J23-63型曲柄滑塊壓力機設計【說明書+CAD】

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Its structure is simple ,the ease of operation , the performance is reliable .The coupling part uses the rigidity to transfer the key type coupling, the use service is convenient.Keywords: pressure machine, crank organization, machine manufacturing目 錄摘 要1Abstract1第一章 緒論31.1曲柄滑塊壓力機簡介31.2設計的目的51.3研究內容51.4設計步驟61.5基本設計技術參數(shù)的確定6第二章 曲柄滑塊機構的運動和受力分析72.1曲柄滑塊機構72.2曲柄壓力機滑塊機構的運動規(guī)律分析92.2.1滑塊的位移和曲柄轉角之間的關系92.2.2滑塊的速度和曲柄轉角的關系102.3曲柄壓力機滑塊機構的受力分析112.3.1忽略摩擦情況下滑塊機構主要構件的力學分析112.3.2考慮摩擦情況下滑塊機構主要構件的力學分析12第三章 曲柄滑塊結構設計153.1曲柄軸強度設計153.2曲軸強度計算163.3曲軸剛度計算173.4調節(jié)螺桿計算183.5軸承計算19第四章 大連桿結構設計204.1連桿和封閉高度調節(jié)裝置的結構204.2連桿的計算214.3連桿及球頭調節(jié)螺桿的強度計算224.4調節(jié)螺桿的螺紋234.5調節(jié)螺桿的螺紋計算244.6連桿上的緊固螺栓24第五章 滑動軸承的設計245.1滑動軸承的結構255.2滑動軸承的計算25第六章 滑塊結構設計27第七章 機械傳動設計287.1傳動系統(tǒng)分析287.2 V帶傳動設計297.3齒輪傳動設計327.4 轉軸的設計347.5 平鍵連接387.6 滾動軸承的選擇39總 結41參考文獻421.1曲柄滑塊壓力機簡介壓力機是用來對放置于模具中的材料進行壓力加工的機械，具有用途廣泛，生產(chǎn)效率高等特點，壓力機可廣泛應用于切斷、沖孔、落料、彎曲、鉚合和成形等工藝。機械壓力機工作平穩(wěn)、工作精度高、操作條件好、生產(chǎn)率高，易于實現(xiàn)機械化、自動化，適于在自動線上工作。機械壓力機在數(shù)量上居各類鍛壓機械之首。機械壓力機的規(guī)格用公稱工作力（千牛）表示，它是以滑塊運動到距行程的下止點約1015毫米處（或從下止點算起曲柄轉角約為1530時）為計算基點設計最大工作力。曲柄滑塊機構運動簡圖如圖：圖：曲柄滑塊機構運動簡圖 曲軸壓力機工作原理：機械壓力機工作時(圖2)機械壓力機工作原理圖,由電動機通過三角皮帶驅動大皮帶輪（通常兼作飛輪）,經(jīng)過齒輪副和離合器帶動曲柄滑塊機構,使滑塊和凸模直線下行。鍛壓工作完成后滑塊回程上行,離合器自動脫開，同時曲柄軸上的自動器接通，使滑塊停止在上止點附近。每個曲柄滑塊機構稱為一個“點”。最簡單的機械壓力機采用單點式，即只有一個曲柄滑塊機構。有的大工作面機械壓力機，為使滑塊底面受力均勻和運動平穩(wěn)而采用雙點或四點的。本課題以單個曲柄滑塊機構為研究對象。機械壓力機的載荷是沖擊性的，即在一個工作周期內鍛壓工作的時間很短。短時的最大功率比平均功率大十幾倍以上，因此在傳動系統(tǒng)中都設置有飛輪。按平均功率選用的電動機啟動后，飛輪運轉至額定轉速，積蓄動能。凸模接觸坯料開始鍛壓工作后，電動機的驅動功率小于載荷，轉速降低，飛輪釋放出積蓄的動能進行補償。鍛壓工作完成后，飛輪再次加速積蓄動能，以備下次使用。機械壓力機上的離合器與制動器之間設有機械或電氣連鎖,以保證離合器接合前制動器一定松開,制動器制動前離合器一定脫開。機械壓力機的操作分為連續(xù)、單次行程和寸動（微動），大多數(shù)是通過控制離合器和制動器來實現(xiàn)的?；瑝K的行程長度不變，但其底面與工作臺面之間的距離（稱為封密高度），可以通過螺桿調節(jié)。1.2設計的目的曲柄壓力機設計是機械類專業(yè)和部分非機械類專業(yè)學生的一次較全面的機械設計訓練，是機械設計基礎課程重要的綜合性與實踐性教學環(huán)節(jié),其基本目的是：通過曲柄壓力機的設計，綜合運用機械設計課程和其他有關先修課程的理論，結合生產(chǎn)實踐知識，培養(yǎng)分析和解決一般工程實際問題的能力，并使所說知識，得到進一步鞏固，深化和擴展。學習機械設計的一般方法，掌握通用機械零件，機械傳動裝置或簡單機械的設計原理和過程。運行機械設計基本技能的訓練，如計算、繪圖，熟悉和運用設計資料（手冊、圖冊、 標準和規(guī)范等）以及使用經(jīng)驗數(shù)據(jù)，進行經(jīng)驗估算和數(shù)據(jù)處理等。1.3研究內容內容包括：選擇電動機型號，曲柄滑塊運動和受力分析，曲柄滑塊結構設計，大連桿結構設計，并繪制裝配圖及零件圖，在設計中完成了以下工作：1 曲柄滑塊壓力機裝配圖2 零件工作圖五張（大連桿、軸、齒輪、曲軸、滑塊）3 撰寫設計說明書一份1.4設計步驟它通常是根據(jù)任務書擬訂若干方案并進行分析比較然后確定一個真確、合理的設計方案，進行必要的計算和結構設計，最后用圖紙表達設計結果，用設計書明書表示設計結果。曲柄壓力機的設計可按照以下所述的幾個階段進行：一、設計準備： 1、分析設計任務書，明確工作條件，設計要求的內容和步驟。 2、了解設計對象，閱讀有關資料，圖紙，觀察事物或模型以進行減速器裝拆試驗等。 3、熟悉機械零件的設計方案和步驟。 4、準備好設計需要的圖紙，資料和用具，并擬定設計計劃等。二、傳動裝置總體設計 1、確定傳動方案 2、計算電定機的功率，轉速，選擇電動機的型號 3、確定總傳動比和分配各級傳動比 4、計算各軸的功率，轉速和轉距三、各級傳動零件設計四、壓力機裝配草圖設計 1、選擇比例尺，合理布置試圖，確定壓力機和零件的相對位置。 2、確定軸上立作用點及支點距離，減速器箱體，曲柄系統(tǒng)及其附件的結構設計。五、零件工作圖設計 壓力機裝配圖 連桿零件圖 軸的零件圖齒輪零件圖 曲軸零件圖 滑塊零件圖1.5基本設計技術參數(shù)的確定項目名稱 單位 J23-63 公稱力 千牛 kN 630 公稱力行程 毫米 mm 4 滑塊行程 毫米 mm 130行程次數(shù) 次 / 分 SPM 80最大封閉高度 毫米 mm 320 封閉高度調節(jié)量 毫米 mm 70工作臺板厚度 毫米 mm 65立柱間距離 毫米 mm 275工作臺板至導軌間距離 毫米 mm 370工作臺板 前后 F.B. 毫米 mm 420 左右 L.R. 毫米 mm 630 工作臺孔尺寸 前后 F.B. 毫米 mm 150 左右 毫米 mm 300 直徑 毫米 mm 200滑塊底面 前后 F.B. 毫米 mm 260 左右 L.R. 毫米 mm 300 模柄孔尺寸 直徑 毫米 mm 50深度 毫米 mm 70第二章 曲柄滑塊機構的運動和受力分析2.1曲柄滑塊機構如圖1-1所示，L連桿長度； R曲柄半徑；S滑塊全行程；滑塊的位移，由滑塊的下死點算起；曲柄轉角，由曲柄軸頸最低位置沿曲柄旋轉的相反方向算起。從圖中的幾何關系可以得出滑塊位移的計算公式： 將上式對時間t微分，可求的滑塊的速度： 式中：連桿系數(shù)；曲柄的角速度。 在曲柄滑塊機構的受力計算中，連桿作用力通常近似地取等于滑塊作用力,即： 滑塊導軌的反作用力為： 式中：摩擦系數(shù)，；連桿上、下支承的半徑。曲柄所傳遞的扭矩可以看成由兩部分組成：無摩擦機構所需的扭矩和由于存在摩擦所引起的附加扭矩，即：式中：理想當量力臂；摩擦當量力臂；曲軸支承頸半徑。則曲柄滑塊機構的當量力臂為： 曲軸扭矩為： 如果上式取和（公稱壓力，公稱壓力角），則曲柄壓力機所允許傳遞的最大扭矩為： 2.2曲柄壓力機滑塊機構的運動規(guī)律分析本次設計壓力機工作機構采用是曲柄滑塊機構, A點表示連桿與曲軸的連結點,B點表示連桿與滑塊連接點,AB表示連桿長度. 滑塊的位移為s。a為曲柄的轉角。習慣上有曲柄最底位置（相當于滑塊在下死點處），沿曲柄旋轉的相反方向計算。2.2.1滑塊的位移和曲柄轉角之間的關系滑塊的位移和曲柄轉角之間的關系表達為而 令 則而 所以 代入整理得: 代表連桿系數(shù)。通用壓力機一般在0.10.2范圍內.故上式整理后得:式子中 s滑塊行程.(從下死點算起) a曲柄轉角, 從下死點算起,與曲柄旋轉方向相反者為正. R曲柄半徑 連桿系數(shù) L連桿長度(當可調時取最短時數(shù)值) 因此,已知曲柄半徑R和連桿系數(shù)時,便可從上式中求出對應于的不同a角的s值.有余玄定理知2.2.2滑塊的速度和曲柄轉角的關系 求出滑塊的位移與曲軸轉角的關系后,將位移s對時間t求導數(shù)就可求得到滑塊的速度v.即: 而 所以 式中 v滑塊速度 曲柄的角速度 又因為所以式中 n曲柄的每分鐘轉數(shù)從上式可看出,滑塊的速度V是隨曲柄轉角a角度變化的。在a=0時 V=0 , a角增大時V隨之顯著增大；但在a=之間時，V的變化很小,而數(shù)值最大.因此常常近似取曲柄轉角的滑塊的速度當作最大速度。