【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)第十一篇第8講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布限時訓(xùn)練新人教A版

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1、 第 8 講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 A 級 基礎(chǔ)演練 ( 時間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 ( 每小題 5 分，共 20 分 ) 1．(2011 湖北 ) 如圖，用 K、A1、 A2 三類不同的元件連 接成一個系統(tǒng)，當(dāng) K 正常工作且 A1、A2 至少有一個正 常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知 K、 A1、 A2 正常工作 的概率依次為 0.9,0.8,0.8 ，則系統(tǒng)正常工作的概率為 ( ) ． A． 0.960 B． 0.864 C． 0.720 D． 0.576 解析

2、 P＝0.9 [1 － (1 －0.8) 2] ＝ 0.864. 答案 B 2． (201 1廣東 ) 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙 隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 ( ) ． 3 2 3 1 A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 1 解析 問題等價為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率 P1＝ ；第二類，需比賽 2 局，第 2 1 1 1 3 一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率 P2＝

3、 2 2＝ 4. 故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 P1＋ P2＝4. 答案 A 3．在 4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 隨機(jī)事件 A 恰好發(fā)生 1 次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率， 則事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 p 的取值范圍是 ( ) ． A． [0.4,1] B． (0,0.4] C． (0,0.6] D． [0.6,1] 解析 設(shè)事件 A

4、 發(fā)生的概率為 p 1 (1 － 3 2 2 2 p ≥0.4 ，故選 A. ，則 C4 ) ≤C (1 － ) ，解得 p p 4 p p 答案 A 4．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(2,9) ，若 P( X>c＋ 1) ＝ P( X

5、 解析 ∵ μ ＝ 2，由正態(tài)分布的定義， 知其函數(shù)圖象關(guān)于 x＝ 2 對稱，于是 c＋ 1＋ c－1 ＝ 2， 2 ∴ c＝ 2. 答案 B 1 二、填空題 ( 每小題 5 分，共 10 分 ) 5．(2013 臺州二模 ) 某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的 5 個問題中，選手若能連續(xù) 正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率 都是

6、 0.8 ，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了 4 個問題就晉級下一 輪的概率等于 ________． 解析 由已知條件第 2 個問題答錯， 第 3、4 個問題答對， 記“問題回答正確”事件為 A， 則 P( A) ＝ 0.8 ，P＝ P[ － － A∪ A AAA] ＝(1 － P( A)] P( A) P( A) ＝ 0.128. 答案 0.128 6．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(0,1) ，如果 P( X≤1) ＝ 0.8413 ，則 P( － 1

7、0) ＝ ________. 解析 ∵ P( X≤1) ＝ 0.841 3 ， ∴ P( X>1) ＝ 1－ P( X≤1) ＝ 1－ 0.841 3 ＝ 0.158 7. ∵ X～ N(0,1) ，∴ μ ＝ 0. ∴ P( X<－ 1) ＝ P( X>1) ＝ 0.158 7 ， ∴ P( －11) ＝ 0.682 6. ∴ P( －1

8、12 分 ) 設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù) X～ N(110,20 2) ，且知試卷滿分 150 分， 這個班的學(xué)生共 54 人，求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格 ( 即 90 分以上 ) 的人數(shù)和 130 分 以上的人數(shù)． 解 由題意得 μ＝ 110， σ＝ 20， P( X≥90) ＝ P( X－110≥－ 20) ＝ P( X－ μ≥－ σ ) ， ∵ P( X－μ <－ σ) ＋ P( － σ≤ X－ μ≤ σ ) ＋ P( X－ μ >σ) ＝ 2P( X－ μ <－ σ) ＋ 0.682 6 ＝ 1， ∴ P( X－μ <－ σ) ＝ 0.158

9、7 ， ∴ P( X≥90) ＝ 1－P( X－ μ<－ σ ) ＝1－ 0.158 7 ＝ 0.841 3. ∴540.841 3 ≈45( 人 ) ，即及格人數(shù)約為 45 人． ∵ P( X≥130) ＝ P( X－110≥20 ) ＝ P( X－ μ ≥ σ) ， ∴ P( X－μ ≤－ σ) ＋ P( －σ ≤ X－ μ≤ σ ) ＋ P( X－ μ >σ ) ＝ 0.682 6 ＋ 2P( X－ μ ≥ σ) ＝ 1， ∴ P( X－μ ≥ σ ) ＝ 0.158 7. ∴540.158 7 ≈9( 人 ) ， 即 130 分以上的人

10、數(shù)約為 9 人． 8． (13 分)(2012 重慶 ) 甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲 2 3 次時投籃結(jié)束． 設(shè)甲每次投籃投中的概率為 1 勝，一直到有人獲勝或每人都已投球 3，乙 1 每次投籃投中的概率為 2，且各次投籃互不影響． (1) 求甲獲勝的概率； (2) 求投籃結(jié)束時甲的投球次數(shù) ξ 的分布列與期望． 解 設(shè) Ak ， Bk 分別表示甲、乙在第 k 次投籃投中，則 1 1 P( A ) ＝ 3， P( B ) ＝ 2( k＝ 1,2,3)

