y kxz 直 線繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 .旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 : 兩 個 平 方 項 系 數(shù) 相 同母 線 C:

8、0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：繞 z軸旋 轉(zhuǎn) z2 2 2 2y z k x x yo x2 + y2 = 1旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 特 點 : 兩 個 平 方 項 系 數(shù) 相 同母 線 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：繞 z軸旋 轉(zhuǎn)繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 .直 線(6) 圓 柱 面 : 動 直 線 平 行 于 z 軸 沿 著 圓移 動 所 產(chǎn) 生 的 曲 面 3. 柱 面 沿 給 定 曲 線 C 平 行 移 動 的 直 線 L 所 形 成 的 軌 跡 叫做 柱 面 。其 中 的 定 曲 線 C 稱 為 柱 面 的

9、 準(zhǔn) 線 ， 動 直 線 L 稱 為 柱面 的 母 線 。 說 明 (2).可 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 ， 使 母 線 平 行 于 坐 標(biāo) 軸 。下 面 考 察 母 線 平 行 于 z軸 的 柱 面 。則 此 柱 面 的 方 程 為 f(x, y) = 0。 母 線 平 行 于 設(shè) 柱 面 S的 準(zhǔn) 線 方 程 為 f(x, y) = 0 z =0 z軸 ， x z0母 線 L準(zhǔn) 線 C M (x,y,z)N(x, y, 0) Sf ( x,y )=0z = 0C:M(x,y,z) SS: f (x,y)=0(母 線 z軸 ) 圓 柱 面 橢 圓 柱 面 雙 曲 柱 面 拋 物 柱 面 2

10、 2 2x y r 2 22 2 1x ya b 2 22 2 1x ya b 2 2x py 4. 錐 面 直 線 l1 繞 另 一 條 與 l1 相 交 直 線 l2 旋 轉(zhuǎn) 一 周 ， 所 得 的旋 轉(zhuǎn) 曲 面 稱 為 圓 錐 面 。 說 明 (3). l1 與 l2 的 交 點 稱 為 圓 錐 的 頂 點 ， 兩 條 直 線的 夾 角 (0 0) 令 y = acost, z = asint,代 入 x2 + z2 = b2得x = b2 a2sin2t 由 此 可 得 該 雙 柱 面 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 為x = b2 a2sin2t (0 t 0)的 簡 圖 . 得 z2

11、+ z 20 = 0, 解 : 由 x2+y2+z2 = 25 z = x2+y25 而 z 0, 所 以 z = 4. 因 而 該 曲 線 也 可 以 看 成 柱 面x2+y2 = 9與 平 面 z=4的 交 線 ， 其簡 圖 如 右 圖 所 示 。 O x y z 1. 橢 球 面 2. 單 葉 雙 曲 面 3. 雙 葉 雙 曲 面 4. 二 次 錐 面 5. 橢 圓 拋 物 面 6. 雙 曲 拋 物 面 (馬 鞍 面 ) 一 、 二 次 曲 面 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 6.3 二 次 曲 面 二 、 一 般 方 程 表 示 的 二 次 曲 面 所 謂 二 次 曲 面 ， 就 是 由 一 個

12、三 元 二 次 方 程 所 表 示的 曲 面 ， 可 以 利 用 二 次 型 來 研 究 它 。 對 于 一 般 的 二 次 曲 面 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 其 中 x = (x1, x2, x3)T， A = (aij) 為 3階 實 對 稱 矩 陣 ，BT = (b1, b2, b3)。 由 正 交 變 換 x = Qy化 為 g(y1, y2, y3) = 1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c = 0 1. 當(dāng) 秩 (A) = 3時 ， 再 配 方 為 h(z 1, z2, z3) = 1z12 +2z22 +3z3

13、2 + c = 0 原 點 不 動 的 坐 標(biāo) 軸 旋 轉(zhuǎn)坐 標(biāo) 軸 平 移 根 據(jù) 系 數(shù) 1 , 2 , 3 和 常 數(shù) c 取 值 1. 橢 球 面 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x yba c zO x yba c zO 對 稱 性 : 關(guān) 于 原 點 、 坐 標(biāo) 軸 、 坐 標(biāo) 面 對 稱 區(qū) 域 : , ,x a y b z c 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 線 : 2 2 22 2 21x y ha b cz h h c 為 橢 圓 , 0,0,h c c 用 x=h, y=h截 得 的 截 線 類 似 2. 單 葉 雙 曲

14、 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 對 稱 性 : 關(guān) 于 原 點 、 坐 標(biāo) 軸 、 坐 標(biāo) 面 對 稱 區(qū) 域 : 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 線 2 2 22 2 21x y ha b cz h k b 橢 圓 用 y=k截 得 的 截 線無 界 2 2 22 2 21x z ka c by k k bk b 雙 曲 線 雙 曲 線 兩 直 線 用 x=l截 得 的 截 線 與 y=k類 似 h x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) 對 稱 性 : 關(guān) 于 原 點 、 坐 標(biāo) 軸 、

