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1、題型三 規(guī)律探索題 典例精講 類型一 數(shù)式規(guī)律 例 1（ 2015省卷 15， 4分 ）觀察下列一組數(shù)： ， ， ， ， ， ，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第 10個(gè)數(shù)是 ____. 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 【 思維教練 】 觀察式子，分子為連續(xù)的正整數(shù)，且分子與分?jǐn)?shù) 序號(hào)相同，分母為從 3開(kāi)始的連續(xù)的奇數(shù)，且分母比分子的 2倍 多 1，由此可推出第 10個(gè)數(shù) . 【 解析 】 觀察各個(gè)分?jǐn)?shù)，不難發(fā)現(xiàn)：分子與分?jǐn)?shù)序號(hào)相同，分母 比序號(hào)的 2倍多 1，所以第 10個(gè)數(shù)為 . 10 10= 2 10 + 1 21 10 21
2、 例 2（ 2016恩施州 ）觀察下列等式： 1+2+3+4+ +n= n(n+1)； 1+3+6+10+ + n（ n+1） = n(n+1)(n+2)； 1+4+10+20+ + n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)； 則有： 1+5+15+35+ + n(n+1)(n+2)(n+3)=____. 1 21 2 1 61 6 1 241 24 【 思維教練 】 觀察等式右邊存在一組有規(guī)律的因式： n(n+1)， n(n+1)(n+2)， n(n+1)(n+2)(n+3)， ，因式項(xiàng)依次多加一項(xiàng)； 其系數(shù)的規(guī)律是第 n個(gè)等式的系數(shù)是上一
3、個(gè)等式的系數(shù)乘 ， 由此可推出所求式子結(jié)果 . 1 1n 【 解析 】 觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)等式的右邊系數(shù) 為 =1 ，因式為 n(n+1)；第二個(gè)等式的右邊系數(shù)為 = ，因式為 n(n+1)(n+2)；第三個(gè)等式的右邊系數(shù) 為 = ，因式為 n(n+1)(n+2)(n+3)，所以第四個(gè)等 式的右邊系數(shù)為 = ，因式為 n(n+1)(n+2) (n+3) (n+4)，結(jié)果為 . 1 2 1 6 1 6 1 24 1 24 1 2 1 2 1 3 1 4
4、 1 5 1 120 1 1 2 3 4120 n n n n n 1 1 2 3 4120 n n n n n 【 答案 】 滿 分 技 法 數(shù)式規(guī)律探索主要有以下 3類： 1.數(shù)字規(guī)律探索： （ 1）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然 數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)數(shù)列經(jīng)過(guò) 平方、平方加 1或減 1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù) 字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn) 一種符號(hào)，如果是交替出現(xiàn)的可用 (-1)n或 (-1)n-1表示數(shù)字 的符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來(lái)從而得到 結(jié)果；
5、 （ 2）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時(shí)候，先把這組數(shù)據(jù) 的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù) 字規(guī)律（其方法同（ 1）），從而得出分子和分母的規(guī) 律，最后得到該組第 n項(xiàng)的規(guī)律 . 2.數(shù)陣規(guī)律探索： 此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對(duì)是對(duì)應(yīng)的，設(shè)問(wèn)方式有已 知有序數(shù)對(duì)求數(shù)值和表示某個(gè)數(shù)值的有序數(shù)對(duì)，本質(zhì)上 講，這兩種方式是相同的 .此類型題的解決方法有： （ 1）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：每行的個(gè)數(shù)； 每列的個(gè)數(shù)；相鄰數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，并且觀察是否某 一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如完全平方 數(shù)，正整數(shù)）等； （ 2）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列
6、數(shù)的 關(guān)系； （ 3）使用中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)（ 2） 中的性質(zhì)定位，求得答案 . 3.等式規(guī)律探索： 第一步：標(biāo)序數(shù)； 第二步：對(duì)比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與 序數(shù)（ 1， 2， 3， 4， ， n）之間的關(guān)系，把其蘊(yùn)含的規(guī) 律用含序數(shù)的式子表示出來(lái) .通常方法是將式子進(jìn)行拆分， 觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系； 第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第 n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn) . 類型二 圖形規(guī)律 一、圖形累加規(guī)律探索 典例精講 例 3（ 2016山西 ）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊 長(zhǎng)相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰
7、影，依 此規(guī)律，第 n個(gè)圖案中有 個(gè)涂有陰影的小正方形（用 含有 n的代數(shù)式表示） . 例 3題圖 【 思維教練 】 觀察圖形，易知后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多 4個(gè)涂有陰影的小正方形，依此規(guī)律即可求出第 n個(gè)圖案中 涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù) . 【 解析 】 4n+1 序數(shù) 1 2 3 n 涂陰影的小 正方形個(gè)數(shù) 5 9 13 圖形之間的 變化規(guī)律 5 5+4 1 5+4 2 5+4（ n-1） 4n+1 【 答案 】 滿 分 技 法 解答圖形累加規(guī)律探索的方法： 第一步 ,寫序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“ 1， 2， 3， ， n
