2014年高考數(shù)學文科(高考真題+模擬新題)分類匯編：推理與證明

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1、 數(shù) 學 推理與證明 M1  合情推理與演 推理 16．， [2014 福建卷 ] 已知集合 ＝2；③ c≠0 有且只有一個正確，  { a， b， c} ＝ {0 ， 1，2} ，且下列三個關系：① 100a＋ 10b＋c 等于 ________．  a≠ 2；② b 16． 201  [解析 ] (i)  若①正確， ②③不正確，由③不正確得  c＝ 0，由①正確得  a＝1， 所以  b＝ 2，與②不正確矛盾，故①不正確． (ii) 若②正

2、確， ①③不正確，由①不正確得a＝ 2，與②正確矛盾，故②不正確． (iii) 若③正確， ①②不正確， 由①不正確得 a＝ 2，由②不正確及③正確得 b＝ 0，c＝ 1，故③正確． 則 100a＋ 10b＋ c＝ 100 2＋ 10 0＋ 1＝ 201. 14．[2014 全國新 卷Ⅰ ] 甲、乙、丙三位同學被 到是否去 A，B，C 三個城市 ， 甲 ：我去 的城市比乙多，但沒去 B 城市．乙 ：我沒去 C 城市．丙 ：我 三人 去 同一城市． 由此可判斷乙去 的城市 ________．

3、 14． A [解析 ] 由甲沒去 B 城市，乙沒去 C 城市，而三人去 同一城市，可知三 人去 城市 A，又由甲最多去 兩個城市，且去 的城市比乙多，故乙只去 A 城市． x ， x≥ 0，若 f1 14． [2014 西卷陜 ] 已知 f(x) ＝1＋ x (x)＝ f(x)， fn＋ 1(x)＝ f( fn(x)) ， n∈ N＋， f2014(x)的表達式 ________． 14. x [解析 ] 由

4、意，得 f 1 x ， 1＋2014x (x)＝ f(x)＝ 1＋x x f2(x)＝ 1＋ x ＝ x x ，?， x ， f3(x)＝ 1＋ 2x 1＋ 3x 1＋1＋ x 由此 推理可得 f2014(x)＝ x .

5、 1＋2014x M2 直接 明與 接 明 21．、 [2014 湖南卷 ] 已知函數(shù) f(x)＝xcos x－ sin x＋ 1(x＞ 0)． (1)求 f(x)的 區(qū) ； (2)記 xi 為 f(x)的從小到大的第 i(i ∈ N * )個零點， 明： 一切 n∈ N *，有 12＋ 12＋?＋ 12＜ x1 x2 xn 2 3. 21． 解： (1)

6、f′(x)＝cos x－ xsin x－ cos x＝－ xsin x. 令 f′(x)＝ 0，得 x＝ kπ (k∈ N* )． 當 x∈ (2kπ， (2k＋ 1)π )(k∈ N) ， sin x>0，此 f′ (x)<0; 當 x∈ ((2k＋ 1)π， (2k＋ 2)π )(k∈ N ) ， sin x<0，此 f′(x)>0. 故 f(x) 的 減區(qū) (2kπ， (2k＋1)π )( k∈ N)， 增區(qū) ((2k＋ 1)π， (2k＋ 2) π )( k∈N )． π ＝ 0，故 x1＝ π . (2)由 (1

7、) 知， f(x)在區(qū) (0，π )上 減．又 f 2 2 當 n∈N * ，因 f(nπ )f[（ n＋ 1）π ]＝ [(－ 1)n nπ＋ 1][( － 1)n ＋1(n＋ 1)π＋ 1]＜ 0， 且函數(shù) f(x)的 像是 不斷的， 所以 f(x)在區(qū) (nπ，(n＋ 1)π )內(nèi)至少存在一個零點． 又f(x)在區(qū) (nπ， (n＋ 1)π )上是 的，故 nπ＜ xn＋ 1＜ (n＋ 1)π . 因此，當 n＝ 1 ， 1 ＝ 4 ＜ 2；

