高中數(shù)學(xué) 3.2.1-3.2.2兩角差的余弦函數(shù) 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)課件 北師大版必修4.ppt

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§2 兩角和與差的三角函數(shù) 2.1 兩角差的余弦函數(shù) 2.2 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù),兩角和與差的正弦、余弦函數(shù),sin αcos β-cos αsin β,cos αcos β+sin αsin β,sin αcos β+cos αsin β,cos αcos β-sin αsin β,1.判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩角和與差的正弦，余弦公式中角α，β是任意的.( ) (2)存在實(shí)數(shù)α,β，使cos(α+β)=cos α-cos β成立.( ) (3)cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( ) (4)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立.( ),【解析】(1)正確.對(duì)于任意的α，β公式都成立. (2)正確.當(dāng)α=β= 時(shí)成立. (3)錯(cuò)誤.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (4)錯(cuò)誤.當(dāng)α=0,β∈R，或者α∈R,β=0時(shí)成立. 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°=________. (2)sin 56°cos 34°+cos 56°sin 34°=_________. (3) =__________. (4) =_________.,【解析】(1)原式=cos(65°-35°)=cos 30°= 答案： (2)原式=sin(56°+34°)=sin 90°=1. 答案：1,(3)原式= = = = 答案： (4)原式= 答案：0,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 兩角和與差的正弦、余弦公式 1.公式的記憶 (1)對(duì)于兩角和與差的余弦公式Cα±β可以簡(jiǎn)記為：“余余正正，和差相反”. (2)對(duì)于兩角和與差的正弦公式Sα±β可以簡(jiǎn)記為：“正余余正，和差相同”.,2.公式的適用條件 公式中的α，β不僅可以是任意具體的角，也可以是一個(gè)“團(tuán) 體”，如 中的“ ”相當(dāng)于公式中的角 “α”，“ ”相當(dāng)于公式中的角“β”.因此對(duì)公式的 理解要注意結(jié)構(gòu)形式，而不要局限于具體的角.,3.公式的作用 (1)正用：把sin(α±β),cos(α±β)從左向右展開. (2)逆用：公式的右邊化簡(jiǎn)成左邊的形式.當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時(shí)，要用相關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用. (3)變形應(yīng)用：它涉及兩個(gè)方面，一是公式本身的變用；二是角的變用，也稱為角的拆分變換，如β=(α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β).,【知識(shí)拓展】輔助角公式及其運(yùn)用 公式asin α+bcos α= sin(α+φ)(或asin α+ bcos α= cos(α-φ))將形如asin α+bcos α(a,b不 同時(shí)為零)的三角函數(shù)式收縮為一個(gè)角的一種三角函數(shù)式，這 樣做有利于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的常用 工具. 化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形 后角α的系數(shù)為正，更有利于函數(shù)的性質(zhì)的研究.,【微思考】 (1)兩角和與差的正弦、余弦公式與誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系？ 提示：和差角公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差角公式 的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0× cos α-1×sin α=-sin α.當(dāng)α或β中有一個(gè)角是 的整數(shù) 倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便. (2)逆用公式的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是利用相關(guān)三角變換公式使其滿足公式右邊的結(jié)構(gòu) 特征.,【即時(shí)練】 1. =( ) 2.計(jì)算：cos 165°=_________. 3.計(jì)算：(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin (-α). (2)sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°.,【解析】1.選B. = = = 2.cos 165°=cos(45°+120°)= cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120° = 答案：,3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= (2)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+ sin(90°-13°)cos(90°-32°) =sin 13°cos 32°+cos 13°sin 32° =sin(13°+32°)=sin 45°=,【題型示范】 類型一 給值(式)求值 【典例1】 (1)(2014·天津高一檢測(cè))若α是銳角, 則cos α 的值等于( ) (2)(2014·西安高一檢測(cè))已知α，β∈ sin(α+β) = 求 的值.,【解題探究】1.題(1)中如何用α- 表示α？ 2.題(2)中角α+ 與已知α+β,β- 兩角有什么關(guān)系? 【探究提示】1.α= 2.,【自主解答】(1)選A.因?yàn)棣翞殇J角，即0＜α＜ 所以 又因?yàn)?所以 所以 = =,(2)因?yàn)棣?，β? 所以 ＜α+β＜2π, 又因?yàn)?所以cos(α+β)= 所以 =,【延伸探究】若題(2)的條件不變，如何求cos α的值? 