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1、三） 簡單的二次曲面 1知識范圍 球面 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面 旋轉(zhuǎn)拋物面 圓錐 面 橢球面 2要求 了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物 面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。 二次曲面方程的定義： 用三元二次方程 0),( zyxF 表示的方程稱為二次 10987654 2 3 2 2 2 1 ),( azayaxazxayzaxyazayaxa zyxF 曲面方程。 1、曲面方程的概念 （ 1）球面 . 例 1 建立球心在點 ),( 0000 zyxM 、半徑為 R 的球面方程 . 解 設(shè) ),( zyxM 是球面上任一點， RMM | 0根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 22
2、02020 Rzzyyxx 所求方程為 例 2 求與原點 O 及 )4,3,2(0M 的距離之比為 2:1 的 點的全體所組成的曲面方程 . 解 設(shè) ),( zyxM 是曲面上任一點， ,21| | 0 MMMO根據(jù)題意有 ,2 1 432 222 222 zyx zyx .911634132 2 2 2 zyx所求方程為 例 3 已知 )3,2,1(A ， )4,1,2( B ，求線段 AB 的 垂直平分面的方程 . 設(shè) ),( zyxM 是所求平面上任一點， 根據(jù)題意有 |,| MBMA 222 321 zyx ,412 222 zyx 化簡得所求方程 .07262 zyx 解 z x y
3、o 例 4 方程 的圖形是怎樣的？ 1)2()1( 22 yxz 根據(jù)題意有 1z 用平面 cz 去截圖形得圓： )1(1)2()1( 22 ccyx 當(dāng)平面 cz 上下移動時， 得到一系列圓 圓心在 ),2,1( c ，半徑為 c1 半徑隨 c 的增大而增大 .圖形上不封頂，下封底 解 c （ 2） 柱面 定義： 平行于定直線并沿定曲線 C移動的直線 L所形成的曲面稱之 . 這條定曲線叫柱面 的 準(zhǔn)線 ，動直線叫 柱面的 母線 . 軸的柱面方程。為母線平行于 zyxF 0),( x o z y P(x,y,z) 柱面上任取一點 P(x,y,z) 沿母線與 xoy平面的交點是 P(x,y,0)
4、 P(x,y,0) P(x,y,0)在準(zhǔn)線上，從而柱面上 任一點 P的坐標(biāo)均滿足方程 F(x,y)=0. .0 ,0),( z yxF準(zhǔn)線方程 柱面方程： F(x,y)=0 柱面的 特征 ： 只含 yx , 而缺 z 的方程 0),( yxF ，在 空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 z 軸的柱 面，其準(zhǔn)線為 x o y 面上曲線 C . 實 例 12 2 2 2 czby 橢圓柱面 / 軸 x 12 2 2 2 byax 雙曲柱面 / 軸 z pzx 22 拋物柱面 / 軸 y 柱面舉例 x o z y x o z y 22 xy 拋物柱面 xy 橢圓柱面 12 2 2 2 byax222 Ry
5、x 圓柱面 x o z y （ 3） 旋轉(zhuǎn)曲面 定義：以一條平面曲線繞 其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn) 一周所成的曲面稱之 . 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的 軸 . 平面上的曲線稱為母線。 x o z y 0),( zyf ),0( 111 zyMM ),( zyxM設(shè) 1)1( zz （ 2 ）點 M 到 z 軸的距離 | 122 yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征： 曲面上任取一點， 將 代入 22 11 , yxyzz 0),( 11 zyf d則點 M是由曲線上點 M1旋轉(zhuǎn)得來。 因此 0),( 0 0),( :6 22 zyxf zL x zyf L 方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞證明曲線 設(shè)有平面曲線例
6、將 代入 2211 , yxyzz 0),( 11 zyf ,0,22 zyxf y o z 坐標(biāo)面上的已知曲線 0),( zyf 繞 z 軸 旋轉(zhuǎn)一周的 旋轉(zhuǎn)曲面方程 . 得方程 同理： y o z 坐標(biāo)面上的已知曲線 0),( zyf 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的 旋轉(zhuǎn)曲面方程 為 .0, 22 zxyf （ 2）圓錐面 222 zyx （ 1）球面 （ 3）旋轉(zhuǎn)雙曲面 12 2 2 2 2 2 czayax1222 zyx 例 7 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求 生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 （ 1 ） xz 面上雙曲線 1 2 2 2 2 c z a x 分別繞 x 軸 和 z 軸； 繞 x 軸旋
7、轉(zhuǎn) 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 12 22 2 2 c zyax 12 2 2 22 cza yx 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 （ 2 ）橢圓 0 1 2 2 2 2 x c z a y 繞 y 軸和 z 軸； 繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 12 22 2 2 c zxay 12 2 2 22 cza yx 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 （ 3 ）拋物線 0 22 x pzy 繞 z 軸； pzyx 222 旋轉(zhuǎn)拋物面 所圍的立體體積。及兩平面，求由成旋轉(zhuǎn)曲面為 軸旋轉(zhuǎn)一周所繞線段與點練習(xí)：已知點 1,0 ),1,1,0()0,0,1( zzSS zABBA 111 1 zyxAB ：解： ),( zyxM設(shè) x o z
