高中數(shù)學(xué)《1.1.2四種命題間的相互關(guān)系》課件 新人教A版選修2-1.ppt

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3、把下列命題改寫成“若p,則q”的形式，并判斷它們的真假.,（1）等腰三角形兩腰的中線相等； （2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； （3）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形，則三角形兩邊上的中線相等。這是真命題。,(2)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，這是真命題。,(3)若兩個(gè)平面垂直于同一平面，則這兩個(gè)平面互相平行。這是假命題。,命題及其關(guān)系,1.1.2 四種命題,下列四個(gè)命題中，命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)； 若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)； 若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)。,觀察命題(1)與命題(2)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；,互逆命題：一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，這兩個(gè)命題叫做互逆命題。 原 命 題：其中一個(gè)命題叫做原命題。 逆 命 題：另一個(gè)命題叫做原命題的逆命題。,即 原命題:若p,則q,逆命題:若q,則p,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是“兩直線平行，同位角相等”。,觀察命題(1)與命題(3)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 3. 若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).,原命題:若p,則q,為書寫簡(jiǎn)便,常把條件p的否定和結(jié)論q的否定分別記作 “┐p” “┐q”,否命題:若┐p,則┐q,互否命題 原命題 (原命題的)否命題,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的否命題是“同位角不相等，兩直線不平行”。,觀察命題(1)與命題(4)的條件和結(jié)論 之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 4. 若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù).,原命題: 若p, 則q,逆否命題: 若┐q, 則┐p,互為逆否命題 原命題 (原命題的)逆否命題,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題是“兩直線不平行，同位角不相等”。,２、互否命題：如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論是第二個(gè)命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的否命題。,３、互為逆否命題：如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是第二個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。,１、互逆命題：如果第一個(gè)命題的條件（或題設(shè)）是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆命題。,三個(gè)概念,原命題,逆命題,否命題,逆否命題,四種命題形式: 原命題: 逆命題: 否命題: 逆否命題:,若 p, 則 q 若 q, 則 p 若┐p, 則┐q 若┐q, 則┐p,例 設(shè)原命題是“當(dāng)c 0 時(shí)，若a b ，則ac bc ”，寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷它們的真假：,解： 逆命題：當(dāng)c 0 時(shí)，若ac bc ，則a b． 逆命題為真．,否命題：當(dāng)c 0 時(shí)，若a ≤b ，則ac ≤ bc ． 否命題為真．,逆否命題：當(dāng)c 0 時(shí)，若ac ≤ bc ，則a ≤b ． 逆否命題為真．,準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是非常重要的，下面是一些常見的結(jié)論的否定形式.,不是,不都是,小于或等于,大于或等于,一個(gè)也沒有,至少有兩個(gè),至多有（n-1)個(gè),至少有（n+1)個(gè),存在某x， 不成立,存在某x， 成立,練習(xí)：分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。,（1）若q1,則方程 有實(shí)根。 （2）若ab=0,則a=0或b=0.,判斷正誤,并說明理由:,(1)若原命題是“對(duì)頂角相等”, 它的否命題是“對(duì)頂角不相等”。 (2)若原命題是“對(duì)頂角相等”, 它的否命題是“不成對(duì)頂關(guān)系的 兩個(gè)角不相等”。,否命題與命題的否定的區(qū)別,否命題是用否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。 命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”作用于判斷,只否定結(jié)論不否定條件。 對(duì)于原命題: 若 p , 則 q 有 否命題: 若┐p , 則┐q 。 命題的否定: 若 p ，則┐q 。,1.1.３ 四種命題間的相互關(guān)系,,,,,,,互 逆,互 逆,互 否,互 否,互為 逆否,互為 逆否,四種命題之間的相互關(guān)系,四種命題間的相互關(guān)系,例1 “若x2+y2≠0，則x，y至少有一個(gè)不為0”是命題A的否命題，寫出命題A及其逆命題、逆否命題并判斷它們的真假。