2019-2020年高二上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué) 含答案.doc

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2019-2020年高二上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué) 含答案 (滿分160分，考試時(shí)間120分鐘) 一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．） 1．命題“”的否定是______命題．（填“真”或“假”之一）． 2．雙曲線的兩條漸近線的方程為 ． 3．“”是“直線和直線垂直的” 條件．(填“充要條件”、“ 充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“既不充分也不必要條件”之一) 4．已知函數(shù)，則= 　 ?。? 5．若拋物線的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則的值為 ． 6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 7． 若函數(shù)在處取得極大值，則正數(shù)的取值范圍是　 ． 8． 若中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的圓錐曲線，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，則曲線的方程為 ． 9．在平面直角坐標(biāo)系中，記曲線在處的切線為直線.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則的值為 ． 10．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是 ． 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝9，直線l：y＝kx＋3與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，M為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ． 12．雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).若，則雙曲線的漸近線方程為 . 13．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．．若存在實(shí)數(shù)，使得．且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　 ?。? 14．設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　 ?。? 二、解答題（本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 15．（本小題滿分14分） 已知命題：函數(shù)在上有極值，命題：雙曲線的離心率．若是真命題，是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 16．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，． （1）求的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)． 17．（本小題滿分14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)，． （1）若直線平行于，與圓相交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程； y x O B A C （2）在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由． 18．（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，與軸平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)且分別與直線、垂直的直線相交于點(diǎn)．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程； （3）求面積的最大值． 19．（本小題滿分16分） 如圖所示，有一塊矩形空地，km，=km，根據(jù)周邊環(huán)境及地形實(shí)際，當(dāng)?shù)卣?guī)劃在該空地內(nèi)建一個(gè)箏形商業(yè)區(qū)，箏形的頂點(diǎn)為商業(yè)區(qū)的四個(gè)入口，其中入口在邊上（不包含頂點(diǎn)），入口分別在邊上，且滿足點(diǎn)恰好關(guān)于直線對(duì)稱，矩形內(nèi)箏形外的區(qū)域均為綠化區(qū). （1）請(qǐng)確定入口的選址范圍； （2）設(shè)商業(yè)區(qū)的面積為，綠化區(qū)的面積為，商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)為，則入口如何選址可使得該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？ 20．（本小題滿分16分） 設(shè)函數(shù). （1）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)的值； （2）若函數(shù)在上的最大值為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的值； （3）若關(guān)于的方程有且僅有唯一的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 參考答案： 1.假 2. 3. 充分不必要 4. 5. 1 6. 7. （0，2） 8． 9. -3或-4 10．　 11．1－，＋∞) 12. 13. 12，3]． 14.解：當(dāng)x≥2a時(shí)，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a，此時(shí)為增函數(shù)， 當(dāng)x＜2a時(shí)，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a，此時(shí)為減函數(shù)， 即當(dāng)x=2a時(shí)，函數(shù)取得最小值0， 設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)為M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2））， 由圖象知，當(dāng)兩個(gè)切線垂直時(shí)，必有，x1＜2a＜x2， 即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1， ∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1?（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1， 則ex1+x2=1，即x1+x2=0， ∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a， ∴2a＜1，解得a＜， 綜上﹣＜a＜， 故答案為：（﹣，）． 15.解：命題p：f′（x）=3x2+2ax+a+， ∵函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上有極值， ∴f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根， ∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0， 解得a＞4或a＜﹣1； 命題q：雙曲線的離心率e∈（1，2），為真命題， 則∈（1，2），解得0＜a＜15． ∵命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題， ∴p與q必然一真一假， 則或， 解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1． 16. 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是； 在處取得極小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為. 因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而. 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且， 所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，， 所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題. 17.． （2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則， ， 即，即， ………………………………10分 因?yàn)?，…………………………………?2分 所以圓與圓相交， 所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．…………………………………………………………14分 18. 解：（1）由題意得，， 解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………4分 （2）設(shè)，顯然直線的斜率都存在，設(shè)為 ，則，， 所以直線的方程為：， 消去得，化簡(jiǎn)得， 故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)． ……10分 （3）由（2）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 又， 所以，則， 所以點(diǎn)到直線的距離為， 將代入得， 所以面積 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故時(shí)，面積的最大值為． ……16分 19．解：（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)（），則AF的中點(diǎn)為，斜率為， 而，故的斜率為， 則的方程為， 令，得； ………2分 令，得； … …4分 由，得， ， 即入口的選址需滿足的長(zhǎng)度范圍是（單位：km）.……6分 （2）因?yàn)椋? 故該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)， ……9分 所以要使最大，只需最小. 設(shè) ……10分 則 令，得或（舍）， ………12分 的情況如下表： 1 0 減 極小 增 故當(dāng)，即入口滿足km時(shí)，該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)最大16分 20．解：（1），, 設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則 …………2分 消去，得，故，得 ………4分 （2） ①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增， 則，得,舍去; ……………5分 ②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減， 則，得,舍去; ………6分 ③當(dāng)時(shí)，由，得；由，得， 故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則，得, ……8分 設(shè),則 當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增， 故,的解為. 綜上①②③，. ……………10分 （3）方程可化為 ， 令，故原方程可化為，………12分 由（2）可知在上單調(diào)遞增，故有且僅有唯一實(shí)數(shù)根， 即方程（※）在上有且僅有唯一實(shí)數(shù)根， ……………13分 ①當(dāng)，即時(shí)，方程（※）的實(shí)數(shù)根為，滿足題意； ②當(dāng)，即時(shí)，方程（※）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記為不妨設(shè) Ⅰ）若代入方程（※）得，得或， 當(dāng)時(shí)方程（※）的兩根為，符合題意； 當(dāng)時(shí)方程（※）的兩根為，不合題意，舍去； Ⅱ）若設(shè)，則，得； 綜合①②，實(shí)數(shù)的取值范圍為或. …………16分