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1、第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 在學(xué)習(xí)中要把握好三投影面體系的轉(zhuǎn)換規(guī)律 ， 并逐步具備分析和 解決空間問(wèn)題的能力 。 點(diǎn)是最基本的幾何元素 ， 雖然簡(jiǎn)單但點(diǎn)的投影作圖方法和點(diǎn)的投 影規(guī)律是后面學(xué)習(xí)直線 、 平面以及立體投影的基礎(chǔ) 。 一 、 點(diǎn)的三面投影 設(shè)第一分角內(nèi)有一 A點(diǎn) ， 過(guò) A點(diǎn)分別向 三投影面投射即得 A點(diǎn)的三面投影 。 點(diǎn)及其投影的表示方法： 空間的點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示 點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母 ， 加上 ， 或 。 為表示點(diǎn)的各投影的對(duì)應(yīng)關(guān)系用細(xì)線相連接 。 點(diǎn)的投影連線與投 影軸的交點(diǎn)分別記做 ax、 ay、 az。 3 2 點(diǎn)的投影 如 A 水平投影 a，正面投影 a，側(cè)面投影 a。 第
2、三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 一 、 點(diǎn)的三面投影 設(shè)第一分角內(nèi)有一 A點(diǎn) ， 過(guò) A點(diǎn)分別向三投影面投射即得 A點(diǎn)的三面 投影 。 將三投影面展開(kāi)便得到 點(diǎn)的三面投影圖點(diǎn)的三面投影圖如下圖所示 。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 二 、 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 為了研究問(wèn)題方便 ， 可將三投影面體系視為一空間直角坐標(biāo) 系 。 這樣就可將 H、 V、 W三投影面視為坐標(biāo)平面 ， X、 Y、 Z三 投影軸視為坐標(biāo)軸 ， 投影原點(diǎn) O視為坐標(biāo)原點(diǎn) 。 引入坐標(biāo)系的概念后 ， 就可用坐標(biāo)說(shuō)明點(diǎn)的位置 。 三個(gè)有序的坐標(biāo)即 X、 Y、 Z可確定惟一一個(gè)點(diǎn)的位置 點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法： A（ X， Y， Z） 例
3、如： A（ 15， 20， 8） 、 B（ 5， 30， 25） 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 二 、 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 對(duì)照下圖試分析點(diǎn)的每一個(gè)投影能反映該點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)中的幾 個(gè)坐標(biāo) ？ 點(diǎn)的每個(gè)投影能反映該點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo) 點(diǎn)的正面投影 a反映出 x、 z坐標(biāo) 點(diǎn)的水平投影 a反映出 x、 y坐標(biāo) 點(diǎn)的側(cè)面投影 a反映出 y、 z坐標(biāo) 結(jié)論：任給點(diǎn)的兩個(gè)投影 ， 該兩投影均能反映點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo) 。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 二 、 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 點(diǎn)的坐標(biāo)還表示了點(diǎn)到投影面的距離 。 XA=a ayh=a az=A 點(diǎn)到 W面的距離 YA=a ax=a az=A 點(diǎn)到 V面的
4、距離 ZA=a ax=a ayw=A 點(diǎn)到 H面的距離 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 三 、 點(diǎn)的三面投影規(guī)律 點(diǎn)的三面投影規(guī)律為： 1.點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線垂直于 OX軸，即 a ao x 2.點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于 OZ軸，即 aao z 3.點(diǎn)的水平投影與側(cè)面投影具有相同的 Y坐標(biāo)，即 a ax=a az 根據(jù)上述規(guī)律就可準(zhǔn)確作出點(diǎn)的三面投影圖。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 三 、 點(diǎn)的三面投影規(guī)律 例 1.已知點(diǎn) A（ 30、 15、 25） 求作 A點(diǎn)的三面 投影 。 1.分別在 X、 Y、 Z軸上量取 A點(diǎn)的坐標(biāo) 30、 15和 25， 得 ax、 ayh、 ayw和
5、 az點(diǎn) 2.過(guò) ax、 ayh、 ayw和 az 點(diǎn)作 A點(diǎn)投影的連線 3.各連線的交點(diǎn)即為 所求 作圖步驟： 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 三 、 點(diǎn)的三面投影規(guī)律 例 2: 已知 B（ 40、 30、 0） 作出 B點(diǎn)的三面投影 。 問(wèn)題：根據(jù) B點(diǎn)的坐標(biāo)分析 B點(diǎn)的位置 。 因 B點(diǎn)的坐標(biāo) （ 40、 30、 0） 中 Z坐標(biāo)為 0， 故 B點(diǎn)位于 H面上 。 點(diǎn)的位置有如下說(shuō)法： 1.空間的點(diǎn) ， 如圖中的 A點(diǎn) 2.投影面上的點(diǎn) ， 即位于 V、 H 或 W投影面上 ， 如 B點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)位于 H面 、 W面以及 Y軸上時(shí) ， 要注意分析點(diǎn)的各個(gè)投影的位置 。 投影面上的點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)中有一
