西北工業(yè)大學(xué)彈性力學(xué)課件

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1、附錄 彈性力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 目錄 附錄 1 張量基礎(chǔ) 附錄 2 復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 附錄 3 變分法概要 附錄 1 張量基礎(chǔ) i1 張量 1 張量特征 笛卡兒張量下標(biāo) 求和定約 偏導(dǎo)數(shù)下標(biāo)記法 特殊張量 張量 簡化縮寫記號表達(dá)物理量的集合 顯著優(yōu)點 基本方程以及其數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡潔 張量的特征 整體與描述坐標(biāo)系無關(guān) 分量需要通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系定義 笛卡兒 （ Descartes） 張量定義 一般張量 曲線坐標(biāo)系定義 i1 張量 1 三維 Descartes坐標(biāo)系中，一個含有 3個與坐標(biāo)相 關(guān)獨立變量集合，通?？梢杂靡粋€ 下標(biāo) 表示。 位移分量 u， v， w 縮寫記為 ui（ i=1, 2, 3） 表示為

2、u1, u2, u3 9個獨立變量的集合，兩個下標(biāo)來表示 ij和 ij 9個應(yīng)力分量或應(yīng)變分量 ij,k 27個獨立變量的集合用三個下標(biāo)表示 i 下標(biāo) i1 張量 2 求和定約 張量表達(dá)式的某一項內(nèi)的一個下標(biāo)出現(xiàn)兩次， 則對此下標(biāo)從 1到 3求和。 A jiija z kk k a z 3 1 i j jiija z kka z 啞標(biāo) ： 出現(xiàn)兩次的下標(biāo) 求和后消失 A jiji ycx 3332321313 3232221212 3132121111 ycycycx ycycycx ycycycx 自由標(biāo) ： 非重復(fù)下標(biāo) 自由標(biāo)個數(shù)表 示張量表達(dá)式 代表的方程數(shù) i1 張量 3 偏導(dǎo)數(shù)的下標(biāo)

3、記法 縮寫張量對坐標(biāo) xi偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式 逗號約定 逗號后面緊跟一個下標(biāo) i時，表示某 物理量對 xi求偏導(dǎo)數(shù)。 )()( , i i x 利用偏導(dǎo)數(shù)下標(biāo)記法，偏導(dǎo)數(shù)均可縮寫為 j i ji x uu , i1 張量 4 k ij kij x , k ij kij x , kj i iki xx uu , lk ij klij xx , lk ij klij xx , 張量的偏導(dǎo)數(shù)集合仍然是張量 證明 ： ui， j如果作坐標(biāo)變換 , jiu l j l k lkki l x xun , )( k jkki un , )( l j l k lkki x xun , )( jiji xnx ij

4、 j i n x x l ljki k l kji nnuu , 由此可證， ui, j服從二階張量的變換規(guī)律 由于 因此 i1 張量 5 特殊的張量符號 克羅內(nèi)克爾 （ Kronecker Delta） 記號 ij ji ji ij 0 1 顯然 100 010 001 333231 232221 131111 ij 克羅內(nèi)克爾記號是二階張量 運(yùn)算規(guī)律 ijmjim imim ii TT aa 3332211 i1 張量 6 置換符號 eijk 有相等下標(biāo)時 的奇排列，為， 的偶排列，為， 0 3211 3211 kji kji e ijk 偶排列 有序數(shù)組 1， 2， 3逐次對換兩個相鄰的

5、數(shù)字而 得到的排列 奇排列 1 1 2 1 33 2 11 3 2 3 1 22 3 11 2 3 eee eee i1 張量 8 二階對稱張量 反對稱張量 jiij TT jiij TT 任意一個二階張量，總是可以分解為一個對 稱張量和一個分對稱張量之和。 張量的對稱和反對稱性質(zhì)，可以推廣到二階 以上高階張量。 i1 張量 9 附錄 2 復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 復(fù)變函數(shù)定義 解析函數(shù) 保角變換 柯西積分 復(fù)變函數(shù) 定義 復(fù)數(shù) 兩個實數(shù) x， y確定的數(shù) z=x+iy 1i 虛數(shù)單位 實部 虛 部 模 幅角 zy Im 22| yxz x ya r c t a n 復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ) i2 復(fù)變函數(shù) 1

6、zx Re 函數(shù) f（ z） 在某區(qū)域 上的每一點導(dǎo)數(shù)存在， 稱為區(qū)域 上的 解析函數(shù) 。 解析函數(shù) w=u（ x， y） +iv（ x， y） 柯西黎曼條件 解析函數(shù) x v y u y v x u , 解析函數(shù)的實部和虛部都是 調(diào)和函數(shù) i2 復(fù)變函數(shù) 2 復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性 02 2 2 2 y ux u02 2 2 2 y vx v 保角變換 i2 復(fù)變函數(shù) 3 通過函數(shù) w=f（ z） 將平面點的集合 g轉(zhuǎn)換為另 一個平面（ w平面）點的集合 G 。 變換 映射 解析函數(shù) w=f（ z） 在點 zo所實現(xiàn)的變換 點 zo處的 所有線素皆按同一比例伸長 任意兩個曲線之間的交角保持不變 柯

7、西積分公式 )(d)( i2 1 zft zt tf c z為 C外的任一點， 則 0d)( i2 1 c t zt tf f（ t） 在區(qū)域 S內(nèi)處處解析， C為 S內(nèi)的任一閉 曲線，它的內(nèi)部完全屬于 S， z為包含在 C內(nèi)的 任一點 ，則 i2 復(fù)變函數(shù) 4 如 f（ t）在區(qū)域 S外，包括無窮遠(yuǎn)點處處解析， C為 S內(nèi)的任一閉曲線，它的內(nèi)部完全屬于 S， z 為包含在 C內(nèi)的任一點， )(d)( i2 1 ft zt tf c i2 復(fù)變函數(shù) 5 附錄 3 變分法概要 泛函與泛函極值 歐拉方程 自然邊界條件 泛函運(yùn)算 泛函和泛函的極值 泛函 其值倚賴于其它一個或者幾個函數(shù) 函數(shù)的函數(shù) 變