15、 坐 標(biāo) 面 對 稱 區(qū) 域 : 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 線 2 2 22 2 2 1x y ha b cz h 橢 圓 用 y=k截 得 的 截 線 2 2 22 2 21x z ka c by k 雙 曲 線 用 x=l截 得 的 截 線 與 y=k類 似 3. 雙 葉 雙 曲 面 x y z O z=c之 上 z=c之 下 hh c , 0,0,h c c h c無 交 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) 對 稱 性 : 關(guān) 于 原 點 、 坐 標(biāo) 軸 、 坐 標(biāo) 面 對 稱 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 線 2 2 22 2

16、2x y ha b cz h 橢 圓 用 y=k截 得 的 截 線 2 2 22 2 2x z ka c by k 用 x=l截 得 的 截 線 與 y=k類 似 h 0, 0,0,0h 0h 4. 二 次 錐 面 x y z O 0k 0k 雙 曲 線 兩 直 線 過 原 點 沿橢 圓 移 動 2. 單 葉 雙 曲 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 3. 雙 葉 雙 曲 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 4. 二 次 錐 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0

17、(a0, b0, c0) x y z O 5. 橢 圓 拋 物 面 2. 當(dāng) 秩 (A) = 2時 , 再 配 方h(z1, z2, z3) = 1z12 +2z22 + bz3 = 0 x2 a2 + y2 b2 = 2z (a0, b0) x y z O 對 稱 性 : 關(guān) 于 yOz、 xOz 、 z軸 對 稱 區(qū) 域 : 截 面 : 2 22 2 2x y ha bz h 橢 圓 z0 2 22 22x kza by k 拋 物 線 g(y1, y2, y3) = 1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c = 0 根 據(jù) 1 , 2 和常 數(shù) b 取 值 6. 雙

18、 曲 拋 物 面 (馬 鞍 面 ) x2 a2 y2 b2 = 2z (a0, b0)x y z O 對 稱 性 : 關(guān) 于 yOz、 xOz 、 z軸 對 稱 區(qū) 域 : 截 面 : 2 22 2 2x y ha bz h 無 限 伸 展 2 22 22x kza by k 拋 物 線 開 口 向 上 0h0h0h 雙 曲 線 雙 曲 線 兩 直 線 2 22 22y lzb ax l 拋 物 線 開 口 向 下 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 x = Qy 保 持 原 點 不 動 的 坐 標(biāo) 軸 旋 轉(zhuǎn)坐 標(biāo) 軸 的 平 移g(y) = yTy + B

19、Ty + c = 0 y = z+ 1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d 一 般 的 二 次 曲 面 二 、 一 般 方 程 表 示 的 二 次 曲 面 條 件 方 程 p,q d 二 次 曲 面p=3,q=0r(A)=3 b=0 2 21 1 2 223 3z zz d 橢 球 面球 面1 2 3 p=2, q=1 d0p=0,q=3 d0d 0, 而 1 = 2 0, 3 = |A| = 1k2/2. 由 此 可 得 , k 時 , 原 方 程 表 示 一 個 橢 球面 . 22 x2 + y2 + z2 2xz + 4x + 2y 4z 5 = 0例 11. 試 用 直

20、角 坐 標(biāo) 變 換 化 簡 下 面 的 方 程 . 解 : 令 A = 1 0 1 0 1 0 , 1 0 1 則 原 方 程 可 寫 成 TA + = 5, = 4, 2, 4, = x y z ,先 求 得 正 交 矩 陣 Q = , 2121 21210 0 0 1 0 使 Q TAQ = 1 0 0 0 2 0 . 0 0 0 但 這 里 |Q| = 1. 可 得 x2 + 2z2 = 10, 這 表 示 一 個 橢 圓 柱 面 . 令 = P, 其 中 = u, v, wT, 則 原 方 程 化 為 故 取 P = 21 21 21 210 0 0 1 0 , 則 P也 是 正 交 矩 陣 , 且 |P| = 1. 2(u+1)2 + 2(w+ )2 = 10, 2u2 + 2w2 + 2u + 4 w 5 = 0 再 令 x y z = + 21 0 u v w , x y z = 21 0 u v w ,即 綜 上 所 述 , 經(jīng) 直 角 坐 標(biāo) 變 換 原 方 程 化 為 x2 + 2z2 = 10. 21 (y+z)1 x = y = x 1 21 (yz)+1 z = a bc yx zo1. 橢 球 面 x zy 0z = a y = 0 x = b 6. 馬 鞍 面