11、． k k (1) 記“甲獲勝”為事件 C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計算公式知 P( C) ＝ P( A ) ＋ P( A B A ) ＋ P( A B A B A ) ＝ P( A ) ＋ P( A ) P( B ) P( A ) ＋ 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 2 ( ) ( B ) ( A ) ( B ) ( ) P A P P P P A

12、 1 1 2 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ＝ 3＋ 3 2 3＋ 3 2 3 1 1 1 13 ＝ 3＋ 9＋ 27＝ 27. (2) ξ 的所有可能值為 1,2,3 由獨(dú)立性，知 1 2 1 2 P( ξ ＝1) ＝ P( A1) ＋P( A1 B1) ＝ 3＋

13、3 2＝ 3， P( ξ ＝2) ＝ P( A1 B1 A2) ＋P( A1 B1 A2 B2) 2 1 1 2 2 1 2 2 ＝ 3 2 3＋ 3 2 ＝ 9， P( ξ ＝3) ＝ P( A B A B ) ＝ 2 2 1 2 1 3 2 ＝ 9. 1 1 2 2 綜上知， ξ 的分布列為 ξ 1

14、 2 3 P 2 2 1 3 9 9 2 2 1 13 從而 E( ξ ) ＝1 3＋2 9＋3 9＝ 9 ( 次 ) ． B 級 能力突破 ( 時間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 ( 每小題 5 分，共 10 分 ) 3 1．(2013 金華模擬 ) 已知三個正態(tài)分布密度函數(shù) φi

15、 ( x) ＝ 1 x－μ 2 i 的圖象如圖所 e－ 2 ( x∈ R， i ＝ 1,2,3) 2π σ i 2σ i 示，則 ( ) ． A． μ 1＜ μ2＝ μ 3， σ1＝σ 2＞ σ 3 B． μ 1＞ μ2＝ μ 3， σ1＝σ 2＜ σ 3 C． μ 1＝ μ2＜ μ 3， σ1＜σ 2＝ σ 3 D． μ 1＜ μ2＝ μ 3， σ1＝σ 2＜ σ 3 解析 正態(tài)分布密度函數(shù) φ2( x) 和 φ 3( x) 的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱，所以其平均

16、 數(shù)相同，故 μ 2＝ μ 3，又 φ2( x) 的對稱軸的橫坐標(biāo)值比 φ 1( x) 的對稱軸的橫坐標(biāo)值大， 故有 μ 1 ＜μ ＝ μ . 又 σ 越大，曲線越“矮胖”， σ 越小，曲線越“瘦高”，由圖象可 2 3 知，正態(tài)分布密度函數(shù) φ ( x) 和 φ ( x) 的圖象一樣“瘦高”， φ ( x) 明顯“矮胖”，從 1 2

17、 3 而可知 σ 1＝ σ 2＜ σ 3. 答案 D 2．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個質(zhì)點(diǎn) P 按下述規(guī)則移動：質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位；移動的方向?yàn)橄? 1 上或向右，并且向上、向右移動的概率都是 2. 質(zhì)點(diǎn) P移動五次后位于點(diǎn) (

18、2,3) 的概率是 ( ) ． 1 5 2 1 5 A. 2 B． C5 2 3 1 3 2 3 1 5 C． C 2

19、 D． C C 2 5 5 5 解析 由于質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位， 移動的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥? 移動五次后位于點(diǎn) (2,3) ， 所以質(zhì)點(diǎn) P 必須向右移動兩次，向上移動三次，故其概率為 3 1 3 1 2 3 1 5 2 1 5 ，故選 B. C 2 2 ＝ C 2

20、 ＝ C 2 5 5 5 答案 B 二、填空題 ( 每小題 5 分，共 10 分 ) 1 3．(2013 湘潭二模

21、 ) 如果 X～B(20 ， p) ，當(dāng) p＝ 2且 P( X＝ k) 取得最大值時， k＝________. 解析 當(dāng) 1 ＝ k 1 k 1 20 －k k 1 20 ，顯然當(dāng) k ＝ 10 時， ( ＝ ) 取得 ＝ 時， ( ) ＝ C20 ＝ C20 p 2 P X k 2 2 2 P X k

22、 最大值． 答案 10 4．(2013 九江一模 ) 將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的 4 入口處，小 1 球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將 3 次遇到黑色障礙物，最后落入 A 袋或 B 袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是 1 2，則小 球落入 A 袋中的概率為 ________． 解析 記“小球落入 A 袋中”為事件 A，“小球落入 B 袋中”為事件 B，則事件 A 的對立 事件為 ，

23、若小球落入 B 袋中，則小球必須一直向左落下或一直向右落下，故 ( ) ＝ 1 B P B 2 3 1 3 1 1 3 ＋ 2 ＝ 4，從而 P( A) ＝ 1－ P( B) ＝ 1－ 4＝4. 答案  3 4 三、解答題 ( 共 25 分) 5．(12 分)(2012 湖南 ) 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī) 收集了在該超市購物的 100 位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