8、分法 泛函極值 泛函極值條件 J=0 2J0，則 J 0，泛函 J y為極小值； 2J0，則 J 0，泛函 J y為極大值。 i3 變分法 1 泛函極值的必要條件 歐拉方程 0d)( 2 1 x x xyyFyyFJ 變分 y和 y不是獨立無關(guān)的，因此 2 1 2 1 2 1 2 1 d) ( d d d) d d d x x x x x x x x xy y F x y y Fxy xy Fxy y F （ 2 1 2 1 d)(dd x x x x xyy F xy Fy y FJ 在 x=x1和 x=x2時， J=0 2 1 d)(dd x x xyyFxyFJ i3 變分法 2 0)(

9、dd yFxyF 歐拉方程僅僅是泛函極值存在的必要條件 確定泛函 J為極大值或者極小值，還需要判斷 其二階變分 2J大于 0還是小于 0。 由于 在區(qū)間（ x1， x2）是 x的任意函數(shù)，所以上 式成立的必要條件為積分函數(shù)在區(qū)間（ x1， x2） 內(nèi)為零。 i3 變分法 3 自然邊界條件 如自變函數(shù)在邊界的數(shù)值不能確定，則 0)(,0)( 21 xyxy 對于可變邊界問題，首先必須滿足邊界不變 的極值條件。 為滿足極值條件，歐拉方程仍舊必須滿足。 邊界變化的泛函極值問題 0 ,0 21 xxxx y F y F i3 變分法 4 泛函變分的基本運(yùn)算法則 泛函變分運(yùn)算與微分運(yùn)算法則基本相同 21

10、21 )( FFFF 211221 )( FFFFFF )( 1 )( 21122 22 1 FFFF FF F FnFF nn 1)( i3 變分法 5 第二章 應(yīng)力狀態(tài) 研究對象 三維彈性體 微分單元體入手 超靜定問題 靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等三方面 的條件 本章從靜力學(xué)觀點出發(fā)，討論一點的應(yīng)力 狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。 目錄 2.1 體力和面力 2.2 應(yīng)力與應(yīng)力張量 2.3 二維應(yīng)力狀態(tài)與平衡微分方程 2.4 應(yīng)力狀態(tài)的描述 2.5 邊界條件 2.6 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向 2.7 應(yīng)力球張量和球應(yīng)力偏張量 2.1 體力和面力 物體外力 分為兩類 體力 面力 體力和面力分別

11、為物體單位體積或者單位面 積的載荷。 2.2 應(yīng)力與應(yīng)力張量 內(nèi)力 外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部 分之間的相互作用力。 附加內(nèi)力 應(yīng)力 應(yīng)力矢量 pn隨截面的法線方向 n的方向改變而變化 SS Fp lim 0 n 應(yīng)力狀態(tài) 一點所有截面應(yīng)力矢量的集合。 顯然，彈性體內(nèi)某確定點各個截面的應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。 應(yīng)力狀態(tài)分析 討論一點截面方位改變引起 的應(yīng)力變化趨勢。 應(yīng)力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的。 準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài)，合理的應(yīng)力參數(shù)。 為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以 描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解 。 2.2 應(yīng)力 2 應(yīng)力矢量 沿坐標(biāo)分解 沒有工程意義 正應(yīng)

12、力和切應(yīng)力 正應(yīng)力 n與 切應(yīng)力 n 與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度關(guān)系密切 根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力 應(yīng)力分量 應(yīng)力張量 應(yīng)力張量 可以描述一點 應(yīng)力狀態(tài) 2.2 應(yīng)力 3 333231 232221 131211 zzyzx yzyyx xzxyx ij 應(yīng)力張量 應(yīng)該注意 應(yīng)力分量是標(biāo)量 箭頭僅是說明方向 2.2 應(yīng)力 4 2.3 平衡微分方程 平衡 物體整體平衡，內(nèi)部任 何部分也是平衡的。 對于彈性體，必須討論 一點的平衡。 微分平行六面體單元 平衡微分方程 切應(yīng)力互等定理 jiij 0, bjiij F 0 bxzxyxx Fzyx 0 0 bz zyzz by zyyxy F zyx F zyx

13、 2.5 平衡方程 2 2.4 應(yīng)力狀態(tài) 如果應(yīng)力張量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，則 1.應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)； 2. 坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系； 3. 最大應(yīng)力及其方位的確定。 公式表明：已知應(yīng)力張量，可以確定任意方位 微分面的應(yīng)力矢量。 當(dāng)然可以確定正應(yīng)力 n與切應(yīng)力 n。 jiji np 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系 2.4 應(yīng)力狀態(tài) 2 應(yīng)力不僅隨位置改變而 變化，而且隨截面方位 改變而變化。 同一點由于截面的法線 方向不同，截面上的應(yīng) 力也不同。 討論應(yīng)力分量 在坐標(biāo)變 換時的變化規(guī)律 。 2.4 應(yīng)力狀態(tài) 3 任意斜截面的應(yīng)力 轉(zhuǎn)軸公式 應(yīng)力分量 滿足 張量 變化規(guī)則 應(yīng)力張量 為二

14、階對稱張量 轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標(biāo)系下的六個應(yīng)力分 量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。 應(yīng)力張量 可以確定一點的 應(yīng)力狀態(tài) 。 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是 作為整體所描述的 應(yīng)力狀態(tài)沒有變化 。 2.4 應(yīng)力狀態(tài) 4 jjiiijji nn 平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式 彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量； 材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。 正應(yīng)力二者定義沒有差異 而切應(yīng)力定義方向不同 2.4 應(yīng)力狀態(tài) 5 )s i n( c o ss i nc o s)( )s i n( c o s2c o ss i n )s i nc o s2s i nc o s 22 1 22 22 xyyxyx xyyxy

15、xyyxx 2.5 邊界條件 彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面 力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。 邊界面力已知 面力邊界 S iijsj nF 面力邊界條件 確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于 邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。 2.5 邊界條件 2 面力邊界條件 描述彈性體表面的平衡， 平衡微分方程 描述彈性體內(nèi)部的平衡。 這種平衡只是 靜力學(xué)可能的平衡 。 真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足 變形連續(xù)條件 。 2.5 邊界條件 3 位移邊界條件 邊界位移已知 位移邊界 Su 位移邊界條件 就是彈性體表面的 變形協(xié)調(diào) 彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 wwuvuu 2.5 邊界條

