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1、 教學目標 1. 弄清曲線參數(shù)方程的概念 2. 能選取適當?shù)膮?shù),求簡單曲線 的參數(shù)方程 教學重點 曲線參數(shù)方程的定義及方法 如圖 ,一架救援飛機在離災區(qū)地面 500m高處以 100m/s 的速度作水平直線飛行 . 為使投放救援物資準確落于災 區(qū)指定的地面 (不記空氣阻力 ),飛行員應如何確定投放 時機呢? 提示: 即求飛行員在離救援點的水平距離 多遠時,開始投放物資? ? 救援點 投放點 x y 500 o 物資投出機艙后,它的運動由下列兩種運動合成: ( 1)沿 ox作初速為 100m/s的勻速直線運動; ( 2)沿 oy反方向作自由落體運動。 如圖 ,一架救援飛機在離災區(qū)地面 500m高
2、處以 100m/s 的速度作水平直線飛行 . 為使投放救援物資準確落于災 區(qū)指定的地面 (不記空氣阻力 ),飛行員應如何確定投放 時機呢? x y 500 o 0,y 令 1 0 .1 0 .ts得 1 0 0 , 1 0 1 0 .x t x m代 入 得 . 1010 所 m以 , 飛 行 員 在 離 救 援 點 的 水 平 距 離 約 為 時 投 放 物 資 , 可 以 使 其 準 確 落 在 指 定 位 置 tx y 解 : 物 資 出 艙 后 , 設 在 時 刻 , 水 平 位 移 為 , 垂 直 高 度 為 , 所 以 2 1 0 0 , 1 5 0 0 . 2 xt y g t
3、)2( g=9.8m/s 如圖 ,一架救援飛機在離災區(qū)地面 500m高處以 100m/s 的速度作水平直線飛行 . 為使投放救援物資準確落于災 區(qū)指定的地面 (不記空氣阻力 ),飛行員應如何確定投放 時機呢? 讀教材 填要點 1 參數(shù)方程 在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標 x , y 都是某 個變數(shù) t 的函數(shù) x f t , y g t , ,并且對于 t 的每一個允許值,由方程 組 所確定的點 M ( x , y ) ,那么 叫做 這條曲線的參數(shù)方程 聯(lián)系變量 x , y 的 叫做參變數(shù),簡稱參數(shù) 2 普通方程 相對于參數(shù)方程而言,直接給出 的方程叫做 普通方程 都在這條曲線上
4、 方程組 變數(shù) t 點的坐標間關系 小問題 大思維 1 參數(shù)方程中的參數(shù) t 是否一定有實際意義? 2 曲線的參數(shù)方程一定是唯一的嗎? 提示: 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù) x, y的橋梁,可以是一個有物理意義 或幾何意義的變數(shù),也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù) 提示: 同一曲線選取參數(shù)不同,曲線參數(shù)方程形式也不一 樣如 x 4 t 1 y 2 t t R 和 x 2 m 1 y m ( m R) 都表示直線 x 2 y 1. 研一題 例 1 已知曲線 C 的參數(shù)方程是 x 2 t y 3 t 2 1 ( t 為參數(shù) ) (1) 判斷點 M 1 (0 , 1) 和 M 2 (4,10) 與曲線 C 的位置關系
5、; (2) 已知點 M (2 , a ) 在曲線 C 上,求 a 的值 精講詳析 本題考查曲線的參數(shù)方程及點與曲線的位置關 系解答此題需要將已知點代入?yún)?shù)方程,判斷參數(shù)是否存在 (1) 把點 M 1 的坐標代入?yún)?shù)方程 x 2 t, y 3 t 2 1 , 得 0 2 t 1 3 t 2 1 , t 0. 即點 M 1 在曲線 C 上 把點 M 2 的坐標代入?yún)?shù)方程 x 2 t, y 3 t 2 1 , 得 4 2 t 10 3 t 2 1 ,方程組無解 即點 M 2 不在曲線 C 上 (2) 點 M (2 , a ) 在曲線 C 上, 2 2 t, a 3 t 2 1. t 1 , a 3
6、 1 2 1 2. 即 a 的值為 2. 悟一法 已知曲線的參數(shù)方程,判斷某點是否在曲線上,就是將點 的坐標代入曲線的參數(shù)方程,然后建立關于參數(shù)的方程組,如 果方程組有解,則點在曲線上;否則,點不在曲線上 通一類 1 已知曲線 x 2sin 1 y sin 3 ( 為參數(shù), 0 ) , 則下列各點 A (1,3) , B (2,2) , C ( 3,5) 在曲線上的點是 ________ 解析: 將 A (1,3) 點代入方程得 0 ;將 B 、 C 點坐標代入方程, 方程無解,故 B 、 C 點不在曲線上 答案: A (1,3) 練習 1 1、曲線 與 x軸的交點坐標是 ( ) A、( 1,