用表示即上面公式表明，滑塊的最大速度與曲柄的轉速n，曲柄半徑R成正比，n越高，R越大，滑塊的最大速度Vmax也越大。 本壓力機滑塊的最大速度2.3曲柄壓力機滑塊機構的受力分析判斷曲柄壓力機滑塊機構能不能滿足加工需要除了它的運動規(guī)律是否符合要求外，還有很重要的一點就是要校核它的強度。而進行強度校核之前必須首先正確的將曲柄壓力機滑塊機構的主要構件進行力學分析。2.3.1忽略摩擦情況下滑塊機構主要構件的力學分析忽略摩擦和零件本身重量時滑塊的受力情況。其中P1料抵抗變形的反作用力，N導軌對滑塊的約束反力，Pab對滑塊的約束反力，這三個力交于B，組成一個平衡的匯交力系。根據(jù)力的平衡原理，從力三角形中可以求得P1、N、Pab之間關系如下： 有上式知 當時，取到最大值 一般曲柄壓力機，負荷達到公稱壓力時的曲柄轉角僅30度左右。因此可近似認為： 上面兩式便成為： 例如求公稱壓力角時,曲軸上齒輪傳遞的扭矩因為在時,滑塊能承受的最大負荷是40KN,所以坯料抵抗變形的反作用力也允許達到這個數(shù)值,即P=40KN 可查表2-2得 因此在不考慮摩擦時齒輪傳動的扭矩為: 上面,我們在分析連桿、滑塊受力和曲軸所需傳遞的扭矩的過程中,都沒考慮各活動部位的摩擦.這種處理問題的方法,對于分析連桿和滑塊受力,來說,誤差很小.且簡化了計算公式,完全可應用.但是,在計算曲軸所需傳遞的扭矩時,不考慮摩擦的影響,卻會帶來較大的誤差,因此計算時,應考濾由于摩擦所增加的扭矩.2.3.2考慮摩擦情況下滑塊機構主要構件的力學分析曲柄滑塊機構的摩擦主要發(fā)生在四處:1）.滑塊導向面與導軌之間的摩擦.如下圖所示,摩擦力的大小等于滑塊對導軌的正壓力,與摩擦系數(shù)的乘積,摩擦力的方向與滑塊的運動方向相反.工作行程時,滑塊向下運動,導軌對滑塊的摩擦力朝上,形成對滑塊運動的阻力.2）. 曲軸支承勁與軸承之間的摩擦.軸旋轉時,軸承對軸勁的摩擦力分布在軸勁工作面上,這些摩擦力對軸頸中心O形成與軸旋轉方向相反的阻力矩.它可近似的按下式計算: 由于小齒輪的作用力遠小于,所以可以認為兩個支反力的和 于是上式可變?yōu)?3）曲軸頸與連桿大端軸承之間的摩擦,它和上一種摩擦相同,也形成阻力矩,且可按下式計算:4）連桿銷與連桿小端軸承能夠之間的摩擦.它也形成阻力矩: 根據(jù)能量守恒的原理,曲軸所需增加扭矩在單位時間內所做的功。等于克服各處磨擦所消耗的功率。即： 式中：曲柄的角速度； 滑塊的速度； 曲柄和連桿的相對角速度，連桿的擺動角速度，所以可以求得的絕對值為：而將上式代入，并取=1，經(jīng)整理后得由于摩擦使曲軸所增加的扭矩為： 現(xiàn)以所設計的曲柄壓力機的曲柄滑塊機構為例,來分析上式中方括號內的值.有該曲柄壓力機的參數(shù)如下: R=80mm 代入式子中求得方括號內的值,即的值如下: 684.9 681.61 679.95 673.90 661.30 649.40從以上可以看出, 的值隨曲柄轉角而變化,但變化較小,在近似計算中,可以將看作不隨變化的常數(shù),并取其相當于=時的值.因此,上式可簡化為已知P=40KN 與不記摩擦的扭矩比較,最后的到考慮摩擦后曲軸所需傳遞的扭矩: 以上式子中:R曲柄半徑;曲柄的轉角;連桿系數(shù);摩擦系數(shù),一般取0.05曲軸支承頸的直徑曲軸頸的直徑連桿銷的直徑坯料抵抗變形的反作用力.第三章 曲柄滑塊結構設計曲軸的結構示意圖：3.1曲柄軸強度設計曲柄軸尺寸經(jīng)驗數(shù)據(jù)，支承頸直徑： （mm）式中：壓力機公稱壓力（KN），取 。其他各部分尺寸見下表： 曲軸各部分尺寸名稱代號經(jīng)驗數(shù)據(jù)實際尺寸（mm）曲柄頸直徑140支承頸長度221曲柄兩臂外側面間的長度350曲柄頸長度190圓角半徑10曲柄臂的寬度160曲柄臂的高度2103.2曲軸強度計算曲軸的危險截面為曲柄頸中央的截面和支承頸端部的截面。截面為彎扭聯(lián)合作用，但由于彎矩比扭矩大得多，故忽略扭矩計算出來的應力。彎矩：彎曲應力及強度條件：由上式可以導出滑塊上許用負荷：截面為扭彎聯(lián)合作用，但扭矩比彎矩大得多，故可以只計算扭矩的作用。扭矩：剪切應力及強度條件：滑塊上許用應力：考慮疲勞和應力集中的影響，許用應力如下計算：式中：曲軸材料屈服極限（MPa），調質處理，； 安全系數(shù)，取。3.3曲軸剛度計算曲軸的剛度計算用摩爾積分法計算曲柄頸中部的撓度。第一項很小，可以忽略，故簡化公式為： 式中：壓力機公稱壓力（KN）; 彈性模量，對鋼曲軸； 支承頸、曲柄臂、曲柄頸的慣性矩（）； 曲柄臂形心至曲柄頸形心的距離（mm）。曲軸計算撓度與實測撓度見下表：壓力機型號或噸位計算撓度實測撓度J23-630.1720.1793.4調節(jié)螺桿計算調節(jié)螺桿示意圖如圖： ?。?取 強度計算： 查表，45鋼（調質熱處理）(18012200)，符合要求。調節(jié)螺桿螺紋計算： 采用特種鋸齒螺紋 尺寸 選用 3.5軸承計算(1)曲軸軸承： (2)連桿大端軸承： (3)連桿小端軸承： 查表：有： ， 所以可以選用。第四章 大連桿結構設計4.1連桿和封閉高度調節(jié)裝置的結構1、連桿蓋 2、連桿 3、調節(jié)螺桿 4、球頭壓蓋 5、球頭下座 6、滑塊 7、螺釘 8、鎖緊塊 9、鎖緊塊由設計條件知連桿長度可調，就用改變連桿長度的方法改變壓力機的封閉高度。如圖43所示連桿和封閉高度調節(jié)裝置的結構，這種連桿由連桿蓋1、連桿2和球頭調節(jié)螺桿3等零件組成。其上端套在曲柄軸頸上，下端以球頭和滑塊6中的球座5及球頭壓蓋4連接。借扳手或用鐵棍撥動棘爪轉動球頭螺桿，就可以改變連桿長度，從而改變壓力機的封閉高度。4.2連桿的計算連桿的作用力:單點壓力機： 2 確定連桿及調節(jié)螺桿主要尺寸的經(jīng)驗公式：球頭式調節(jié)螺桿主要尺寸的經(jīng)驗公式見下表：計算部位代號經(jīng)驗公式實際尺寸球頭調節(jié)螺桿mm136102109129連桿mm179243連桿總長度L的確定確定連桿長度L時，應根據(jù)壓力機的工作特點，結構型式，精度和剛度要求等全面考慮。一般開式壓力機的連桿系數(shù),即連桿長度。取，即4.3連桿及球頭調節(jié)螺桿的強度計算連桿及因兩端有摩擦力矩存在，連桿及球頭調節(jié)螺桿受到壓應力和彎曲應力的聯(lián)合作用，應當演算其危險截面AA的合成力使： 危險截面的壓應力：式中：連桿作用力（KN）; 危險截面AA的面積（）； 危險截面的彎曲應力:式中：危險截面的截面模數(shù)，圓形截面； 危險截面的彎矩（Nm）： 式中：摩擦系數(shù)，??； 曲柄軸頸同連桿下支承端軸頸的半徑（mm）； X危險截面到連桿下支承軸頸中心的距離（mm），； L連桿的總長度（mm），對于長度可調的連桿。 球頭調節(jié)連桿常用45鋼鍛造，調質處理HBS220250，球頭表面淬火，硬度為42HRC。連桿體采用ZG35,正火處理。4.4調節(jié)螺桿的螺紋調節(jié)螺桿的螺紋，常采用強度較高的特種鋸齒形螺紋和梯形螺紋。因為壓力機是在重載情況下工作，故采用梯形螺紋，尺寸為M10012。4.5調節(jié)螺桿的螺紋計算由于螺母的材料一般較調節(jié)螺桿差，同時標準梯形螺紋及特種鋸齒形螺紋的抗彎強度均比擠壓強度，剪切強度低，所以一般只計算螺母（即長度可調連桿的連桿體，或調節(jié)螺母）的彎曲應力。式中：、螺紋的外徑和內徑； S螺距； H螺紋最小工作高度，； h螺紋牙根處高度，對于梯形螺紋； 連桿體或調節(jié)螺母螺紋的許用應力，對鑄鋼ZG35，。4.6連桿上的緊固螺栓連桿上端分成兩部分，應用緊固螺栓連接。緊固螺栓承受的載荷較為復雜，一般不予計算。查閱相關資料并參考，螺栓個數(shù)4個，螺栓直徑M24。第五章 滑動軸承的設計滑動軸承承受沖擊載荷的能力強，主要用于曲軸的主軸承、連桿大小端支承等。如圖所示： 5.1滑動軸承的結構 5.2滑動軸承的計算選用牌號為的滑動軸承，曲柄連桿機構中的滑動軸承，速度較低，承受短時高峰負荷，軸承處在邊界摩擦的狀況下工作，設計中應演算軸承軸瓦上的單位壓力p使：式中：軸承上的單位壓力（）； 作用在該軸承上的壓力（N）； 軸瓦的許用單位壓力（）； 軸承的支承投影面積（），與軸承的結構、尺寸相關。5.2.1驗算滑動軸承的單位壓力p曲軸支承軸瓦：連桿大端軸承：連桿小端軸承（球頭式）：5.2.2滑動軸承軸瓦上的速度曲軸軸承的速度：連桿大端支承處的速度：式中：曲軸軸承直徑（mm）； 曲柄軸頸直徑（mm）; 曲軸轉速（r/min），； 連桿系數(shù)，。驗算值：為防止發(fā)熱過于厲害，還應驗算它的值，即：式中：軸承上的單位壓力； 軸承工作表面見的滑動速度； 許用的值，與材料有關。對材料，。曲軸軸承：連桿大端軸承：第六章 滑塊結構設計滑塊上部與連桿相連，下底面安裝上沖模，內部有連桿，推料裝置，有的還要裝設封閉高度調節(jié)裝置，平衡裝置，保險裝置等，是一個復雜的箱型結構。它具有形式隨壓力機的用途，結構特點，公稱壓力大小，導軌形式等而改變?；瑝K的典型結構如附圖所示：滑塊導軌有關尺寸對照表如表： 開式壓力機導軌的形式如圖所示： 第七章 機械傳動設計7.1傳動系統(tǒng)分析J23-40的傳動系統(tǒng)由皮帶傳動、齒輪傳動、軸和軸承等組成。