16、件 4 混合邊界條件 彈性體邊界 S S Su 部分邊界位移已知 位移邊界 Su 部分邊界面力已知 面力邊界 S 不論是 面力邊界條件 ， 位移邊界條件 ， 還是 混合邊界條件 ，任意邊界的邊界條件 數(shù)必須等于 3個。 2.6 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向 轉(zhuǎn)軸公式 描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù) 最大正應(yīng)力 、 最大切應(yīng)力 以及 方位 主應(yīng)力 和 主平面 應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù) 應(yīng)力不變量 進(jìn)一步探討 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 和 主平面 主應(yīng)力分析 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 關(guān)于 l， m， n的 齊次線性 方程組 ，

17、 非零解的條件為方程組的 系數(shù)行列式等于零，即 0 zzyzx yzyyx xzxyx 2.6 主應(yīng)力 2 展開 032213 III 032213 III zyxI 1 其中： 主元之和 ij 222 2 xzyzxyxzzyyxI 代數(shù)主子式之和 zzyzx yzyyx xzxyx I 3 應(yīng)力張量元素 構(gòu)成的行列式 主應(yīng)力特征方程 2.6 主應(yīng)力 3 應(yīng)力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內(nèi)部任意一點主應(yīng)力和應(yīng)力 主軸方向 。 主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷 、 形狀和 邊界條件等 ， 與坐標(biāo)軸的選取無關(guān) 。 因此 ， 特征方程的根是確定的 ， 即 I1、 I2、 I3 的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變

18、化的 。 I1、 I2、 I3 分別稱為應(yīng)力張量的 第一 、 第二 和第三 不變量 。 2.6 主應(yīng)力 4 特征方程有三個實數(shù)根 1， 2， 3分別表示這三個根 ， 代表某點三個 主應(yīng)力 。 對于 應(yīng)力主方向 ， 將 1， 2， 3分別代入 和 l2+m2+n2=1 則可求應(yīng)力主方向 。 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 2.6 主應(yīng)力 5 主應(yīng)力 和 應(yīng)力主方向 取決于結(jié)構(gòu)外 力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。 因此特征方程的三個根是確定的。 特征方程的三個根，即一點的三 個主應(yīng)力均為 實數(shù) 。 根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。 任意一點三個應(yīng)力主方向是

19、相互 垂直的 三個應(yīng)力主軸正交的。 應(yīng)力不變量性質(zhì) 坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng) 力狀態(tài)不變。 應(yīng)力不變量 正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述 。 2.6 主應(yīng)力 6 不變性 實數(shù)性 正交性 主應(yīng)力正交性證明： 下面證明下述結(jié)論： 1. 若 1 2 3， 特征方程無重根； 應(yīng)力主軸必然相互垂直 ； 2. 若 1 2 3， 特征方程有兩重根； 1和 2的方向必然垂直于 3的方向 。 而 1和 2的方向可以是垂直的 ， 也可以不垂直； 3. 若 1=2=3， 特征方程有三重根； 三個應(yīng)力主軸可以垂直 ， 也可以不垂直 ， 任何方向都是應(yīng)力主軸 。 2.6 主應(yīng)力 7 設(shè) 1， 2， 3 的方向分

20、別為 （ l1， m1， n1） ， （ l2， m2， n2） 和 （ l3， m3， n3） ，則 0)( 0)( 0)( 1111 1111 1111 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 0)( 0)( 0)( 2222 2222 2222 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 0)( 0)( 0)( 3333 3333 3333 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 分別乘以 l2， m2， n2 分別乘以 -l1,-m1,-n1 六式相加，可得 0)( 21212121 nnmmll 0)( 0)( 31313113

21、 33323232 nnmmll nnmmll 2.6 主應(yīng)力 8 0)( 21212121 nnmmll 0)( 0)( 31313113 33323232 nnmmll nnmmll 如果 1 2 3 0 0 0 313131 323232 212121 nnmmll nnmmll nnmmll 3個應(yīng)力 主方向相 互垂直 如果 1=2 3 0 0 313131 323232 nnmmll nnmmll 212121 nnmmll 可以等于零，也 可以不等于零。 3與 1和 2的方向垂直 ， 而 1和 2的方向可以垂直或不垂直 。 3的垂直方向都是 1和 2的應(yīng)力主向 。 2.6 主應(yīng)力

22、9 如果 1=2=3 則 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可為零或者不為零。 任何方向都是應(yīng)力主方向。 因此問題可證 。 1.若 1 2 3， 應(yīng)力主軸必然相互垂直； 2.若 1 2 3， 1和 2必然垂直于 3。 而 1 和 2可以是垂直的 ， 也可以不垂直； 3. 若 1=2=3， 任何方向都是應(yīng)力主軸 。 2.6 主應(yīng)力 10 主應(yīng)力是一點所有微分面上最大或最小的 正應(yīng)力。 主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其 作用方位； 最大切應(yīng)力的確定。 討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨 勢 應(yīng)力圓 。 最大切應(yīng)力以及方位的確定。 2.6

23、 主應(yīng)力 11 正應(yīng)力和切應(yīng)力 分析 1 2 3 應(yīng)力圓 最大切應(yīng)力方位 2.6 主應(yīng)力 12 2.7 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量 應(yīng)力張量的分解 應(yīng)力球量改變單元 體體積， 應(yīng)力偏量改變單元 體形狀。 ijiiij s m m m m m 00 00 00 ii 333231 232221 131211 sss sss sss s mzzyzx yzmyyx xzxymx ij )(31m zyx 八面體單元 1 321 2 8 3 1 )( 3 1 )( 3 1 I n zyx ii 2 2 1 133221 2 321 2 13 2 32 2 218 62 3 1 )(6)(2 3 1 )(

24、)()( 3 1 II 43 2 rd 2.7 應(yīng)力分解 2 第三章 應(yīng)變狀態(tài) 物體變形 位移與應(yīng)變的基本關(guān)系幾何方程 應(yīng)變狀態(tài)分析 位移的單值連續(xù)性質(zhì) 目錄 3.1 變形與應(yīng)變概念 3.2 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 3.1 變形與應(yīng)變概念 由于 外部因素 物體內(nèi)部各點空間位置發(fā)生變化 位移形式 剛體位移 ： 物體內(nèi)部各點位置變化，但仍保 持初始狀態(tài)相對位置不變。 變形位移 ： 位移不僅使得位置改變，而且改 變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。 載荷或溫度變化 位移 位移 u， v， w是 單值連續(xù)函數(shù) 進(jìn)一步分析位移函數(shù)具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù) 一點的變形 通過 微分六面體單元 描述 微