8、 x12 π 2 3 當 n＝2 ， 12＋ 12＜ 1 2 (4＋ 1)＜2； x1 x2 π 3 當 n≥3 ， 12＋ 12＋?＋ 12< 1 4＋1＋ 12＋?＋ 1 2 1 2 x n π2 2 （ n－ 1） x x

9、 ＜ 1 5＋ 1 ＋?＋ 1 ＜ 1 π 2 （ n－ 2）（ n－ 1） π2 1 2 5＋ 1－ 1 ＋ 1－ 1 ＋?＋ 1 － 1 2 2 3 n－ 2 n－ 1 ＝ 1 2 6－ 1 ＜ 6 2＜2. n－

10、 π 1 π 3 上所述， 一切 n∈ N* ， 1 ＋ 1 ＋?＋ 1 ＜ 2 x 2 x 2 2 . 1 2 x 3 n M3 數(shù)學 法 23．、

11、[2014 江 卷 ] 已知函數(shù) 0 sin x n n－ 1 * . f ( x)＝ x (x>0) ， f (x)為 f (x)的 數(shù)， n∈ N π π π (1)求 2f1 2 ＋ 2 f2 2 的 ； (2) 明： 任意的 n∈N * ，等式 nfn －1 π π fn π 2都成立． ＋ 4 ＝ 4 4 2 23． 解： (1)由已知，得 1 0 sin x ′＝ cos x－ sin x，

12、 f (x)＝ f′(x)＝ x x x2 于是 f2(x)＝ f1′ (x)＝ cos x sin x x ′－ x2 ′＝ － sin x－ 2cos2 x＋2sin3 x， x x x 所以 f1 π ＝－ 4 2， f2 π ＝－ 2 ＋ 16 2 π 2 π π 3.

13、 π π π 故 2f1 2 ＋ 2 f2 2 ＝－ 1. (2) 明：由已知得， xf (x) ＝sin x，等式兩 分 x 求 ，得 f (x)＋ xf ′ (x)＝ cos x， 0 0 0 π 即 f0(x)＋ xf1(x) ＝ cos x＝ sin x＋ 2 . 似可得 2f1(x)＋ xf2( x)＝－ sin

14、 x＝ sin(x＋π )， 3f2(x)＋ xf3( x)＝－ cos x＝ sin x＋ 3π ， 2 4f3(x)＋ xf4( x)＝ sin x＝ sin(x＋ 2π )． 下面用數(shù)學 法 明等式nfn－ 1 n nπ 所有的 n∈N * 都成立． (x)＋xf (x)＝ sin x＋ 2 (i) 當 n＝1 ，由上可知等式成立． (ii) 假 當 n＝k 等式成立，即 kf (x)＋ xf (x) ＝sin x＋ kπ k－1 2 .

15、 k 因 [kfk－ 1( x)＋ xfk(x)] ′＝ kfk－ 1′ (x)＋ fk(x) ＋ xfk′( x)＝ (k＋1)fk(x)＋ xfk＋1(x)， sin x＋ kπ ′＝ cos x＋ kπ x＋ kπ ′＝ sin x＋ （ k＋1）π ， 2 2 2 2 （ k＋1）π 所以 (k＋ 1)fk(x)＋ xfk＋ 1(x)＝ sin x＋ 2 ， 因此當 n＝ k＋ 1 ，等式也成立． 合 (i)(ii

16、) 可知，等式 nfn－1(x)＋ xfn(x) ＝ sin x＋ nπ 所有的 n∈ N* 都成立． 2 π π π π π nπ 令 x＝ 4 ，可得 nfn－1 4 ＋ 4 fn 4 ＝ sin 4 ＋ 2 (n∈ N* )， 所以 nfn－1 π ＋ π

17、fn π ＝(n∈ N* )． 4 4 4 M4 單元 合 5． [2014 南 郡中學月考湖 ] 記 Sk＝ 1k＋ 2k＋ 3k＋?＋ nk，當 k＝ 1， 2，3，? ， 察 1 2 1 1 3 1 2 1 1 4