J23-40傳動示意圖如圖：此傳動系統(tǒng)采用上傳動，J23-63總傳動比為：采用剛性離合器，離合器將放在曲軸上。7.2 V帶傳動設計已知電動機功率為26.3KW，轉速=1470r/min，設備要求帶的傳動比=5.1、確定計算功率由機械設計表5-8查得工作情況系數(shù)=1.2由機械設計式（5-21）=1.226.3KW=31.56KW2、選擇V帶型號 由=31.56KW， =1470r/min和機械設計圖5-10，確定選用C型普通V帶。3、確定帶輪基準直徑 1)、按設計要求，由機械設計表5-2，C型帶輪的最小直徑為200mm，再參看機械設計圖5-10及表5-6，選擇小帶輪=200mm。 2)、驗算帶速v 在525m/s之間，滿足帶速要求。 3)、計算從動帶輪基準直徑，由機械設計式（5-17）得=（1-0.02）5200mm=980mm，按帶輪基準直徑系列取=1000mm。由機械設計式（5-17），實際傳動比傳動比誤差相對值一般允許誤差5，所選大帶輪直徑可用。4、確定中心距a0和帶的基準長度Ld由機械設計式（5-22） =200+1000mm=1200mm， 取。由機械設計式（5-23），帶長由機械設計表5-4，選取帶的基準長度為=5000mm。由機械設計式（5-24）計算實際中心距a5、校核小帶輪包角由機械設計式(5-25) ,滿足要求。6、確定V帶的根數(shù)由機械設計式（5-26） 由機械設計表5-6，；由機械設計表5-9，由機械設計表5-11， 由機械設計表5-12 取Z=4根7、計算帶的張緊力和壓軸力由機械設計式（5-27）單根帶的張緊力為由機械設計式（5-28）帶輪軸的壓軸力為8、C型V帶小帶輪的基本尺寸基準寬度 基準線上槽深 基準線下槽深 槽間距 第一槽對稱面至端面的最小距離 最小輪緣厚 齒槽寬 帶輪的基準直徑 外徑 孔徑 7.3齒輪傳動設計已知：主軸轉速，從動軸轉速，輸入功率，每天工作8小時，壽命10年，每年工作250天1、 選擇材料，熱處理，齒輪精度等級和齒數(shù)由機械設計表6-5、6-6，選擇小齒輪材料40Cr鋼，調制處理，硬度241286HBS， ，；大齒輪材料ZG35CrMo鑄鐵，調制處理，硬度179241HBS，；精度8級。 按齒根彎曲疲勞強度設計2、 齒根彎曲疲勞強度設計由機械設計公式（6-20）已知 取齒數(shù)， 取實際傳動比傳動比相對誤差=齒數(shù)選擇滿足要求由機械設計表6-10，軟齒面齒輪，懸臂安裝，取齒寬系數(shù)由機械設計表6-7查得，使用系數(shù)；參照圖6-6b，試取動載系數(shù)；由圖6-8a，按齒輪懸臂布置，取齒向載荷分布系數(shù)。由表6-8，按齒面未硬化，直齒輪，齒間載荷分配系數(shù)。由式（6-4）載荷系數(shù)由機械設計圖6-18查得小齒輪齒形系數(shù)，大齒輪齒形系數(shù)。由圖619查得，小齒輪應力修正系數(shù)，大齒輪應力修正系數(shù)由機械設計圖612、圖613查得，代入20，得， 由機械設計圖6-20查得，重合度系數(shù)按機械設計式（6-14）計算彎曲疲勞許用應力按圖624i、g,查得齒輪材料彎曲疲勞極限應力，由機械設計表613計算彎曲疲勞強度計算的壽命系數(shù)小齒輪應力循環(huán)次數(shù) 大齒輪應力循環(huán)次數(shù) 由機械設計圖625查取尺寸系數(shù)，由機械設計式（614）取 彎曲疲勞強度系數(shù)，按機械設計表612，取 比較，應按大齒輪計算齒輪彎曲疲勞強度 按機械設計表6-1 取標準模數(shù)m=6mm中心距分度圓直徑 齒頂圓直徑 齒根圓直徑 按計算結果校核前面的假設 齒輪節(jié)圓速度 查得，與原值一致。齒寬 小齒輪齒寬取50,大齒輪齒寬取45。 齒頂高 齒根高 齒高 齒距 齒原 齒槽高 7.4 轉軸的設計1、轉軸的初步設計轉軸所需傳遞的扭矩：式中 曲軸在公稱壓力角下的扭矩；從所計算轉軸至曲軸的傳動比，；從所計算轉軸至曲軸各級齒輪傳動的傳動效率（包括軸承的摩擦損耗）， 其中滾動軸承、齒輪傳動、滑動軸承； 軸選用45鋼制造，調制處理，許用扭轉應力。所以軸的初步計算最小直徑為：考慮軸上零件的固定方式，將初步確定的最小直徑d適當加大，取。2、按彎鈕聯(lián)合作用核算轉軸的強度經(jīng)過初算和進行結構設計后的轉軸，各段的直徑和長度已初步確定。但在此基礎上，還須進一步按彎鈕聯(lián)合作用核算軸的強度，以便判斷初步設計是否恰當。齒輪的法向作用力為：皮帶作用力比齒輪作用力小得多，所以可以忽略不計。根據(jù)和扭矩繪制轉軸的受力圖： 由于截面的彎矩和扭矩最大，直徑又比較?。ǎ?，所以此截面最危險。下面核算截面的強度。由彎矩產(chǎn)生的彎曲應力為： 由扭矩產(chǎn)生的剪應力為： 當量彎曲應力為：由于曲柄壓力機的轉軸不是長期滿載工作，許用當量彎曲應力可取為： 式中 轉軸材料屈服極限（），軸的材料是45鋼（調質），屈服極限； 安全系數(shù)，一般取。因此，符合要求。1、 核算軸的疲勞強度由于截面有臺階，應力集中現(xiàn)象比較嚴重，且直徑最?。ǎ?，彎矩又比較大，但扭矩和其他截面相同，因此核算此截面的疲勞強度。由機械設計表25查得軸材料的彎曲和剪切疲勞極限； 由機械設計表22查得彎曲和扭轉時材料對循環(huán)載荷的敏感系數(shù)；由機械設計附表3，查得彎曲和扭轉時圓角處的有效應力集中系數(shù)；由機械設計附表4，材料為碳鋼，毛皮直徑4050，彎曲和扭轉時的絕對尺寸影響系數(shù)；由機械設計附表5，查得表面質量系數(shù)。由于曲柄壓力機的軸所受載荷為脈動循環(huán)性質，所以所以復合安全系數(shù)查表查得許用安全系數(shù)，對于通用壓力機，對于自動壓力機，因此,軸的疲勞強度亦符合要求。7.5 平鍵連接在開式曲柄壓力機上，齒輪、皮帶輪等零件和軸的聯(lián)接常采用平鍵連接。為避免聯(lián)接中較弱零件（一般是輪轂）壓壞，應驗算擠壓應力： 式中 鍵所需傳遞的總扭矩， 鍵與輪轂的接觸高度，； 鍵的工作長度，對于C型普通平鍵，對于A型普通平鍵； 鍵的名義長度； 鍵的寬度； 鍵的直徑； 鍵的個數(shù)為避免加工困難和過分削弱軸的強度，一般； K考慮鍵受載不均勻的系數(shù)，當Z=2時K=0.75，當Z=1時K=1； 平鍵連接的許用擠壓應力，輪轂材料為鋼時，。對帶輪，材料為鑄鋼，采用C型鍵，查表得 ；，滿足要求。對齒輪，材料為鋼，采用A型鍵，查表得，滿足要求。 7.6 滾動軸承的選擇滾動軸承具有滾動摩擦的特點，因此它的優(yōu)點有：摩擦阻力小，啟動及運轉力矩小，啟動靈敏，功率損耗小且軸承單位寬度承載能力較大，潤滑、安裝及維修方便等。與滑動軸承相比，滾動軸承的缺點是徑向輪廓尺寸大，接觸應力高，高速重載下軸承壽命較低且噪音較大，抗沖擊能力較差。選擇軸承類型時應考慮多種因素。1、 載荷條件載荷較大時，一般選用線接觸的滾子軸承，反之選擇點接觸球軸承；軸承受純徑向載荷或主要承受徑向載荷，通常選用深溝球軸承、圓柱滾子軸承或滾針軸承；受純軸向載荷時選用推力球軸承，軸向力大時選用推力滾子軸承；當軸承同時受徑向和軸向載荷時應選用角接觸軸承或圓錐滾子軸承，當軸向載荷較大時，通常選用四點接觸球軸承或推力球軸承與深溝球軸承的組合結構。2、 軸承轉速通常軸承的工作轉速應低于其極限轉速。否則會降低使用壽命。一般轉速較高、載荷較小、要求旋轉精度高時，宜選用極限轉速較高的球軸承。超過極限轉速較多時，應選用特制高速滾動軸承。轉速低、載荷大獲沖擊載荷時應選用滾子軸承。3、 調心性能各種軸承使用時允許的偏斜角應控制在允許范圍內，否則會引起軸承的附加載荷而降低軸承的壽命。4、 安裝和拆卸要求為了便于軸承的安裝、拆卸和調整間隙，選用內、外圈可分離的軸承。若軸承裝在長軸上，為了便于裝拆和緊固，可選用帶內錐孔或帶緊固套的軸承。5、 經(jīng)濟性選用軸承時應考慮經(jīng)濟性。球軸承比滾子軸承便宜，同型號不同公差等級的軸承比價為P0:P6:P5:P41:1.5:2:6。選用高精度軸承時應慎重。 根據(jù)上述的選擇原則，在J2380開式曲柄壓力機的轉軸上選用一對圓錐滾子軸承作支撐，軸承徑向力，法向力為，轉速，運轉時有沖擊，軸頸直徑，要求壽命，選擇軸承型號。 根據(jù)已知條件，預選32211型軸承進行計算。每一個軸承承受的徑向負荷為：由于齒輪是直齒，所以忽略外加軸向力；又由于每端軸承是成對使用，徑向負荷產(chǎn)生的內部軸向力S互相抵消，因此，軸向負荷為0。平均徑向負荷為： 平均軸向負荷當量動負荷，壽命系數(shù)，速度系數(shù)所以 32211軸承的額定動負荷，因此符合要求。總 結畢業(yè)設計快要結束了。這是畢業(yè)前的一次大練兵，是對整個兩年大學學習效果的一次大檢驗或大驗收，對我們今后的學習和工作有重要的影響，是我們進入社會大舞臺的一塊敲門磚。因此，它的意義重大，每一個畢業(yè)生都要認真地對待。在設計的過程中，我頗有感受，現(xiàn)摘錄如下，以供參考。首先，通過這次畢業(yè)設計，使我對過去所學的各門課程都有了更深一層的理解，對各門功課在整個所學系統(tǒng)中的地位有了確切的認識。其次，在本次設計中我還學到了許多課堂上所沒學過的東西。通過老師的指導和查閱大量的相關資料，使我對研究的對象有了更深刻的認識，對其性能和要求有了更深的了解，從而為今后類似機器的設計打下了一定的基礎。