二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關(guān)系

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1、 2013 屆高三理科數(shù)學一輪復習 8 二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關(guān)系 【考點解讀】 二次函數(shù)的性質(zhì)： B 級 【復習目標】 1．掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)； 2．理解二次函數(shù)、二次不等式、二次方程之間的關(guān)系。 活動一：基礎(chǔ)知識 說明： 為了學習的方便，在解一元二次不等式 ax 2 bx c 0 和 ax 2 bx c 0 時，二次項系數(shù) a 都變?yōu)檎龜?shù) ,解一元二次方程時二次項系數(shù) a 同樣也變?yōu)檎龜?shù)。 1

2、．三個 “二次 ”的基本關(guān)系： b2 4ac 0 0 0 ax 2 y y y y bx c (a 0) 的圖象 O x1 x2 O x O x x 方程 ax 2 bx c 0 的根 等 一 ax2 bx c 0 式 元 ( a 0) 的解集 的 二 ax 2 解

3、次 bx c 0 集 不 ( a 0) 的解集 2．三類重要題型： （ 1）二次函數(shù)的區(qū)間最值： y ax2 bx c(a 0) 在 [m, n] 上的最值： ① 解析式確定，區(qū)間確定；② 解析式確定，區(qū)間不定；③ 對稱軸不定，區(qū)間確定； ④ 開口向上求最大值與開口向下求最小值，分對稱軸與區(qū)間中點的兩種位置關(guān)系討論； ⑤ 開口向上求最小值與開口向下求最大值，分對稱軸與區(qū)間的三種位置關(guān)系討論； ⑥ 同時求最

4、大值和最小值分四種情況討論。 （ 2）二次不等式恒成立問題： ① 二次不等式在 R 上恒成立 ax2 a 0 ； ax2 bx c 0(a a 0 bx c 0(a 0, x R) 恒成立 0, x R) 恒成立 0 0 ② 二次不等式在區(qū)間上恒成立：化歸為區(qū)間最值問題 ax2 bx c p(a 0) 在區(qū)間 [ m, n] ax2 bx c p(a 0) 在區(qū)間 [ m, n]  上恒成立 f (x) 在區(qū)間 [ m, n] 上恒成立 f (x)在區(qū)間 [m, n] 

5、 上的最小值 f (x)min p即可； 上的最小值 f (x)max p即可； （ 3）二次方程根的分布（詳見考點 9） 3．二次函數(shù)的三種解析式： （ 1）一般式： f (x) ax2 bx c(a 0) 第 1 頁 共 4 頁 （ 2）頂點式： f ( x) a(x h)2 k (a 0) （ 3）兩根式： f ( x) a(x x1 )( x x2 )( a 0) 4．二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)： f (x) ax2 bx c(a 0)

6、 頂點： ( 2ab , 4ac4a b 2 ) 遞減區(qū)間： ( , 2ab ] 遞增區(qū)間： [ 2ab , ) 5．若二次函數(shù) y f (x) 恒滿足 f ( x m) f ( x n) ，則其對稱軸為 m n x 2 活動二：基礎(chǔ)練習 1．已知二次函數(shù) f (x) 同時滿足條件： （ 1） f (1 x) f (1 x) ； (2) f ( x) 的最大值為 15； （ 3） f ( x)

7、=0 的兩根立方和等于 17。求 f (x) 的解析式。 2．求函數(shù) y x2 2ax 1 在 [ 0,2] 上的值域。 3．已知 f ( x) x2 3x 5, x [t ,t 1] ，若 f ( x) 的最小值為 h(t ) ，寫出 h(t) 的表達式。 4．已知 f ( x) x2 ax 3 a ，若 x [ 2, 2] 時， f ( x) 0 恒成立，求實

8、數(shù) a 的取值范圍。 第 2 頁 共 4 頁 活動三：典型例題 例 1 設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f (x) x2 x a 1， x R . （ 1）討論 f ( x) 的奇偶性； （ 2）求 f ( x) 的最小值 例 2 定義在 R 上的奇函數(shù) f (x) ，當 x 0 時， f (x) 是

9、減函數(shù)，如果當 x [0,1] 時，不等式 f (1 2 x2 4a2 ) f (4ax 3) 0 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍。 例 3 已知函數(shù) f ( x) lg[( a 2 1) x2 ( a 1)x 1] （ 1） f ( x) 的定義域為 R，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 2） f ( x) 的值域為 R，求實數(shù) a 的取值范圍；

10、 第 3 頁 共 4 頁 活動四：自主檢測 1．若函數(shù) f (x)=x2 + 2(a － 1)x +2 在 (－∞ ,4] 上是減函數(shù) , 則實數(shù) a 的取值范圍是 。 2．若方程 2ax2－ x － 1=0 在 (0 , 1] 內(nèi)恰有一解 ，則實數(shù) a 的取值范圍是 。 3．函數(shù) f(x)=x2－ 2x +3 在 [0,a] 上有最大值 3，最小值 2, 則實數(shù) a 的取值范圍是 。 4．函數(shù) f ( x) log 1 (x2 ax 2a)

11、在 ( , 1 ) 單調(diào)遞減，則實數(shù) a 的取值范圍是 。 2 2 5．函數(shù) f( x)= ax2+bx+c( a<0) 對任意實數(shù) x 都有 f(2 － x)= f(2+ x), 試求滿足不等式 f [log1 (x2 x 21 )] 2 f [log1 (2x2 x 85)] 的 x 的取值范圍。 2 第 4 頁 共 4 頁