24、 一次購物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 13 至 16 17 件及 件 件 以上 顧客數(shù) ( 人 ) x 30 25 y 10 結(jié)算時間 ( 分鐘 / 人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這 100 位顧客中一次購物量超過 8 件的顧客占 55 %. (1) 確定 x， y 的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間 X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2) 若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有 2 位顧客需結(jié)算， 且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立， 求該顧客結(jié)算前的等候時

25、間不超過 2.5 分鐘的概率． ( 注：將頻率視為概率 ) 解 (1) 由已知得 25＋ y＋10＝ 55，x＋ 30＝ 45，所以 x＝15，y＝ 20. 該超市所有顧客一次 購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的 100 位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的 一個容量為 100 的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 15 3 30 3 25 1 20 1 P( X＝ 1) ＝ 100＝20，P( X＝ 1.5) ＝ 100＝10，P( X＝ 2) ＝ 100＝ 4，P( X＝ 2.5) ＝ 100＝ 5，P( X 10 1 ＝ 3) ＝100＝ 10.

26、 X 的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P 3 3 1 1 1 20 10 4 5 10 X 的數(shù)學(xué)期望為 3 3 1 1 1 E( X) ＝1 20＋1.5 10＋2 4＋2.5 5＋3 10＝ 1.9. 5 (2) 記 A 為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過 2.5 分鐘”， Xi ( i ＝ 1,2) 為該顧客前面 第 i 位顧客的結(jié)算時間，則 P( A) ＝P( X1＝ 1 且 X2＝ 1) ＋ P( X1＝ 1 且 X2＝ 1.5) ＋ P

27、( X1＝ 1.5 且 X2＝1) ． 由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且 X1， X2 的分布列都與 X的分布列相同，所以 P( A) ＝P( X1＝1) P( X2＝ 1) ＋P( X1＝1) P( X2＝ 1.5) ＋ P( X1＝1.5) P( X2＝ 1) ＝ 3 3 ＋ 3 3 ＋ 3 3 ＝ 9 . 20 20 20 10 10 20 80 9 故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過 2.5 分鐘的概率為 80. 6． (13 分)(2012 山東 ) 現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為 3

28、 ，命 4 2 中得 1 分，沒有命中得 0 分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為 3，每命中一次得 2 分，沒有命中得 0 分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立． 假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1) 求該射手恰好命中一次的概率； (2) 求該射手的總得分 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E( X) ． 解 (1) 記：“該射手恰好命中一次”為事件 A，“該射手射擊甲靶命中”為事件 B，“該 射手第一次射擊乙靶命中”為事件 C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件 D. 3 2 由題意，知

29、P( B) ＝ 4， P( C) ＝ P( D) ＝3， － － － － － － 由于 A＝ B C D＋ B CD＋ B CD， 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得 ( ) ＝ ( － －＋－ － ＋ － － ) P A P BC D B CD B CD － － ＋ P( － － － － ＝ P( BC D) B CD) ＋ P( B CD) ＝

30、P( B) P( － － － － － － P( D) C) P( D ) ＋ P( B ) P( C) P( D) ＋ P( B ) P( C) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ＝ 4 1－ 3 1－ 3 ＋ 1－4 3 1－3 ＋ 1－ 4 1－3 3 7 ＝ 36. (2) 根據(jù)題意，知 X 的所有可能取值為 0,1,2,3,4,5. 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得 － － － P( X＝ 0) ＝ P( B C D) ＝ [1 － ( )][1

31、－ ( )][1 － ( )] P B P C P D 3 2 2 1 ＝ 1－ 4 1－ 3 1－ 3 ＝36； 6 － － － － P( X＝ 1) ＝ P( B C D) ＝ P( B) P( C) P( D) 3 2 2 1 ＝ 4 1－ 3 1－ 3 ＝ 12； － － － － － － － － P( X＝ 2) ＝ P( B CD＋ B C D) ＝ P( B CD) ＋ P( B CD) 3 2 2 3 2 2 1 ＝

32、1－ 1－ ＋ 1－ 1－ ＝ ； 4 3 3 4 3 3 9 － － － － P( X＝ 3) ＝ P( BCD ＋ B CD) ＝ P( BCD) ＋P( B CD) 3 2 2 3 2 2 1 ＝ 4 3 1－ 3 ＋4 1－ 3 3＝ 3； － 3 2 2 1 P( X＝ 4) ＝ P( B CD) ＝ 1－ 4 3 3＝ 9， ( ＝ 5) ＝ ( ) ＝ 3 22＝ 1. P X P BCD 4 3

33、3 3 故 X 的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 1 1 1 1 1 1 36 12 9 3 9 3 1 1 1 1 1 1 41 所以 E( X) ＝0 36＋1 12＋2 9＋3 3＋4 9＋5 3＝12. 特別提醒： 教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計高考 總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容 . 7