此外，在本次設計中通過CAD和Word編輯等軟件的使用，使我更加感受到現(xiàn)代化工作方式所帶來的便捷性和優(yōu)越性。最后，要感謝我的指導老師，在設計中，老師給我提了許多寶貴意見，認真地指導我完成整個設計內容。同時，也感謝幫助過我的其他各位老師和同學。使我的畢業(yè)設計順利圓滿的完成。參考文獻1吳宗澤主編.機械設計.高等教育出版社，2001.2鄒慧君、傅祥志、張春林、李杞儀主編.機械原理，高等教育出版社，1999.3陳立德主編.機械設計基礎課程設計指導書.高等教育出版社，2000.4吳宗澤主編.機械設計實用手冊.化學工業(yè)出版社，1999.5熊文修主編.機械設計課程設計.華南理工大學出版社，1996.6戴少度.材料力學.國防工業(yè)出版社，2001.7陳心昭.機械加工手冊.機械工業(yè)出版社，2001.8陳立德.機械設計基礎課程設計.高等教育出版社，2006.9機械加工工藝裝備設計手冊機械加工工藝裝備設計手冊編委會期 機械工業(yè)出版社,2000.42應力為基礎的有限元方法應用于靈活的曲柄滑塊機構（多倫多大學：Y.L. Kuo .L. Cleghorn加拿大）摘要:本文在歐拉一伯努利梁基礎上提出了一種新的適用于以應力為基礎的有限元方法的程序。先選擇一個近似彎曲應力的分布，然后通過一體化確定近似橫位移。該方法適用于解決靈活滑塊曲柄機構問題，制定的依據(jù)是歐拉-拉格朗日方程，而拉格朗日包括與動能，應變能有關的組件，并通過彈性橫向撓度構成的軸向負荷的鏈接來工作。梁元模型以翻轉運動為基礎，結果表明以應力和位移為基礎的有限元方法。關鍵詞：應力為基礎的有限元方法，曲柄滑塊機構，拉格-朗日方程1.前言以位移為基礎的有限元方法通過實行假定位移補充能量。這種方法可能由內部因素產(chǎn)生不連續(xù)應力場，同時由于采用了低階元素，邊界條件與壓力不能得到滿足。因此，另一種被成為以應力為基礎采用假定應力的有限元方法得到了應用和發(fā)展。Veubeke和Zienkiewicz1-2首先對應力有限元素進行了研究。之后，這種方法被廣泛用于解決應用程序中的問題3-5。此外，還有各種書籍提供更加詳細的方法6，7。這一高速運作機制采用振動，聲輻射，協(xié)同聯(lián)結，和撓度彈性鏈接的準確定位。因此，有必要分析靈活的彈塑性動力學這一類的問題，而不是分析剛體動力學。 靈活的機制是一個由無限多個自由度組成的連續(xù)動力學系統(tǒng)，其運動方程是由非線性偏微分方程建立的模型，但得不到分析解決方案。Cleghorn et al8-10 闡述了橫向振動上的軸向荷載對靈活四桿機構的影響。并且通過能有效預測橫向振動和彎曲應力的五次多項式建立了一個翻轉梁單元。本文提出了一種新的方法來執(zhí)行建立在歐拉一伯努利基礎上的以應力為基礎的有限元方法。改進后的方法首先選定了假定應力函數(shù)。然后通過整合假定應力函數(shù)得到橫向位移函數(shù)。當然，這種方法能解決沒有強制制約因素的應力集中問題。我們可以通過這種方法解決靈活曲柄滑塊機構體系中存在的問題。目的是通過這種方法提高準確性，該系統(tǒng)存在的問題也可以通過取代基有限元方法來解決。結果可以證明偏差比較。2.以應力為基礎的歐拉一伯努利梁歐拉一伯努利梁的彎曲應力與橫向位移的二階導數(shù)相關，也就是曲率，可以近似的看做是形函數(shù)和交點變量：這里(i)N(c)是連續(xù)載體的形函數(shù)；(i)e 是列向量的交點函數(shù)，y是關于中性線的橫向定位，E是楊氏模量，（i）v是橫向位移，x軸向定位函數(shù)。由方程（1）可以推導出橫向位移轉換方程： 橫向位移：這里 (i)C1和(i)C2是兩個一體化常數(shù)，可以通過滿足兼容性來確定。將方程（2）和（3）代入（1），可以得到有限元位移和回轉曲率，如下所示：這里下標（C），（R）和（D）分別代表曲率，自轉和位移。運用變分原理，可以得到這些方程11-13。表1 分別比較以位移和應力為基礎的有限元方法的歐拉-伯努利梁元素以位移為基礎的有限元方法以應力為基礎的有限元方法近似橫向位移自由度立方米立方米近似彎曲應力線性線性交點變量兩端位移和回轉兩端曲率邊界應力滿足條件位移，回轉位移，回轉，彎曲應力自由度數(shù)量四二3.以位移和應力為基礎的有限元方法的比較 主要區(qū)別在于以位移為基礎的有限元方法的應力場存在不連續(xù)的內部因素，同時具有低階形函數(shù)。主要是因為不連續(xù)量的產(chǎn)生以及間離散分布。再者，它可能由于使用過多交點變量而產(chǎn)生剛度矩陣。以應力為基礎的方法與以位移為基礎的方法比較具有很多優(yōu)點。首先，以應力為基礎的方法產(chǎn)生的交點變量較少（如表1）。第二，使用以應力為基礎的方法時，彎曲應力的邊界條件可以得到滿足。最后，應力由體系方程直接計算得到。4.方程推導曲柄滑塊機構如圖1所示，由做剛體運動的曲柄來運作，該方程由有限元公式推導而得。有限元方程的推導過程如下：（1）建立剛體運動學曲柄滑塊機構；（2）構建基于剛體運動學機構的翻轉梁單元；（3）確定一套變量用來描述靈活曲柄滑塊機構的運動；（4）裝配所有梁單元。最后，就可以得到有限元方程，同時該靈活曲柄滑塊機構的時間響應可以通過時間一體化確定。圖1 靈活曲柄滑塊機構A翻轉梁的元方程考慮靈活的梁單元受到剛體翻轉和回轉運動。疊加在剛體運動軌跡時，縱向和橫向方向上允許一些撓度變量。通過拉格-朗日方程可以得到任意靈活翻轉的組件的微分方程。由于彈性變形認為是很小的，而且自由度是有限的，這個方程是線性的并且很容易畫出來。推導公式的元素也被很明確的列出來8-10，并且做了簡要的介紹。鑒于在軸向有很強的剛度，因此很有必要在縱向方向上合理考慮為剛性梁。所以，縱向方向如一下所示： （5）這里u1是交點變量，是關于x軸方向的常數(shù)，如圖2所示。橫向可以表示為： 翻轉梁單元上任意點的速度可以表示如下：這里（i）Vax（i）Vay）是梁單元在O點的絕對速度，如圖2所示； 是梁單元的角速度；（i）u（i）v）分別是梁單元上任意點縱向和橫向的位移，x是梁單元縱向的定位，如圖2所示。圖2 旋轉梁如果我們把 當作組件材料的單位體積；A是組件的橫截面積，L是組件的長度，組件的動能可以表示如下： 均勻剛性組件的軸向彎曲應變能量與楊氏模量E有關，得到二階矩陣I，如下所示：由縱向拉伸負荷工作，（i）P,組件的橫向撓度表示如下： 運功機制的縱向負荷不是一成不變的，與位置和時間有關。在忽略縱向彈性形變的前提下，縱向負荷可能來自于剛性慣性力，可以表示如下：這里PR是元件右側的外部縱向負載， 是x軸方向上O點的絕對加速度。如圖2所示。 拉格-朗日形式表示如下：將公式（5-100）代入（12），并且運用歐拉-拉格朗日方程，旋轉梁的運動方程可以表示為一下形式： 這里Me、Ce和Ke分別是元件的質量、等效阻尼和等效剛度矩陣；Fe是元件的載荷向量。當建立質量耦合矩陣時，應主要考慮滑塊機構。B.曲柄滑塊機構方程提出解決曲柄滑塊機構問題的方法，變量是曲率的節(jié)點。裝配所有元件時，考慮機構的邊界條件是很有必要的。因為該動力適用于基礎曲柄結構，在O點存在彎矩，如圖1所示，在O點也存在曲率。如圖1所示的A點和B點，我們假定它們是很小的點。然而，實際上，彎矩和曲率在這兩個點上都為零。因為公式（13）是變量的矩陣表示方式 ，這個公式可以通過總結所有的方程來得到，可以表示如下：這里M、C、K分別是質量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)是負載向量。5.穩(wěn)定狀態(tài)基礎上的數(shù)值模擬曲柄的轉速是150rad/s (1432rpm),該靈活曲柄滑塊機構的各項數(shù)值表示如下：R2=0.15(m)，R3=0.30(m), =0.225(kg/m), EI=12.72(N-m2), mB=0.03375(kg)。這里R2 和R3分別是曲柄和耦合器的長度，mB是滑塊的質量。通過曲柄和耦合器的一個運動周期，可以看出穩(wěn)態(tài)橫向位移和中點彎曲應力的變化情況，以及分析本課題的結果?？梢酝ㄟ^增加物理阻尼矩陣提高穩(wěn)定性，被稱作瑞利阻尼：這里和是兩個常數(shù)，可以從15中對應于兩個不同頻率的振動的阻尼比得到。本文中和的值取決于自然頻率。通過在運動方程中增加物理阻尼，也可以通過Newmark時間步驟觀測超過20個周期的運動，從而得到分析結果。當采用數(shù)值時間積分是出示條件從零開始。誤差可以表示為：這里QFEQRef 和分別表示以有限元方法和參考方法為基礎的兩個值，總的來說，可以建立時間方程，而且很容易被接受，比如能量、位移、彎矩等等。t1 和t2指的是時間積分的間隔，通常指的是穩(wěn)態(tài)條件下的以個周期。因為沒有一個合適的準確的方法，在本文中可以通過一個五次多項式表示20個元件鏈接為基礎的位移有限元方法得到參考值。Fig. 3. Time responses of the total energy, dimensionless midpoint deflection of the coupler, and the midpoint strain of the coupler at the steady statecondition圖3 總能量的時間響應，耦合器的量綱中點撓度，耦合器在穩(wěn)態(tài)條件下的中點應變。