7、 4); B、 C、 D、 21 ,( 43 xt t yt 為 參 數(shù) ) 25( , 0) ; 16 (1, 3); 25( , 0) ; 16 B 已知曲線 C的參數(shù)方程是 點 M(5,4)在該 曲線上 . ( 1)求常數(shù) a; ( 2)求曲線 C的普通方程 . 2 1 2 , () . xt t y a t 為 參 數(shù) , a R 解 : (1)由題意可知 : 1+2t=5 at2=4 解得 : a=1 t=2 a=1 (2)由已知及 (1)可得 ,曲線 C的方程為 : x=1+2t y=t2 由第一個方程得 : 1 2 xt 代入第二個方程得 : 21( ) , 2 xy 2( 1
8、) 4xy 為 所 求 . 訓練 2: 動點 M作等速直線運動 , 它在 x軸和 y軸方向的速度分別 為 5和 12 , 運動開始時位于點 P(1,2), 求點 M的軌跡參數(shù) 方程。 解:設動點 M (x,y) 運動時間為 t,依題意,得 ty tx 122 51 所以,點 M的軌跡參數(shù)方程為 ty tx 122 51 研一題 例 2 如圖, ABP是等腰直角三角形, B是直角,腰 長為 a,頂點 B、 A分別在 x軸、 y軸上滑動, 求點 P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程 精講詳析 本題考查曲線參數(shù)方程的求法,解答本題需 要先確定參數(shù),然后分別用同一個參數(shù)表示 x和 y. 法一: 設 P 點的坐
9、標為 ( x , y ) ,過 P 點作 x 軸的垂線交 x 軸 于 Q . 如圖所示,則 Rt OAB Rt QBP . 取 OB t, t 為參數(shù) (0 t a ) | OA | a 2 t 2 , | BQ | a 2 t 2 . 點 P 在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為 x t a 2 t 2 y t , (0 t a ) 法二: 設點 P 的坐標為 ( x , y ) ,過點 P 作 x 軸的垂線交 x 軸 于點 Q ,如圖所示 取 QBP , 為參數(shù) (0 2 ) , 則 ABO 2 . 在 Rt OAB 中, | OB | a cos ( 2 ) a sin . 在 Rt QBP 中
10、, | BQ | a cos , | PQ | a sin . 點 P 在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為 x a sin cos , y a sin . ( 為參數(shù), 0 2 ) 悟一法 (1)求曲線參數(shù)方程的主要步驟:第一步,建立直角坐標系, 設 (x, y)是軌跡上任意一點的坐標畫出草圖 (畫圖時要注意根 據(jù)幾何條件選擇點的位置,以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關系 ) 第二步,選擇適當?shù)膮?shù)參數(shù)的選擇要考慮以下兩點: 一是曲線上每一點的坐標 x, y與參數(shù)的關系比較明顯,容易列 出方程;二是 x, y的值可以由參數(shù)唯一確定例如,在研究運 動問題時,通常選時間為參數(shù);在研究旋轉問題時,通常選旋 轉角為參數(shù)
11、此外,離某一定點的 “有向距離 ”、直線的傾斜角、 斜率、截距等也常常被選為參數(shù) 第三步,根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質、問題的物理意 義等,建立點的坐標與參數(shù)的函數(shù)關系式 (2)求曲線的參數(shù)方程時,要根據(jù)題設條件或圖形特性求 出參數(shù)的取值范圍并標注出來 通一類 2. 如圖所示, OA 是圓 C 的直徑,且 OA 2 a , 射線 OB 與圓交于 Q 點,和經(jīng)過 A 點的切線 交于 B 點,作 PQ OA 交 OA 于 D , PB OA , 試求點 P 的軌跡的參數(shù)方程 解: 設 P ( x , y ) 是軌跡上任意一點,取 DOQ ,由 PQ OA , PB OA ,得 x OD OQ co
12、s OA cos 2 2 a cos 2 , y AB OA tan 2 a tan . 所以 P 點軌跡的參數(shù)方程為 x 2 a cos 2 y 2 a tan , ( 2 , 2 ) 曲線參數(shù)方程的應用 , 是高考模擬的熱點內(nèi)容 . 實際問題為背 景考查曲線參數(shù)方程的實際應用 , 是高考模擬命題的一個新亮點 考題印證 已知彈道曲線的參數(shù)方程為 x 2 t c os 6 , y 2 t s i n 6 1 2 gt 2 . ( t 為參數(shù) ) ( 1) 求炮彈從發(fā)射到落地所需時間; ( 2) 求炮彈在運動中達到的最大高度 命題立意 本題主要考查曲線參數(shù)方程中參數(shù)的實際意 義及其應用 解 (1) 令 y 0 ,則 2 t s in 6 1 2 gt 2 0. 解之得 t 2 g . 炮彈從發(fā)射到落地所需要的時間為 2 g . (2) y 2 t sin 6 1 2 gt 2 1 2 gt 2 t 1 2 g ( t 2 2 g t ) 1 2 g ( t 1 g ) 2 1 g 2 1 2 g ( t 1 g ) 2 1 2 g 當 t 1 g 時, y 取最大值 1 2 g . 即炮彈在運動中達到的最大高度為 1 2 g .