25、分單元體的變形 ， 分為兩部分討論 正應(yīng)變 棱邊的伸長和縮短 切應(yīng)變 棱邊之間夾角 （ 直角 ） 改變 3.1 變形 2 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx 幾何方程 位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系 幾何方程 又稱 柯西方程 微分線段伸長 正應(yīng)變大于零 微分線段夾角縮小 切應(yīng)變分量大于零 3.1 變形 3 幾何方程 位移導(dǎo)數(shù)表示的應(yīng)變 應(yīng)變描述一點的變形，但還不足以完全描述 彈性體的變形 原因是沒有考慮單元體位置的改變 單元體的 剛體轉(zhuǎn)動 剛性位移可以分解為平動與轉(zhuǎn)動 剛性轉(zhuǎn)動 變形位移的一部分 ，但是不產(chǎn) 生變形。 3.1 變形 4 z

26、 y x z y x w v u zzyzx yzyyx xzxyx xy xz yz d d d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d d 0 0 0 d d d 微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動與協(xié)調(diào)相關(guān) )(21,)(21,)(21 yuxvxwzuzvyw zyx 轉(zhuǎn)動矢量 描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動分量 剛體轉(zhuǎn)動 位移增量 變形位移增量 位移增量是由兩部分組成的 3.1 變形 5 變形通過應(yīng)變描述 坐標(biāo)變換時，應(yīng)變分量是 隨之坐標(biāo)改變而變化 。 應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式 應(yīng)變張量 3.2 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向 應(yīng)變狀態(tài) ijjjiiji nn 333231 232221 13121

27、1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx ij 應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變 分量均可確定。因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。 坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為 一個整體，所描述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。 主應(yīng)變 與 應(yīng)變主軸 切應(yīng)變?yōu)?0的方向 應(yīng)變主軸方向的正應(yīng)變 應(yīng)變主軸 主應(yīng)變 3.2 主應(yīng)變 2 0)( 2 1 2 1 0 2 1 )( 2 1 0 2 1 2 1 )( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 應(yīng)變狀態(tài)特征方程 l， m， n齊次線性方程組 非零解的條件 為方程系 數(shù)行列式的值為零 0 2 1 2 1

28、2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx 032213 JJJ 展開 3.2 主應(yīng)變 3 主應(yīng)變確定 應(yīng)變主軸方向變形 應(yīng)變不變量 ij zxyzxyxzxyyx zyxii J J J 3 222 2 1 )( 4 1第一，第二和第三應(yīng)變不變量 一點的應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)系選取無關(guān)，因此坐 標(biāo)變換不影響應(yīng)變狀態(tài)是確定的。 應(yīng)變不變量就是應(yīng)變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn) 3.2 主應(yīng)變 4 應(yīng)力張量 應(yīng)變張量 應(yīng)力不變量 應(yīng)變不變量 主應(yīng)變和應(yīng)變主軸與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的特性 類似 各向同性材料，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是重合的 公式比較 3.2 主應(yīng)變 5 體積應(yīng)變 彈性體一點 體積的改變量

29、引入體積應(yīng)變有助于 簡化公式 解釋 3.2 主應(yīng)變 6 .zwyvxu zyxV VV * 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 數(shù)學(xué)意義 ： 幾何方程 6個應(yīng)變分量通過 3個位移分量 描述 力學(xué)意義 變形連續(xù) 彈性體任意一點的變形必須受到其相鄰單元 體變形的約束 例 3-1 設(shè) x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移 。 解 ： )(23 2 yfxu 顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必 須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這 一條件。 xxux 3 yyvy 2 )(2 xgyv xyxgyfyuxvxy )()( 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 2 要

30、使幾何方程求解位移時方程組不矛盾， 則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。 從幾何方程中消去位移分量， 第一式和第 二式分別對 y和 x求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加 可得 )( 2 2 2 2 2 y u x v yxyx xy yx xy 2 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 3 將幾何方程的四，五，六式分別對 z， x， y求一階偏導(dǎo)數(shù) 前后兩式相加并減去中間一式，則 zy u zyx xyxzyz 22 對 x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則 zyzyxx xxyxzyz 22)( 分別輪換 x,y,z，則可得如下六個關(guān)系式 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 4 將幾何方程的四，五，六式分別對 z， x， y求一階偏導(dǎo)數(shù) 前后兩式相加并減去中間

31、一式，則 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 圣維南 （ Saint Venant） 方程 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 5 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義 使 3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相 矛盾。 變形協(xié)調(diào)方程的物理意義 物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如 變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將 不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或 嵌入現(xiàn)象。 為使變形后

32、的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必 須滿足一定的關(guān)系。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 6 證明 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的 必要和 充分條件 。 變形連續(xù)的物理意義 ， 反映在數(shù)學(xué)上則要求位 移分量為單值連續(xù)函數(shù) 。 目標(biāo) 如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 ， 則 對于 單連通域 ， 就可以通過幾何方程積分求得 單值連續(xù)的位移分量 。 利用位移和轉(zhuǎn)動分量的全微分 ， 則 zzyyxx xxxx dddd zyxzzuyyuxxuu yxzzxyx d)21(d)21(ddddd 輪換 x , y, z，可得 du， dv和 dy， dz 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 7 如通過積分，計算出 z z y y x x z z y y

33、 x x z z y y x x zyxww zyxvv zyxuu zzz PP zz yyy PP yy xxx PP xx xxyzyxz PP xyzyzxy PP yxzzxyx PP 0 ddd ddd ddd dd) 2 1 (d) 2 1 ( d) 2 1 (dd) 2 1 ( d) 2 1 (d) 2 1 (d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是單值連續(xù)的，則問題可證。 保證單值連 續(xù)的條件是 積分與積分 路徑無關(guān) 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 8 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( )

34、2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( yxzxyz xyz z yxz z xyzzxy zxy y xyz y zxyyxz yxz x zxy x yx zy zx xz yx yz zy xy xy 根據(jù)格林公式 zyzy zyxyxz )( 2 1 zyz zyy yzzx yyzx 2 1 2 1 )(21 zyx xyxzx 回代 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 9 )()(21 yuxvzxwzuy xz v y w x x )( 2 1 zzyyzyxzy yzzyyzxyxz PP xx d)2 1(d) 2 1(d)( 2 1 0 0 回代到第四式 x單值連續(xù)的必要與