,解： 命題A:若x2+y2=0，則x，y全都為0； 逆命題：若x，y全都為0，則x2+y2=0； 逆否命題：若x，y至少有一個(gè)不為0，則x2+y2≠0。,思考：,四種命題的真假性是否也有一定的相互關(guān)系呢？,真,真,真,探究一,原命題：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),都在這個(gè)角的平分線上.,逆命題:角的平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊距離相等.,否命題:到一個(gè)角的兩邊距離不相等的點(diǎn),都不在這個(gè)角的平分線上.,逆否命題:不在這個(gè)角的平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊距離不相等.,原命題 (真) 逆命題 (真) 否命題 (真) 逆否命題 (真),真,真,真,真,探究二,原命題：若兩個(gè)三角形全等,則它們的面積相等.,逆命題:若兩個(gè)三角形的面積相等,則它們?nèi)?,否命題:若兩個(gè)三角形不全等,則它們的面積不相等.,逆否命題:若兩個(gè)三角形的面積不相等,則它們不全等.,原命題 (真) 逆命題 (假) 否命題 (假) 逆否命題 (真),真,真,假,假,探究三,原命題：若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角,逆命題: 若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等.,否命題: 若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角.,逆否命題: 若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則兩個(gè)角不相等.,原命題 (假) 逆命題 (真) 否命題 (真) 逆否命題 (假),假,假,真,真,探究四,原命題：凡是素?cái)?shù)，都是奇數(shù).,逆命題: 凡是奇數(shù)，都是素?cái)?shù).,否命題: 不是素?cái)?shù)，就不是奇數(shù).,逆否命題: 不是奇數(shù)，就不是素?cái)?shù).,原命題 (假) 逆命題 (假) 否命題 (假) 逆否命題 (假),假,假,假,假,一般的，四種命題的真假性，有且僅有以下四種情況：,四種命題的真假性之間的關(guān)系：,兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； 兩個(gè)命題為互逆或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.,例2 證明：若x2+y2=0，則x=y=0.,證明：若x，y中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)x≠0，則x2＞0，所以 x2+y2 ＞0， 也就是說x2+y2 ≠0. 因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為 真命題,因?yàn)樵}和它的逆否命題有相同的真假性，所以當(dāng)直接證明某一命題為真命題有困難的時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接證明原命題為真命題。,P8 習(xí)題1.1 B組 求證：圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。,已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑. 求證：弦AB、CD不被P平分. 證明：假設(shè)AB、CD被P平分， 則OP是等腰△AOB, △COD的底邊上的中線， 所以，OP⊥AB, OP⊥CD 但AB和CD都經(jīng)過點(diǎn)P,且與OP 垂直，這是不可能的， 所以假設(shè)不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命題得證。,,,,,連結(jié)OA,OB,OC,OD及OP,,-,反證法,欲證“若p則q”為真命題，從否定其結(jié)論即“非q”出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而“非q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱為反證法。,反證法的步驟： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立； (2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾； (3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確,證明命題的方法,方法一：直接法，從命題的條件p出發(fā)，經(jīng)推理直接得出結(jié)論p，證明其為真命題；,方法二：等價(jià)法，證明命題（若p，則q）的等價(jià)命題——逆否命題（若┐q，則┐q）為真，則原命題也為真；,方法三：反證法，證明命題的否定（若p，則┐q）為假命題，從而間接地證明了命題（若p，則q）為真命題。,鞏固練習(xí) 證明：若p＋q＞2，則p2＋q2≠2.,證明一：要證“若p＋q＞2，則p2＋q2≠2” 只需證它的逆否命題“若p2＋q2＝2，則p＋q≤2”成立。 ∵p2＋q2=2，則2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2 ∴逆否命題為真命題， 故原命題也為真命題。 證明二：假設(shè)p2＋q2=2，則2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2，這與命題的條件p＋q＞2相矛盾， ∴假設(shè)不成立，即p2＋q2≠2， 故原命題為真命題。,（同題多解，學(xué)會(huì)等價(jià)法與反證法地靈活應(yīng)用）,一些常見的結(jié)論的否定形式,不是,不都是,小于或等于,大于或等于,一個(gè)也沒有,至少有兩個(gè),至多有（n-1)個(gè),至少有（n+1)個(gè),不等于,某個(gè),小結(jié),1.四種命題間的相互關(guān)系； 2.四種命題的真假性之間的關(guān)系； 3.命題的證明方法。,