6.數(shù)值模擬在這一節(jié)中，我們討論剛性曲柄機構。耦合器是唯一的一個靈活的連桿。在第六節(jié)中以以梁單元為基礎，該梁單元可以做剛性軸運動，但是存在橫向撓度。在第三節(jié)中討論以有限元為基礎的方法時，很有必要考慮模型的邊界條件和形函數(shù)的相近程度，我們粗略的建立了耦合器應變線性分布方程，而且在彎矩不為零的條件下考慮耦合器的邊界條件。在下面這個例子中，我們認為耦合器是由兩個、三個、四個或者五個元件組成的，同時它的曲率分布可以表示為線性方程：于是，時間響應和總能量誤差，耦合器的中點撓度和應變都可以通過以應力為基礎的有限元方法得到。同時，也評估了第一自然頻率。曲柄的轉速為150rad/s (1432rpm) ，該靈活的曲柄滑塊機構中各個部件的值可以表示如下16：R2=0.15(m)，R3=0.30(m), =0.225(kg/m), EI=12.72(N-m2), mB=0.03375(kg)。這里R2 和R3分別是曲柄和耦合器的長度，mB是滑塊的質量。為了通過以位移為基礎的有限元方法比較誤差，我們同樣要用它建立一個機構，結果可以參考文獻17。表2 兩種有限元方法的第一自然頻率誤差元件數(shù)目第一自然頻率以位移為基礎的有限元方法以應力為基礎的有限元方法11.10E-1(DOF=2)23.91E-3(DOF=4)7.21E-3(DOF=1)38.10E-4(DOF=6)1.12E-3(DOF=2)42.60E-4(DOF=8)3.05E-4(DOF=3)51.07E-4(DOF=10)1.19E-4(DOF=4)DOF：自由度數(shù)目表3 兩種有限元方法的總能量誤差元件數(shù)目第一自然頻率以位移為基礎的有限元方法以應力為基礎的有限元方法11.94E-2(DOF=2)23.21E-3(DOF=4)8.85E-4(DOF=1)31.92E-3(DOF=6)3.77E-4(DOF=2)41.20E-3(DOF=8)2.82E-4(DOF=3)59.00E-4(DOF=10)2.17E-4(DOF=4)DOF：自由度數(shù)目圖3顯示了總能量的時間響應，耦合器的量綱中點撓度，耦合器在穩(wěn)態(tài)條件下的中點應變。表2-5分別比較了以位移為基礎和以應力為基礎的有限元方法的第一自然頻率誤差、總能量、耦合器的中點撓度量綱、以及耦合器的中點應變。誤差可以由公式（16）得到。結果表明，當兩種方法中的元件數(shù)目相同時，以應力為基礎的方法誤差較以位移為基礎的誤差大。但是，當自由度的數(shù)目相同時，以應力為基礎的有限元方法的誤差比以位移為基礎的有限元方法的誤差小很多。同時，我們注意到當元件相同，除去第一自然頻率誤差時，以應力為基礎的有限元方法的誤差也比以位移為基礎的有限元方法的小很多。這說明以應力為基礎的有限元方法可以提供大量精確的解決動態(tài)彈塑性問題的方法。表4 兩種有限元方法的耦合器中點撓度誤差元件數(shù)目第一自然頻率以位移為基礎的有限元方法以應力為基礎的有限元方法13.60E-1(DOF=2)25.27E-2(DOF=4)1.29E-2(DOF=1)33.26E-2(DOF=6)8.41E-3(DOF=2)42.14E-2(DOF=8)6.12E-3(DOF=3)51.57E-2(DOF=10)4.90E-3(DOF=4)DOF：自由度數(shù)目表5 兩種有限元方法的耦合器中點應變誤差元件數(shù)目第一自然頻率以位移為基礎的有限元方法以應力為基礎的有限元方法14.25E-1(DOF=2)21.65E-1(DOF=4)2.38E-1(DOF=1)35.35E-2(DOF=6)2.89E-2(DOF=2)44.38E-2(DOF=8)2.28E-2(DOF=3)52.27E-2(DOF=10)1.80E-2(DOF=4)DOF：自由度數(shù)目7.結論 本文提出了一種新的以應力為基礎的有限元方法來解決歐拉-拉格朗日梁問題。該方法尤其適用于解決動態(tài)彈塑性問題。并且提出了梁的近似曲率。然后我們可以通過整合近似曲率得到橫向撓度和應力分布。在整合過程中，有必要使梁單元的邊界條件得到滿足，從而可以得到整合常數(shù)。本文中，我們提出了在高速運作下解決靈活曲柄滑塊機構問題。結果表明，在同樣的自由度下，以應力為基礎的有限元方法的誤差小于常規(guī)方法的誤差，常規(guī)方法也就是以位移為基礎的有限元方法。同樣，在元件數(shù)目相同的條件下，以應力為基礎的有限元方法可以提供更多準確的解決方法。參考文獻1B. Fraeijs de Veubeke, “Displacement an equilibrium models in the finite element method”, stress Analysis, edited by O.C. Zienkiewicz, Wiley, New York, 1965.2B. Fraeijs de Veubekd and O.C. Zienkiewicz, “Strai-energy bounds in finite-element analysis by slab analogy” J. Strain Analysis, Vol. 2, pp. 265-271, 1967.3Z. Wieckowski, S.K. Youn, and B.S. Moon, “Stressedbased finite element analysis of plane plasticity problems”, Int. J Numer. Meth. Engng., Vol. 44, pp. 1505-1525, 1999.4H. Chanda and K.K. Tamma, “Developments encompassig stress based finite element formulations for materially nonlinear static dynamic problems”, Comp. Struct.,Vol. 59, No. 3, pp. 583-592, 1996.5M. Kaminski, “Stochastic second-order perturbation approach to the stress-based finite element method”, Int. J. Solids and Struct., Vol. 38, No. 21, pp. 3831-3852, 2001. 6O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor, The Finite Element Method, McGraw-Hill, London, 2000. 7R.H. Gallagher, Finite Element Fundamentals, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1975. 8W.L. Cleghorn, 1980, Analysis and design of high-speed flexible mechanism, Ph. D. Thesis, University of Toronto. 9W.L. Cleghorn, R. G. Fenton, and B. Tabarrok, 1981, “Finite element analysis of high-speed flexible mechanisms”, Mechanism and Machine Theory, 16(4), 407-424. 10W.L. Cleghorn, R.G. Fenton, and B. Tabarrok, 1984, “Steady-state vibrational response of high-speed fexible mechanisms”, Mechanism and Machine Theory, 19(4/5)417-423. 11Y.L. Kuo, W.L. Cleghorn and K. Behdinan, “Stress-bsed Finite Element Method for Euler-Bernoulli Beams”,Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 30(1), pp. 1-6, 2006. 12Y.L. Kuo, W.L. Cleghorn, and K. Behdinan “Applicatons of Stress-based Finite Element Method on Euler-Bernoulli Beams ”, Proceedings of the 20th Canadian Congress of Applied Mechanics, Montreal, Quebec, Canada, May 30-Jun 2, 2005. 13Y.L. Kuo, Applications of the h-, p-, and r-refinements of the Finite Element Method on Elasto-dynamic Problems, Ph.D. Thesis, University of Toronto, 2005. 