35、充分條件是 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ()( 2 1 zyzzyy zyxzyy yyzyzz yyzxyxz zxzyxy zyzy yxyxyzyz yzyz 2 2 2 2 2 2 2)( 同理討論 y， z的單值連續(xù)條件，可得其它 4 式 變形協(xié)調(diào)方程。 由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連 續(xù)的必要和充分條件。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 10 變形協(xié)調(diào)方程 單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件 多連通域位移單值連續(xù)的必要條件 充分條件是位移的連續(xù)補(bǔ)充條件 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 11 位移邊界條件 應(yīng)變滿足 變形協(xié)調(diào)方程 ，保證彈性體內(nèi)部 的變形單值連續(xù)。 邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界

36、位移滿足 位移邊界 條件。 位移邊界條件 臨近表面的位移或和變 形與已知邊界位移或變形相等 。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 12 如果物體表面的位移已知 ， 稱為位移邊界 位移邊界用 Su表示 。 如果物體表面的位移 已知 邊界條件 為 , wvu 稱為位移邊界條件 wwvvuu 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 13 設(shè)物體表面為 S 位移已知邊界 Su 面力已知邊界 S 則 S Su S 彈性體的整個邊界，是由面力邊界和位移邊 界構(gòu)成的。 任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移 邊界。 面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn) 換的，例如靜定問題。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 14 某些問題 ， 邊界部分位移已知 ， 另一部分

37、面 力已知 ， 這種邊界條件稱為 混合邊界條件 。 不論是面力邊界條件 ， 位移邊界條件 ， 還是 混合邊界條件 ， 彈性體任意邊界的邊界條件 數(shù)目不能超過或者少于 3個 ， 必須等于 3個 。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào) 15 第四章 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 靜力平衡和幾何變形 通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系 材料的應(yīng)力應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系 材料固有特性，因此稱為物理方程 或者本構(gòu)關(guān)系 目錄 4.1 廣義胡克定理 4.2 拉梅常量與工程彈性常數(shù) 4.3 彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系屬于材料性能 稱為 物理方程 或者 本構(gòu)方程 單向拉伸或者扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過 實驗確定 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 難以通過實驗確定 4.1 廣

38、義胡克定義 廣義胡克定理 材料 應(yīng)力應(yīng)變一般關(guān)系 xzyzxyzyxxz xzyzxyzyxyz xzyzxyzyxxy xzyzxyzyxz xzyzxyzyxy xzyzxyzyxx CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 工程材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受到一定的限制 一般金屬材料為各向同性材料 復(fù)合材料 在工程中的應(yīng)用日益廣泛 4.1 胡克定理 2 彈性體變形過程的功與能 能量守恒是一個物理學(xué)重要原

39、理 利用能量原理可以使得問題分析簡化 能量原理的推導(dǎo)是多樣的，本節(jié)使用熱力 學(xué)原理推導(dǎo)。 外力作用 彈性體變形 變形過程外力作功 彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化 4.1 胡克定理 3 根據(jù)熱力學(xué)概念 絕熱過程 格林公式 等溫過程 彈性體的 應(yīng)變能函數(shù) 表達(dá)式 內(nèi)能等于應(yīng)變能 4.1 胡克定理 4 xz xz yz yz xy xy z z y y x x UUUUUU 000000 , )(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU 工程材料 各向同性材料 各向異性材料 金屬材料 完全各向異性 彈性對稱面 一個彈性對稱面 21個彈性常數(shù) xzxyxz yzzyxyz xzxyxy yzzyxz

40、yzzyxy yzzyxx CC CCCC CC CCCC CCCC CCCC 6664 55535251 4644 35333231 25232221 15131211 13個彈性常數(shù) 4.1 胡克定理 5 兩個彈性對稱面 xzxz yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx C C C CCC CCC CCC 66 55 44 333231 232221 131211 9個彈性常數(shù) 相互垂直的 3個平面中有 兩個彈性對稱面， 第三個必為彈性對稱面 拉壓與剪切變形 不同平面內(nèi)的剪切之間 稱為 正交各向異性 正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)； 切應(yīng)力僅與對應(yīng)的切應(yīng)變 有關(guān)。 沒有耦合作用 4.1 胡

41、克定理 6 物理意義 物體各個方向上的彈性性質(zhì) 完全相同，即物理性質(zhì)的完全對稱。 數(shù)學(xué)反映 應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系在所有方位 不同的坐標(biāo)系中都一樣。 金屬材料 各向同性彈性體，是最常見 的工程材料。 彈性力學(xué)主要討論各向同性材料。 各向同性彈性體 4.1 胡克定理 7 根據(jù) 正交各向異性本構(gòu)關(guān)系 1. 各向同性材料沿 x， y和 z座標(biāo)軸的的彈性性 質(zhì)相同； 2. 彈性性質(zhì)與座標(biāo)軸的任意變換方位也無關(guān) 各向同性材料廣義胡克 （ Hooke） 定理 xzxzzz yzyzyy xyxyxx ,2 ,2 ,2 ijijkkij 2 , 稱為 拉梅 （ Lame） 彈性常數(shù) 4.1 胡克定理 8 應(yīng)力表示本

42、構(gòu)方程 G G G vv E v E vv E v E vv E v E xz xz yz yz xy xy zyxzz yzxyy xzyxx )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 E為 彈性模量 G為 剪切彈性模量 v為 橫向變形系數(shù) 泊松比 4.2 拉梅常量與工程彈性常數(shù) 楊 泊松 4.2 彈性常數(shù) 2 工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為 GvE ,)(2,)22( 兩個獨立的彈性常數(shù) )1(2 v EG 實驗測定： 單向拉伸實驗可以測出彈性模量 E 薄壁管扭轉(zhuǎn)實驗可以測定剪切彈性模量 G 4.2 彈性常數(shù) 3 各向同性材料 主應(yīng)力狀態(tài) 對應(yīng)的切應(yīng)力分量均

43、為零。 所有的切應(yīng)變分量也為零。 所以，各向同性彈性體 應(yīng)力主軸同時又是應(yīng)變主軸 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是重合的 4.2 彈性常數(shù) 4 以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，則對應(yīng)的切應(yīng)力分量均應(yīng)為零。 應(yīng)變能 4.3 彈性體的應(yīng)變能函數(shù) )(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU )( 2 )()(2( 2 1 222 222 0 xzyzxy zxzyyxzyxU 應(yīng)變表示的應(yīng)變能函數(shù) )(1(2 )(2 2 1 222 222 0 xzyzxy zxzyyxzyxEU 應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù) 泊松比 恒小于 1，所以 U0恒大于零。 單位體積的應(yīng)變能總是正的。 4.3 應(yīng)變能 2 第五章 彈性力學(xué)邊