8、 y A B M M ),( 00 zyxM 它的對應(yīng)點 zy zxzyx 0 000 1 111 1則 222020 yxyx 又 2222 )1( zzyx dzyxdzrv 10 2210 2 )( .32)1(10 22 dzzz （ 4）錐面 一條動直線通過一定點且沿空間一條固定曲線移動 所產(chǎn)生的曲面稱為錐面。動直線稱為母線，定點稱 為頂點，固定曲線稱為準(zhǔn)線。 x o z y 圓錐方程（半頂角 a) y oz 面上直線方程為 y ctgz ),0( 111 zyM ),( zyxM 圓錐面方程 c t gyxz 22 zz 1 平面解析幾何中 空間解析幾何中 2x 422 yx 1
9、xy 平行于 y 軸的直線平行于 y o z 面的平面 圓心在 )0,0( ， 半徑為 2 的圓 以 z 軸為中心軸的圓柱面 斜率為 1的直線 平行于 z 軸的平面 方程 o z yx （ 5）橢球面 12 2 2 2 2 2 czbyax 橢球面與 三個坐標(biāo)面 的交線： , 0 12 2 2 2 y c z a x . 0 12 2 2 2 x c z b y , 0 12 2 2 2 z b y a x圖形有界，并且關(guān)于坐標(biāo)面對稱。 橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化 . 橢球面與平面 的交線為橢圓 kz 同理與平面 x=k 和 y=k 的交線也是橢圓 . kz kc c b y kc
10、c a x 1 )()( 22 2 2 2 22 2 2 2 ck | 當(dāng) k由 0變到 c時 ,橢圓由大變小 , 最后縮成一點。 橢球面的幾種特殊情況： ,)1( ba 12 2 2 2 2 2 czayax 旋轉(zhuǎn)橢球面 12 2 2 2 czax由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成 z 旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別： 12 2 2 22 cza yx方程可寫為 與平面 的交線為圓 . kz )|( ck ,)2( cba 12 2 2 2 2 2 azayax 球面 .2222 azyx . )( 22 2 2 22 kz kc c a yx 截面上圓的方程 方程可寫為 （ 6）拋物面 zqypx 22 2
11、2 （ 與 同號） p q 橢圓拋物面 用截痕法討論： （ 1）用坐標(biāo)面 與曲面相截 )0( zxoy 截得一點，即坐標(biāo)原點 )0,0,0(O 設(shè) 0,0 qp 原點也叫橢圓拋物面的 頂點 . 圖形位于 xoy平面的上方，并關(guān)于 yoz及 zox坐標(biāo)面對稱。 與平面 的交線為橢圓 . kz kz qk y pk x 1 22 22 當(dāng) k 變動時，這種橢 圓的 中心 都在 z軸上 . )0( k 與平面 z=k (k0) 的交線為圓 . 當(dāng) k變動時，這種圓的 中心 都在 z 軸上 . 雙葉雙曲面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a c x y o （ 04一 20） . 方程 2
12、x2-y2=1表示的二次曲面是（ ） A、球 面 B、旋轉(zhuǎn)拋物面 C、柱面 D、圓錐面 空間曲線及其方程 空間曲線的一般方程 空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF 空間曲線的一般方程 x o z y 1S 2S C 空間曲線 C可看作空間兩曲面的交線 . 1、空間曲線的一般方程 例 2 方程組 表示怎樣的曲線？ 6332 122 zyx yx 解 122 yx 表示圓柱面， 6332 zyx 表示平面， 6332 122 zyx yx 交線為橢圓 . 例 1 xoy平面上的曲線可看作是柱面 f(x,y)=0與平 面 z=0的交線： 0 0),(
13、z yxf 例 3 方程組 表示怎樣的曲線？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解 222 yxaz 上半球面 , 4)2( 2 22 ayax 圓柱面 , 交線如圖 . )( )( )( tzz tyy txx 當(dāng)給定 1tt 時，就得到曲線上的一個點 ),( 111 zyx ，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全 部點 . 空間曲線的參數(shù)方程 2、空間曲線的參數(shù)方程 動點從 A點出 發(fā)，經(jīng)過 t時間，運動到 M點 例 3 如果空間一點 M 在圓柱面 222 ayx 上以 角速度 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度 v 沿平行于 z 軸的正方向上升 （其中 、 v 都是常數(shù)），那么點 M 構(gòu)成的圖形叫做 螺旋線 試建立其參數(shù)方程 A M M M 在 x o y 面的投影 )0,( yxM tax c o s tay si n vtz t 螺旋線的參數(shù)方程 取時間 t為參數(shù)， 解 x y z o 螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bz ay ax s i n c o s ),( vbt 螺旋線的重要 性質(zhì) ： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比 即 上升的高度 bh 2 螺距 ,2
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