14L. Meirovitch, 1967, Analytical Methods in Vibrations, Macmillan, New York, 436-463. 15K.J. Bathe, 1996, Finite Element Procedures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA. 16A.L. Schwab and J.P. Meijaard, 2002, “Small vibratons superimposed on prescribed rigid body motion”, Mulibody System Dynamics, 8, 29-49. 17Y.L. Kuo and W.L. Cleghorn, “The h-p-r-refinement Finite Element Analysis of a High-speed Flexible Slider Crank Mechanism”, Journal of Sound and Vibration, in press.英文原稿12thIFToMM World Congress,Besancon,June 18-21,2007Application of Stress-based Finite Element Methodto a Flexible Slider Crank MechanismY.L.Kuo? W.L.CleghornUniversity of Toronto University of TorontoToronto,Canada Toronto,CanadaAbstractThis paper presents a new procedure to apply the stress-based finite element method on Euler-Bernoulli beams.An approximated bending stress distribution is selected,and then the approximated transverse displacement is determined by integration.The proposed approach is applied to solve a flexible slider crank mechanism.The formulation is based on the Euler-Lagrange equation,for which the Lagrangian includes the components related to the kinetic energy,the strain energy,and the work done by axial loads in a link that undergoes elastic transverse deflection.A beam element is modeled based on a translating and rotating motion.The results demonstrate the error comparison obtained from the stress-and displacement-based finite element methods.Keywords:stress-based finite element method;slidercrank mechanism;Euler-Lagrange equation.1.IntroductionThe displacement-based finite element method employs complementary energy by imposing assumed displacements.This method may yield the discontinuities of stress fields on the inter-element boundary while employing low-order elements,and the boundary conditions associated with stress could not be satisfied.Hence,an alternative approach was developed and called the stress-based finite element method,which utilizes assumed stress functions.Veubeke and Zienkiewicz1,2were the first researchers introducing the stress-based finite element method.After that,the method was applied to a wide range of problems and its applications3-5In addition,there are various books providing details about the method6,7.The operation of high-speed mechanisms introduces vibration,acoustic radiation,wearing of joints,and inaccurate positioning due to deflections of elastic links.Thus,it is necessary to perform an analysis of flexible elasto-dynamics of this class of problems rather than the analysis of rigid body dynamics.Flexible mechanisms are continuous dynamic systems with an infinite number of degrees of freedom,and their governing equations of motion are modeled bynonlinear partial differential equations,but their analytical_?Email:ylkuomie.utoronto.casolutions are impossible to obtain.Cleghorn et al.8-10included the effect of axial loads on transverse vibrations of a flexible four-bar mechanism.Also,they constructed a translating and rotating beam element with a quintic polynomial,which can effectively predict the transverse vibration and the bending stress.This paper presents a new approach for the implementation of the stress-based finite element method on the Euler-Bernoulli beams.The developed approach first selects an assumed stress function.Then,the approximated transverse displacement function is obtained by integrating the assumed stress function.Thus,this approach can satisfy the stress boundary conditions without imposing a constraint.We apply this approach to solve a flexible slider crank mechanism.In order to show the accuracy enhancement by this approach,the mechanism is also solved by the displace-based finite element method.The results demonstrate the error comparison.II.Stress-based Method for Euler-Bernoulli BeamsThe bending stress of Euler-Bernoulli beams is associated with the second derivative of the transverse displacement,namely curvature,which can be approximated as the product of shape functions and nodal variables:Where is a row vector of shape functions for the ith element; is a column vector of nodal curvatures,y is the lateral position with respect to the neutral line of the beam,E is the Youngs modulus,and is the transverse displacement,which is a function of axial position x.Integrating Eq.