44、值問題 本章任務(wù) 總結(jié)對彈性力學(xué)基本方程 討論求解彈性力學(xué)問題的方法 目錄 5.1 彈性力學(xué)基本方程 5.2 問題的提法 5.3 彈性力學(xué)問題的基本解法 解的唯一性 5.4 圣維南局部影響原理 5.5 疊加原理 總結(jié)彈性力學(xué)基本理論； 討論已知物理量、基本未知量；以及物 理量之間的關(guān)系 基本方程和邊界條 件。 5.1 彈性力學(xué)基本方程 彈性力學(xué)基本方程 1. 平衡微分方程 0 0 0 bz zyzz by zyyxy bx zxyxx F zyx F zyx F zyx 0, bjiij F 2. 幾何方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy

45、zyx , , ),(21 ijjiij uu 5.1 基本方程 2 3. 變形協(xié)調(diào)方程 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 位移作為基本未知 量時，變形協(xié)調(diào)方 程自然滿足。 5.1 基本方程 3 3.本構(gòu)方程 廣義胡克定律 應(yīng)力表示 應(yīng)變表示 G G G vv E v E vv E v E vv E v E xz xz yz yz xy xy zyxzz yzxy

46、y xzyxx )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 xzxz yzyz xyxy zz yy xx 2 2 2 基本方程： 平衡微分方程 ； 幾何方程 和 本 構(gòu)方程 以及 變形協(xié)調(diào)方程 。 5.1 基本方程 4 邊界條件 若物體表面的面力分量為 Fsx、 Fsy和 Fsz已知 則 面力邊界條件 為： nmlF nmlF nmlF zyzxzsz zyyxysy xzxyxsx jijsi nF 若物體表面的位移 已知 ， 則 位移邊界 條件 為 wvu , wwvvuu , 若物體部分表面面力和部分表面位移已知 ， 則 為 混合邊界條件 5.1 基本方程 5 總

47、結(jié)： 彈性力學(xué) 基本方程和邊界條件 5.1 基本方程 6 彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下 ， 就十五個未知量求解十五個基本方程 。 求解彈性力學(xué)問題時 ， 并不需要同時求解十 五個基本未知量 ， 可以做必要的簡化 。 為簡化求解的難度 ， 僅選取部分未知量作為 基本未知量 。 5.2 問題的提法 在給定的邊界條件下 ， 求解偏微分方程組 的問題 ， 數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題 。 按照不同的邊界條件 ， 彈性力學(xué)有三類邊 值問題 。 第一類邊值問題 ： 已知彈性體內(nèi)的體力和 其表面的面力分量為 Fsx、 Fsy和 Fsz， 邊界條 件為 面力邊界條件 。 第二類邊值問題 ： 已知彈性

48、體內(nèi)的體力分 量以及表面的位移分量 ， 邊界條件為 位移邊 界條件 。 5.2 問題提法 2 第三類邊值問題 ： 已知彈性體內(nèi)的體力分 量，以及物體表面的部分位移分量和部分面 力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面 力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條 件。稱為 混合邊界條件 。 以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實 際工程問題。 若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問 題的解是唯一的。 5.2 問題提法 3 位移解法 以位移函數(shù)作為基本未知量 應(yīng)力解法 以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量 混合解法 以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基 本未知量 5.2 問題提法 4 5.3 彈性力學(xué)問題基本解法 解的唯一性

49、 選取 位移函數(shù) 作為基本未知量求解的方法 稱為 位移解法 。 主要工作： 利用位移函數(shù) u,v,w表達(dá)其他未知量； 推導(dǎo)位移函數(shù)描述的基本方程 位移表達(dá)的平衡微分方程 wwvvuu , 位移解法的基本未知量為 3個 位移函數(shù) 基本方程為 3個 拉梅方程 對于位移邊界條件，位移解法是十分的合 適的。 0)( 0)( 0)( b 2 b 2 b 2 z y x Fw z Fv y Fu x 0)( b2, iiikk Fu 5.3 基本解法 2 )()( )()( )()( n z w m y v l z u n z w m y w l x w nF n y w m y v l y u n z

50、v m y v l x v mF n x w m x v l x u n z u m y u l x u lF sz sy sx iijjjiikkbi nununF , 但是位移函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件十分繁雜 這一邊界條件幾乎不可能實現(xiàn) 5.3 基本解法 3 總之，位移解法以位移為基本未知函數(shù)， 歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示 的平衡微分方程，即 拉梅方程 。 位移分量求解后，可通過幾何方程和物理 方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。 5.3 基本解法 4 應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解的方法 稱為 應(yīng)力解法 應(yīng)力解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 變形協(xié)調(diào)方程 應(yīng)力解法綜述 5.3

51、基本解法 5 應(yīng)力解法的基本未知量為 6個應(yīng)力分量； 基本方程為 3個平衡微分方程和 6個變形協(xié) 調(diào)方程。 應(yīng)力解法適用于面力邊界條件。 總而言之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量 求解時，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求 解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方 程所組成的偏微分方程組。 5.3 基本解法 6 混合解法 根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件，選擇不同的基本 未知量求解稱為 混合解法 。 5.3 基本解法 7 解的唯一性原理 彈性體受已知體力作用。在物體的邊界上， 或者面力已知；或者位移已知；或者一部分 面力已知，另一部分位移已知。則彈性體平 衡時，體內(nèi)各點的應(yīng)力和應(yīng)變是唯一的，對 于后兩種情況，位移也是

52、唯一的。 證明 1 2 5.3 基本解法 8 彈性力學(xué)的基本未知量位移、應(yīng)力和應(yīng)變 等在體力為常量時具有一些特性。 掌握這些特性，可以幫助我們分析彈性力 學(xué)問題。 物理量特性 體力為常量時一些物理量的特性 5.3 基本解法 9 02 02 022 iu 00 2222 ijij 體力為常量，體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均 滿足拉普拉斯（ Laplace)方程。 體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)為調(diào)和 函數(shù)。 位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均滿 足雙調(diào)和方程， 位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量為雙 調(diào)和函數(shù)。 5.3 基本解法 10 局部影響原理 物體任意一個小部分作用 一個平衡力系，則該平衡 力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的

