數(shù)形結(jié)合的幾個經(jīng)典題

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1、數(shù)形結(jié)合 1.如圖1，大長方形的面積從整體看為S=m（a+b+c）， 同時這個大長方形的面積也可以從局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc； 于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。。 2.如圖2，大長方形的面積從整體可以表示成（a+b）（m+n）， 同時這個大長方形的面積也可以從局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb； 于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb. 。 3.如圖3，陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2－b2； 若把小長方形S4旋轉(zhuǎn)到小長方形S3的位置，

2、 則此時的陰影部分的面積又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。 于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。 4.如圖4：將邊長為b的小正方形放到邊長為a的正方形的一角， 空白部分的面積從整體計算為a2－b2； 而如果從局部考慮，其面積可以看作為兩個梯形S1+S2之和， 其面積為。 于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。 5.如圖5，大正方形的面積從整體可以表示為(a+b)2， 從局部可以表示為也可以表示為S＝S1+ S2+ S3+S4， 同時S＝a2+ab

3、+ab+b2＝a2+2ab+b2， 于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。 6.如圖6，從整體看，這個圖形的面積為（a+b）（a+2b）， 從局部我們可以看出，它分為6部分，這6部分的面積之和為a2+3ab+2b2， 所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。 數(shù)形結(jié)合例題 　 例1　在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖1），把余下的部分拼成一個長方形（如圖2），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（　　） 　　A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2 　　C．a(chǎn)2-b2=（a+b）（a-b

4、） D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 　　析解：圖1的陰影部分面積等于邊長為a的正方形面積與邊長為b的正方形的面積差，表示為a2-b2．圖2中陰影部分是長方形，其中長為a+b，寬為a-b，其面積為（a+b）（a-b）．根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故選C． 　　例2　如圖3是四張全等的長方形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關(guān)于a、b的恒等式________． 析解：空白部分的面積可看成是一個正方形，它的邊長為a-b，所以面積為（a-b）2；空白部分面積又可看成大正方形面積與四個長方形面積的差，大正方

5、形的面積為（a+b）2，每個長方形的面積為ab，所以空白部分面積為（a+b）2-4ab． 因此有恒等式（a+b）2-4ab=（a-b）2成立．故填（a+b）2-4ab=（a-b）2． 　　例3　圖4是由一個邊長為a的正方形與兩個長、寬分別為a、b的小長方形拼接而成的長方形ABCD，則整個圖形可表達(dá)出一些等式，請你寫出其中任意三個等式______、______、_______． 　　析解：讀懂題意，觀察圖中數(shù)據(jù)關(guān)系是關(guān)鍵，其次利用面積寫出代數(shù)式，．根據(jù)圖形的組合特點，由面積間的相等關(guān)系，寫出符合要求的等式，如： 　　a2+2ab=a（a+2b）；a（a+b）＋ab=a（a+2b）；

6、 　　a（a+2b）-a（a+b）=ab；a（a+2b）-ab=a（a+b）； 　　a（a+2b）-a2=2ab；a（a+2b）-2ab=a2． 　　　 數(shù)形結(jié)合解題 1.將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系可以得到一個關(guān)于a、b的恒等式為（ ） A B. a b a－b a b a－b 甲 乙 C D. 2.圖①是一個邊長為的正方形，小穎將圖①中的陰影部分拼成圖②的形狀，由圖①和圖②能驗證的式子是（ ） A． B

7、． C． D． 3.如圖，邊長為(m+3)的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后余部分又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，若拼成的矩形一邊長為3，則另一邊長是（　　） A．2m+3　　　　 B．2m+6 C．m+3 D．m+6 a a b b ⑴ 4.七年級學(xué)生小明剪出了多張如圖⑴中的正方形和長方形的卡片，利用這些卡片他拼成了如圖⑵中的大正方形，由此驗證了我們學(xué)過的公式：．現(xiàn)在請你選取圖⑴中的卡片（各種卡片的張數(shù)不限），并利用它們在圖⑶中拼出一個長方形，由此來驗證等式：．（請按照圖⑴中卡片的形狀來畫圖 （3） （2） 5.數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，，你能利用這種方法把算式(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2的合理性解釋清楚嗎？