(1)leads to the expressions of the rotation and the transverse displacement as Rotation： Transverse displacement: Where and are two integration constants for the ith element,which can be determined by satisfying the compatibility.Substituting Eqs.(2)and(3)into(1),the finite element displacement,rotation and curvature can beexpressed as: where the subscripts(C),(R)and(D)refer to curvature,rotation and displacement,respectively.By applying the variational principle,the element and global equations can be obtained11-13.Table 1:Comparison of the displacement-and the stress-based finite element methods for anEuler-Bernoulli beam elementIII.Comparisons of the Displacement-and Stress-based Finite Element MethodsThe major disadvantage of the displacement-based finite element method is that the stress fields at the inter-element nodes are discontinuous while employing low-degree shape functions.This discontinuity yields one of the major concerns behind the discretization errors.In addition,it might use excessive nodal variables while formulating stiffness matrices.The stress-based method has several advantages over the displacement-based finite method.First of all,the stress-based method produces fewer nodal variables (Table 1).Secondly,when employing the stress-basedfinite method,the boundary conditions of bending stress can be satisfied,and the stress is continuous at theinter-element nodes.Finally,the stress is calculated directly from the solution of the global system equations.However,the only disadvantage of the stress-based finite method is that the integration constants are different for each element.IV.Generation of Governing EquationThe slider crank mechanism shown in Fig.1 is operated with a prescribed rigid body motion of the crank,and the governing equations are derived using a finite element formulation.The derivation procedure of the finite element equations involves:(1)deriving the kinematics of a rigid body slider crank mechanism;(2) constructing a translating and rotating beam element based on the rigid body motion of the mechanism;(3)defining a set of global variables to describe the motion of a flexible slider crank mechanism;(4)assembling all beam elements.Finally,the global finite element equations can be obtained,and the time response of a flexible slider crank mechanism can be obtained by time integration.A.Element equation of a translating and rotating beamConsider a flexible beam element subjected to prescribed rigid body translations and rotations.Superimposed on the rigid body trajectory,a finite number of deflection variables in the longitudinal and transverse directions is allowed.The Euler-Lagrange equation is used to derive the governing differential equations for an arbitrarily translating and rotating flexible member.Since elastic deflections are considered small,and there is a finite number of degrees of freedom,the governing equations are linear and are conveniently written in matrix form.The derivation of the element equations has been precisely presented in 8-10,and this section provides a brief summary.In view of high axial stiffness of a beam,it is reasonable to consider the beam as being rigid in its longitudinal direction.Hence,the longitudinal deflection is given as where u1 is a nodal variable,which is constant with respect to the x direction shown in Fig.2.The transverse deflection can be represented asThe velocity of an arbitrary point on the beam element with a translating and rotating motion is given aswhere is the absolute velocity of point O of the beam element shown in Fig.2;?is