53、 應(yīng)力分布，僅局限于力系 作用的附近區(qū)域。在距離 該區(qū)域相當(dāng)遠(yuǎn)處，這種影 響便急劇減小。 證明 1 2 5.4 圣文南原理 解的疊加原理 小變形線彈性條件下，作用于物體的若 干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力和變形等）， 等于每組載荷單獨作用效應(yīng)的總和。 5.5 疊加原理 逆解法 根據(jù)問題的性質(zhì) ， 確定基本未知量 和相應(yīng)的基本方程 ， 并且假設(shè)一組滿足 全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù) 。 然后在確定的坐標(biāo)系下 ， 考察具有確定 的幾何尺寸和形狀的物體 ， 其表面將受 什么樣的面力作用或者將有什么樣的位 移 。 5.5 疊加原理 2 半逆解法 對于給定的彈性力學(xué)問題 ， 根據(jù)彈性 體的幾何形狀 ，

54、受力特征和變形特點 ， 或 已知簡單結(jié)論 ， 如材料力學(xué)解 ， 假設(shè)部分 應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為 已知 ， 由基本方程確定其他的未知量 ， 然 后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系 數(shù) 。 5.5 疊加原理 3 逆解法和半逆解法的應(yīng)用將在以后的章節(jié)中 介紹，其求解過程帶有 “ 試算 ” 的性質(zhì)。 偏微分方程邊值問題求解困難 難以確定彈性力學(xué)問題的解析解 顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半 逆解法的理論依據(jù)。 5.5 疊加原理 4 第六章 平面問題 直角坐標(biāo)解 工程結(jié)構(gòu)的某些特殊形式，經(jīng)過適 當(dāng)簡化和力學(xué)模型的抽象處理，可 以歸結(jié)為彈性力學(xué)的平面問題。 例如水壩，受拉薄板等。

55、平面問題的特點是某些基本未知量 被限制在平面內(nèi)發(fā)生的。 目錄 6.1 平面問題的基本方程 6.2 應(yīng)力函數(shù)逆解法與半 逆解法 6.3 梁的平面彎曲 6.4 三角級數(shù)解 6.1 平面問題的基本方程 平面問題 0)(2 yx 萊維 （ Lvy） 方程 平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 變形與應(yīng)力 基本方程 應(yīng)力解法 基本方程 平衡微分方程 ， 幾何方程 ， 變形協(xié)調(diào)方程以 及面力邊界條件相同 。 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的不同主要在本構(gòu)方程 ， 注意到 v v v v E E 1 1 1 21 二者之間的差別只是一個常數(shù)。 因此，不論平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變問題，若 物體截面形狀及側(cè)面受力相同，則基本方程 和邊界條件相同

56、。 平面問題基本方程 6.1 基本方程 2 v v v v E E 1 1 1 21 注意到 二者未知應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表 達(dá)式只是常數(shù)的不同。 平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問題的差別 z向位移 w z向正應(yīng)力 z 正應(yīng)變分量 )( yxz v w=0 w0 0 )( 1 )( 1 z zxyy zyxx v E v E )( )( 1 )( 1 yxz xyy yxx E v v E v E 0z 6.1 基本方程 3 平面應(yīng)力問題的近似性 如果物體截面形狀及側(cè)面受力相同，平面 應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條 件也相同。 因此具有相同的應(yīng)力解。 但是二者 z方向的正應(yīng)力不同； 應(yīng)變和位移表達(dá)式不同。

57、平面應(yīng)力問題 解的近似性 。 6.1 基本方程 4 誤差與板厚的平方成正比。 薄板 問題誤差可以忽略不計 平面應(yīng)力問題 解的近似性 的理解 無奈的選擇 6.1 基本方程 5 ),(),( f yxzyx f 2 2 )1(2 z 誤差項 6.2 應(yīng)力函數(shù) 逆解與半逆解法 平面問題應(yīng)力解的未知函數(shù)為 3個應(yīng)力分量 求解 2個平衡微分方程和 1個變形協(xié)調(diào)方程 利用 應(yīng)力函數(shù) 可以簡化為一個未知應(yīng)力函 數(shù)對應(yīng)一個 基本方程 yxxy xyyx f2 2 f 2 2 f 2 yx xFyF bb 體力為 0 體力為常數(shù) 應(yīng)力函數(shù) 使得平面問題歸結(jié)為在給定的邊界 條件下求解 雙調(diào)和方程 。 f（ x,

58、y)稱 艾雷 （ Airy） 應(yīng)力函數(shù) ， 簡稱 應(yīng)力函數(shù) 。 6.2 應(yīng)力函數(shù) 2 02 4 f 4 22 f 4 4 f 4 f 22 yyxx 基本方程 逆解法 基本思想 對于某些矩形邊界并不計體力的平面問 題 ， 分別選用冪次不同的多項式 ， 令其滿足 基本方程雙調(diào)和方程 ， 求出應(yīng)力分量 ， 并 由邊界條件確定這些應(yīng)力分量對應(yīng)邊界上的 面力 ， 從而該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題 。 利用逆解法了解應(yīng)力函數(shù)性質(zhì) 。 6.2 應(yīng)力函數(shù) 3 線性函數(shù) 二次函數(shù) 三次函數(shù) 四次函數(shù) 應(yīng) 力 函 數(shù) 0應(yīng)力狀態(tài) 可以刪除 均勻應(yīng)力狀態(tài) 線性應(yīng)力狀態(tài) 二次應(yīng)力狀態(tài) 只有 4個系數(shù)獨立 逆解法 6.2

59、 應(yīng)力函數(shù) 4 應(yīng)力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示 平面問題的求解有賴于應(yīng)力函數(shù) 選取應(yīng)力函數(shù)是求解問題的關(guān)鍵 應(yīng)力函數(shù)的 邊界性質(zhì) 應(yīng)力函數(shù)與邊界面力 應(yīng)力函數(shù)的物理意義 6.2 應(yīng)力函數(shù) 5 B A xB B A yBB sFyysFxx d)(d)( ssf sF x sF y B A yB B A xB d)( d)( s f s f 應(yīng)力函數(shù)對 y的偏導(dǎo)數(shù)等于邊界由定點到該動 點的 x方向合力。 應(yīng)力函數(shù)對 x的偏導(dǎo)數(shù)等于邊界由定點到該動 點的 -y方向合力。 邊界上任意點的應(yīng)力函數(shù)等于由任一定點到該 點的合力對該點的力矩； 上述關(guān)系來源于面力邊界條件，因此應(yīng)力函數(shù) 表達(dá)的 3個關(guān)系式