6、個(gè)為 0 點(diǎn)在 V面上 Y坐標(biāo)為 0 在 H面上 Z坐標(biāo)為 0 在 W面上 X坐標(biāo)為 0 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 三 、 點(diǎn)的三面投影規(guī)律 例 2: 已知 B（ 40、 30、 0） 作出 B點(diǎn)的三面 投影 。 作圖步驟： 1.在 X、 Y軸上量取 B 點(diǎn)坐標(biāo) 2.作點(diǎn)的投影的連線 ，各連線的交點(diǎn)為所求 要注意的是： B點(diǎn)的側(cè)面投影 b應(yīng)在 Yw軸上，而不應(yīng)畫(huà)在 Yh軸上。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 三 、 點(diǎn)的三面投影規(guī)律 例 3.已知 B點(diǎn)的兩面投影 ， 補(bǔ)出 B點(diǎn)的第三投影 。 作圖分析：由于點(diǎn)的任兩投影都能反映 該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo) ， 因此便可按點(diǎn)的投影 規(guī)律作出點(diǎn)的第三投影 。 作圖步
7、驟： 1.按點(diǎn)的投影規(guī)律作點(diǎn)的投影連線 2.投影連線的交點(diǎn)即為 B點(diǎn)的水平投影 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 四 、 兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)間的相對(duì)位置是指空間兩點(diǎn)之間的上下 、 左右和前后的位置 關(guān)系 。 判斷方法： 試判別圖中 A、 B兩點(diǎn)的相對(duì)位置。 根據(jù)給出的兩點(diǎn)的坐標(biāo)判斷相對(duì)位置。 兩點(diǎn)中， X坐標(biāo)大的點(diǎn)在左； Y坐標(biāo)大的點(diǎn) 在前； Z坐標(biāo)大的點(diǎn)在上。 A點(diǎn)在 B點(diǎn)之上方 、 后方、 右方 點(diǎn)的坐標(biāo)是作點(diǎn)的投影圖和判斷兩點(diǎn)間 位置關(guān)系的基礎(chǔ)，也是分析和解決空間問(wèn)題 的關(guān)鍵。 應(yīng)充分理解點(diǎn)的投影與其坐標(biāo)的關(guān)系， 尤其要熟悉三投影面的轉(zhuǎn)換規(guī)律。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 五 、 重影點(diǎn)及其可見(jiàn)
8、性 重影點(diǎn)：若兩個(gè)點(diǎn)在某一投影面上的投影重合成一點(diǎn)則稱(chēng)為重影 點(diǎn) ， 如圖所示 。 從圖中可看出： A、 B兩點(diǎn)的 X、 Y坐 標(biāo)相等； C、 D兩點(diǎn)的 X、 Z坐標(biāo)相等 。 試分析 A、 B兩點(diǎn)哪兩個(gè)坐標(biāo)相等 ， C、 D 兩點(diǎn)哪兩個(gè)坐標(biāo)相等 ？ 問(wèn)題：重影的兩點(diǎn)其坐標(biāo)有何特點(diǎn) ？ 重影點(diǎn)的坐標(biāo)中有兩個(gè)相等 。 并由此可分析出當(dāng)兩點(diǎn)在 W面重影時(shí) , 兩點(diǎn)的 Y、 Z坐標(biāo)相等 。 當(dāng)兩點(diǎn)的投影重合時(shí)就會(huì)有一個(gè)點(diǎn)的投影被擋住 ， 作圖時(shí)要判斷出被擋住 的點(diǎn) ， 即是判別重影點(diǎn)的可見(jiàn)性可通過(guò)兩重影點(diǎn)的不相等的坐標(biāo)來(lái)判別 。 一定 是坐標(biāo)大的點(diǎn)擋住坐標(biāo)小的點(diǎn) 。 注意：判別后要將不可見(jiàn)投影用括號(hào)括
9、住表示該點(diǎn)投影的字母 。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 五 、 重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性 判別圖中各點(diǎn)的可見(jiàn)性 2.C、 D兩點(diǎn)在 V面重影 ， 因 D點(diǎn)的 Y坐標(biāo)小故 D點(diǎn)的正面投影不可見(jiàn) 。 1.從圖中可看出 A、 B在 H面上的投影重合 ， 為水平重影點(diǎn) 。 由于 A 點(diǎn)的 Z坐標(biāo)比 B點(diǎn)的 Z坐標(biāo)大故 B點(diǎn)的水平投影不可見(jiàn) 。 第三章 第二節(jié) 點(diǎn)的投影 例：已知點(diǎn) A（ 40、 15、 30） 求作 A點(diǎn)的直觀圖 。 由于直觀圖具有一定的空間效果 ， 因此在分析問(wèn)題時(shí)常需要繪制 這樣的圖形 1.在三坐標(biāo)軸上分別 量取該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo) ， 得 ax、 ay和 az點(diǎn) 三投影面體系直觀圖 2.過(guò) ax、 ay和 az點(diǎn)作相 應(yīng)坐標(biāo)軸的平行線，各線 的交點(diǎn)為點(diǎn)的投影 3.分別過(guò) a、 a、 a作 三坐標(biāo)軸的平行線，三 條線的交點(diǎn)為空間 A點(diǎn) 作圖步驟：
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