the angular velocity of the beam element; are the longitudinal and transverse displacements of an arbitrary point on the beam element,respectively;x is a longitudinal position on the beam element shown in Fig.2.If we letbe the mass per unit volume of element material;A,the element cross-sectional area,and L the element length,then the kinetic energy of an element is expressed asThe flexural strain energy of uniform axially rigid element with the Youngs modulus,E,and second moment of area,I,is given asThe work done by a tensile longitudinal load,(i)P,in an element that undergoes an elastic transverse deflection is given by14Longitudinal loads in a moving mechanism element are not constant,and depend both on the position in the element and on time.With the longitudinal elastic motions neglected,the longitudinal loads may be derived from the rigid body inertia forces,and can be expressed aswhere PR is an external longitudinal load acting at theright hand end of an element,andox(i )ais the absolute eacceleration of the point O in the x direction shown in Fig.2.The Lagrangian takes the formSubstituting Eqs.(5-10)into(12),and employing the Euler-Lagrange equations,the governing equations of motion for a rotating and translating elastic beam can be expressed in the following matrix form:whereMe,CeandKeare mass,equivalent damping,and equivalent stiffness matrices of a element,respectively;Feis a load vector of an element.When formulating the mass matrix of the coupler,the mass of the slider should be taken into account.B.Global equations of slider crank mechanism For the proposed approach to solve a flexible slider crank mechanism,the global variables are the curvatures on the nodes.For assembling all elements,it is necessary to consider the boundary conditions applied to the mechanism.Since a prescribed motion applied to the base of the crank,there is a bending moment at point O shown in Fig.1,i.e.,the curvature at point O exists.For points A and B shown in Fig.1,we presume that both points refer to pin joints.Thus,the bendingmoments and the curvatures at both points are zeros.Since Eq.(13)is a matrix-form expression in terms of the vector of global variables,the global equations can be obtained by directly summing up all of element equations,which can be expressed aswhereM,C,Kare global mass,damping and stiffness matrices,respectively;Fis a global load vector.V.Numerical simulation based on steady stateThe rotating speed of the crank is operating at 150rad/s(1432 rpm),and the system parameters of a flexible slider crank are as follows:R2=0.15(m),R3=0.30(m),A=0.225(kg/m),EI=12.72(N-m2),mB=0.03375(kg)where R2 and R3 are the lengths of the crank and coupler,respectively;mB is the mass of the slider.The analytical results of this paper are presented by plotting steady state transverse displacements and bending strains of midpoints on crank and coupler throughout a cycle of motion.The steady state can be obtained by adding a physical damping matrix,namely Rayleigh damping whereandare two constants,which can be determined from two given damping ratio that correspond to two unequal frequencies of vibration15. In this paper,the values ofandare determined based on the first two natural frequencies.By adding physical damping to the equations of motion,the analytical solution is obtained by performing the constant time-step Newmark method over twenty cycles of motion.The initial conditions are set to zeros when performing numerical time integration.The error indicator is defined as where QFE and QRef are two quantities based on a finite element solution and a reference solution,respectively.Generally,they are functions of time,and they can be arbitrarily selected,such as energy,displacement,bending strain,etc.t1 and t2 refer to the interval of timeintegration,which are usually one cycle after steady-state condition has been reached.Since an exact solution is not available,a reference solution is obtained by the displace