60、中只有兩個是獨立的。 6.2 應(yīng)力函數(shù) 6 6.3 梁的平面彎曲 半逆解法 力學(xué)模型 應(yīng)力函數(shù) 懸臂梁應(yīng)力 位移與變形 1 2 3 4 5 彈性基礎(chǔ) 對于實際工程問題的邊界條件處理需要考慮 彈性基礎(chǔ)。 懸臂梁 力學(xué)模型 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力分析 應(yīng)力與邊界條件 1 2 彎曲應(yīng)力分析 簡支梁 6.3 平面彎曲 2 6.4 平面問題 的三角級數(shù)解 多項式應(yīng)力函數(shù) 連續(xù)的應(yīng)力 邊界條件的限制 0)( )()()( )()(2)( )( )4()2()2()4( yY yYyYxX yYxXxX xX 對 y求一 階偏導(dǎo)數(shù) 0)( )()( )()( )(2 )4()2()2( yY yYyY yYxX x

61、X 若上式成立，則 2 )2( )4( )2( )( )( 2 )( )( )( )( yY yY yY yY xX xX 其中， 為任意常數(shù) 0)()( 2)2( xXxX 0)( )(2)( )( )2(2)4( yY yYyY yY xKxKxX s inc o s)( 21 K1， K2為任意常數(shù) 6.4 三角級數(shù) 2 三角形水壩 6.4 三角級數(shù) 3 力學(xué)模型 邊界條件與應(yīng)力 水壩應(yīng)力分析 第六章 平面問題 極坐標(biāo)解 本質(zhì)上坐標(biāo)系的選擇并不影響彈性 力學(xué)問題的求解。 但是影響邊界條件的描述和表達(dá)， 從而關(guān)系問題的求解難易程度。 圓形，楔形，扇形等物體，采用極 坐標(biāo)系求解比較方便。 目

62、錄 6.5 極坐標(biāo)表示的基本方程 6.6 軸對稱問題 6.7 半無限平面體 6.8 壩體應(yīng)力 6.9 圓孔孔口應(yīng)力集中 幾何方程 1 2 6.5 極坐標(biāo)表示的基本方程 平衡微分方程 1 2 uuu uu u 1 1 0 21 0 1 b b F F 極坐標(biāo)系位移、應(yīng)力和應(yīng)變 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 E v G v E v E )1(2 )( 1 )( 1 由于物體是各向同 性的，因此物理方 程與直角坐標(biāo)的表 達(dá)形式相同，只要 將其中的 x和 y換成 和 即可。 平面 應(yīng)力 問題 平面應(yīng)變問題，將上式 中的 E， v分別換為 v vv E vE 1 ,1 1 2 1 6.5 極坐標(biāo)基本方程 2 在直角坐標(biāo)

63、系中，平面問題以應(yīng)力形式表達(dá) 的變形協(xié)調(diào)方程為 0)(2 yx yx 應(yīng)力不變量 2 2 2 2 2 yx 轉(zhuǎn)換 Laplace算符 因為 x= cos y= sin x yyx a r c t a n22 c o s 1 1 11 s i n 1 1 1 s i nc o s 2 2 2 22 2222 x yxy x yx y x y yx y y x yx x x c o s 1 s i n s i n 1 c o s yyy xxx 6.5 極坐標(biāo)基本方程 3 )s i n1) ( c o ss i n1( c o s2 2 x 兩式相加，可得 6.5 極坐標(biāo)基本方程 4 2 2 2

64、2 2 22 2 2 2 s i nc o ss i n2 s i nc o ss i n2 c o s 2 2 22 22 222 2 2 2 2 c o ss i ns i nc o s c o ss i ns i nc o s c o ss i n y 極坐標(biāo)系下平面問題的變形協(xié)調(diào)方程變換為 0)(11()( 2 2 22 2 2 f（ ， ） 極坐標(biāo)形式的應(yīng)力函數(shù) ) 1 ( 11 11 ff 22 f 2 2 f 2 2 f 2 2 f 如果體力為零，下列應(yīng)力滿足平衡微分方程 2 2 22 2 2 2 2 2 2 11 yx 6.5 極坐標(biāo)基本方程 5 0)11)(11( 2 f 2

65、 22 f 2 2 2 22 2 總之，極坐標(biāo)求解彈性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在 給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。 在應(yīng)力函數(shù)解出后，可以求解應(yīng)力，應(yīng)變和位 移分量。 極坐標(biāo)形式的雙調(diào)和方程 將應(yīng)力表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程，有 6.5 極坐標(biāo)基本方程 6 6.6 軸對稱問題 軸對稱力學(xué)模型 展開 0dddddd2dd f2 f 2 2 3 f 3 3 4 f 4 4 引入變換 te 應(yīng)力軸對稱 應(yīng)力與 無關(guān) 0)dd1dd)(d d1d d( f2 f 2 2 2 變換為 常系數(shù)的微分方程 歐拉方程 0dd4dd4dd 2 f 2 3 f 3 4 f 4 ttt 通解為 DCeB t eAt tt 2

66、2f 注意到 t =ln，則 DCBA 22f lnln 應(yīng)力分量 0 2)ln23( d d 2)ln21( d d1 22 f 2 2 f CB A CB A 關(guān)于原點對稱 軸對稱應(yīng)力 6.6 軸對稱問題 2 考察軸對稱應(yīng)力的變形和位移 0 )1(2ln)1(2)3()1( 1 )1(2ln)1(2)31()1( 1 2 2 CvBvBv A v E CvBvBv A v E 應(yīng)變 軸對稱 0 1 )1(2ln)1(2)3()1( 11 )1(2ln)1(2)31()1( 1 2 2 uuu CvBvBv A v E uu CvBvBv A v E u 代入幾何方程 6.6 軸對稱問題 3 )()1(2 )31()1( l n)1(2)1( 1 fCv BvBv A v E u f（ ） 為 的任意函數(shù) )(4 fEBu )(d)( 4 gfE Bu g（ ） 為 的任意函數(shù) 0d)(1)(d )(dd )(d1 fggf d)(d )(dd )(d)( ffgg 1. 2. 3. 或?qū)懽?6.6 軸對稱問題 4 Ff f F g g d)( d )(d d )(d )( d)(d