18、 1 3 1 2 1 5 1 4 1 3 1 n， 下列等式： S1＝ n ＋ n， S2＝ n ＋ n ＋ n， S3＝ n ＋ n ＋ n ， S4＝ n ＋ n ＋ n － 30 2 2 3 2 6 4 2 4 5 2 3 5 1 6 1 5 ＋ 5 4 2 ＝6n ＋ 2n 12n ＋

19、An ，?由此可以推 A＝ ____________． S 1 [ 解析 ] 根據(jù)所 等式可知， 各等式右 的各 系數(shù)之和 1，所以 1＋ 1＋ 5 ＋ 5．－ 12 6 2 12 1

20、 A＝ 1，解得 A＝－ 12. 6．[2014 照一中月考日 ] 二 空 中 的一 度 (周 )l ＝2π r，二 度 (面 )S＝π r 2， 察 S′＝ l；三 空 中球的二 度 (表面 )S＝ 4πr 2，三 度 (體 )V＝ 4π r 3， 3 察 V′＝ S.已知四 空 中“超球”的三 度 V＝ 8π r 3，猜想其四 度 W ＝ ________. 6． 2π r 4 [解析 ] 因 W′＝ 8

21、π r 3，所以 W＝ 2π r4. 7． [2014 天水一中期末甘 ] 察下列等式： (1＋ 1)＝ 2 1； (2＋ 1)(2＋ 2)＝ 22 1 3； (3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23 13 5. 照 此 規(guī) 律 ， 第 n 個 等 式 為 ________________________________________________________________________ ． 7． (n＋ 1)(n＋ 2)(n＋ 3)? (n＋n) ＝2n 1 3 5? (2n－1) [解析 ]

22、 察等式 律可知第 n 個等式 (n＋ 1)(n＋ 2)(n＋ 3)? (n＋n)＝2n 1 35? (2n－ 1)． 8． [2014 南昌 研 ] 已知整數(shù) 的序列 (1，1) ，(1， 2)， (2 ，1)， (1，3) ，(2， 2)， (3， 1)， (1，4)， (2， 3)， (3， 2)， (4， 1)，(1 ，5)， (2， 4)，?， 第 57 個數(shù) 是 ________． 8． (2， 10) [ 解析 ] 由 意， 所 序數(shù)列有如下 律： (1， 1)的和 2，共 1 個；

23、 (1， 2)， (2， 1)的和 3，共 2 個； (1， 3)， (2， 2)， (3， 1)的和 4，共 3 個； (1， 4)， (2， 3)， (3， 2)，(4 ，1) 的和 5，共 4 個； (1， 5)， (2， 4)， (3， 3)，(4 ，2) ，(5， 1)的和 6，共 5 個． 由此可知， 當數(shù) 中兩個數(shù)字之和 n ，有 n－ 1 個數(shù) ． 易知第 57 個數(shù) 中兩數(shù)之 和

24、 12，且是兩數(shù)之和 12 的數(shù) 中的第 2 個數(shù) ，故 (2， 10)． 9．[2014 福州模 ] 已知點 A(x1， ax1) ，B(x2， ax2)是函數(shù) y＝ ax(a>1) 的 像上任意不同 的兩點，依據(jù) 像可知， 段 AB 是位于 A， B 兩點之 函數(shù) 像的上方，因此有 1 2 1 2 成立．運用 比的思想方法可知，若點 A(x1 ax ＋ ax x ＋ x 1 2 2 2 >a 2 ， sin x )，

25、 B(x ， sin x )是函數(shù) y ＝sin x(x∈ (0，π )) 的 像上任意不同的兩點， 似地有 ________________ 成立． sin x1＋ sin x2 x1＋ x2 [ 解析 ] 依據(jù)函數(shù) y＝ sin x(x∈(0，π ))的 像可知， 段 AB 9. 2