8、” 第二步 ,數(shù)圖形個(gè)數(shù)：在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記出每組圖 形的表示個(gè)數(shù)； 第三步 ,尋找圖形數(shù)量與序數(shù) n的關(guān)系：針對(duì)尋找第 n個(gè)圖 形表示的數(shù)量時(shí)，先將后一個(gè)圖形的表示個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖 形的個(gè)數(shù)進(jìn)行比對(duì)，通常作差來(lái)觀察是否有恒定量的變化， 然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個(gè)圖形的個(gè)數(shù)； 第四步 ,驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確 . 二、圖形成倍遞變規(guī)律探索 典例精講 例 4（ 2011省卷 10， 4分 ）如圖，將一個(gè)正六邊形各邊 延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形 AFBDCE，它的面積為 1， 取 ABC和 DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如圖中陰影部分；取
9、 A1B1C1和 D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2， 如圖中陰影部分；如此下去 ，則正六角星形 AnFnBnDnCnEn的面積為 ________. 例 4題圖 【 思維教練 】 要得到第 n個(gè)正六角星形的面積，通過(guò)觀 察前一個(gè)正六角星形與后一個(gè)正六角星形之間的面積關(guān) 系，由于前后兩個(gè)正六角星形相似，可根據(jù)相似圖形面 積之比等于相似比的平方得到面積關(guān)系，找出規(guī)律即可 . 【 解析 】 很容易知道正六角星形 A1F1B1D1C1E1與正六角星 形 AFBDCE相似，且相似比是 1 2，所以它們的面積比為 1 4，同理，正六角星形 A2F2B2D2C2E2與
10、正六角星形 A1F1B1D1C1E1也相似，且相似比是 1 2，所以它們的面積 比為 1 4，由這些規(guī)律得正六角星形 AnFnBnDnCnEn的面積 為 1 ( )n= . 14 14n 【 答案 】 14n 滿 分 技 法 圖形成倍遞變規(guī)律探索的常考類型有： 1.點(diǎn)坐標(biāo)成倍遞變： （ 1）根據(jù)圖形的變換規(guī)律分別求出第 1個(gè)點(diǎn)，第 2個(gè)點(diǎn)， 第 3個(gè)點(diǎn)，第 4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，歸納出后一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與前 一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在的倍分關(guān)系； （ 2）根據(jù)（ 1）中得到的倍分關(guān)系，得到第 M個(gè)點(diǎn)坐標(biāo) . 2.線段（面積）成倍遞變 : 已知一個(gè)幾何圖形的邊長(zhǎng)（面積），通過(guò)遞推確定
11、第 M 次變換后的圖形的邊長(zhǎng)（面積） . （ 1）根據(jù)題意可得出第一次變換前的邊長(zhǎng)（面積） 為 b； （ 2）通過(guò)計(jì)算得到第一次變換后的邊長(zhǎng)（面積）， 第二次變換后的邊長(zhǎng)（面積），第三次變換后的邊長(zhǎng) （面積），第四次變換后的邊長(zhǎng)（面積），歸納出后 一個(gè)邊長(zhǎng)（面積）與前一個(gè)邊長(zhǎng)（面積）之間存在的 倍分關(guān)系是 n； （ 3）第 M次變換后，求得線段的長(zhǎng)度（面積）為 nMb. 三、圖形循環(huán)規(guī)律探索 典例精講 例 5如圖，彈性小球從點(diǎn) P（ 0， 3）出 發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到 矩形 OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射 角等于入射角，當(dāng)小球第 1次碰到矩 形的邊時(shí)
12、的點(diǎn)為 P1，第 2次碰到矩形 的邊時(shí)的點(diǎn)為 P2， ，第 n次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為 Pn， 則點(diǎn) P3的坐標(biāo)是 _____，點(diǎn) P2016的坐標(biāo)是 _____. 例 5題圖 【 思維教練 】 要確定點(diǎn) P3的坐標(biāo)，可根據(jù)入射角與反射角 的定義作出圖形，依次確定 P1,P2，進(jìn)而得到 P3的坐標(biāo)， 繼續(xù)作圖，可知每 6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，根據(jù) 循環(huán)規(guī)律即可確定 P2016的坐標(biāo) . 【 解析 】 如解圖，經(jīng)過(guò) 6次反彈后小球回到出發(fā)點(diǎn) P（ 0， 3），當(dāng)點(diǎn) P第 3次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn) P3的坐標(biāo)為（ 8， 3）， 2016 6 336， 當(dāng)點(diǎn) P第 2016次碰到矩形的邊
13、 時(shí)為第 336個(gè)循環(huán)組的第 6次反彈，此時(shí)，點(diǎn) P2016的坐標(biāo) 為（ 0， 3） . 例 5題解圖 （ 8， 3），（ 0， 3） 【 答案 】 滿 分 技 法 圖形循環(huán)規(guī)律探索主要考查類型有 3種： 1.點(diǎn)坐標(biāo)變換在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化，求第 M個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)； 2.圖形循環(huán)變換類，求經(jīng)過(guò) M次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)或 圖形； 3.幾何圖形循環(huán)旋轉(zhuǎn)變換，通過(guò) M次變換后，求起始點(diǎn) 到終點(diǎn)的線段長(zhǎng) . 對(duì)于此類問(wèn)題，一般解題思路為： 先觀察點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）變化的規(guī)律是順時(shí)針（逆時(shí) 針）循環(huán)交替出現(xiàn)，找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為 n； 用 M n=W q（ 0q n)，則第 M次變換后的點(diǎn) 坐標(biāo)（圖形）就是一個(gè)循環(huán)變換中第 q次變化對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），或存在一定的倍分關(guān)系； 根據(jù)題意找出第 q次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）， 即可推斷出第 M個(gè)（次）變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖 形） .
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