【解析】由題(2)解析知 又 所以 所以 =,【方法技巧】給值(式)求值的策略 (1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已 知角”的和或差的形式. (2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已 知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成 “已知角”. 如已知角 -α的相關(guān)三角函數(shù)值，那么要求角 +α的三角 函數(shù)值，就可以利用 變換得到.,(3)角的拆分方法不唯一. 如α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β), α= [(α+β)+(α-β)],α= [(β+α)-(β-α)]等. 至于運(yùn)用哪種拆分方法，要根據(jù)題目合理選擇.,【變式訓(xùn)練】(2014·廣東高考)已知函數(shù)f(x)= 且 (1)求A的值. (2)若 【解題指南】第(1)問屬于給角求值問題，第(2)問則可利用兩 角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.,【解析】(1)由 可得 (2)f(θ)+f(－θ)= 則 因?yàn)? 所以 =,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·亳州高一檢測(cè))若sin α-sin β= cos α-cos β= 則cos(α-β)的值是( ) 【解析】選B.因?yàn)閟in α-sin β= cos α-cos β 所以(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2= 所以2-2(cos αcos β+sin αsin β)=2- 所以cos αcos β+sin αsin β= 即cos (α-β)=,類型二 知值求角 【典例2】 (1)(2014·漢中高一檢測(cè))已知α，β均為銳角，sin α= cos β= 則α-β的值為__________. (2)已知cos(α-β)= cos(α+β)= 且α-β∈ α+β∈ 求cos 2α，cos 2β及角β的值.,【解題探究】1.題(1)中求α-β的值的思路是什么？ 2.題(2)中，如何用已知角表示待求角？ 【探究提示】 1.先求出sin(α-β)或cos(α-β)，再由條件確定α-β的范圍，從而求得α-β. 2.2α=(α-β)+(α+β)， 2β=(α+β)-(α-β).,【自主解答】(1)因?yàn)棣粒戮鶠殇J角， 所以 因?yàn)閟in α＜sin β,所以α＜β， 所以- ＜α-β＜0, 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β = 所以α-β= - . 答案：-,(2)由α-β∈ 且cos(α-β)= 得sin(α-β)= 由α+β∈ 且cos(α+β)= 得sin(α+β)= 所以cos 2α=cos［(α+β)+(α-β)］ =cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β),cos 2β=cos ［(α+β)-(α-β)］ =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 又因?yàn)?所以2β=π，則β= .,【方法技巧】 1.知值求角的步驟 (1)首先考慮界定角的范圍.根據(jù)條件確定所求角的范圍.有時(shí) 需要根據(jù)已知條件把角度的范圍縮小. (2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在上述范 圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).如角的范圍是［0，π］時(shí)取余弦更方便 些；而角的范圍是 時(shí)，則取正弦更方便. (3)求角.結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.,2.知值求角的注意點(diǎn) 一是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù). 二是要注意盡量用已知角表示待求角.,【變式訓(xùn)練】若sin α= cos(α+β)= 且α，β是 銳角，則β=__________ . 【【解題】指南】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出cos α = sin(α+β )= 由cos β=cos［(α+β)-α］ =cos(α+β)cos α+sin (α+β)sin α ,進(jìn)而求出結(jié)果.,【解析】由sin α= cos(α+β)= 且α，β是銳 角，求得cos α= sin(α+β )= 所以cos β=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+ sin (α+β)sin α= ，所以β= . 答案:,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a=(cos α,sin β)，b=(cos β,sin α),0 ＜β＜α＜ ，且a·b= ，求證：α= +β. 【證明】a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)= , 又0＜β＜α＜ ，所以0＜α-β＜ , 所以α-β= ，即α= +β.,類型三 輔助角公式的應(yīng)用 【典例3】 (1) 的值是( ) (2)(2014·濟(jì)南高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=(1+ tan x)·cos x的 最小正周期為( ),【解題探究】1.如何將asin α+bcos α轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)角的三角 函數(shù)式？ 2.求f(x)的最小正周期的關(guān)鍵是什么？ 【解題提示】1.方法是提取 ，增設(shè)輔助角，逆用 Sα±β與Cα±β公式，特別注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響， 如acos α+bsin α= sin(α+φ)，其中tan φ= 2.關(guān)鍵是利用三角變換公式將f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式.,【自主解答】(1)選A. = (2)選A.f(x)= = = 所以最小正周期T= =2π.,【延伸探究】若題(2)中函數(shù)f(x)變?yōu)椤癴(x)= ”，則最小正周期如何？ 【解析】f(x)= = = 所以最小正周期,【方法技巧】asin x+bcos x的化簡(jiǎn)步驟 (1)提常數(shù)，即把a(bǔ)sin x+bcos x提出 得到 (2)定角度，由 我們不妨設(shè)cos θ= 則得到 (cos θsin x+ sin θcos x). (3)化簡(jiǎn)，逆用兩角和的正弦公式可得asin x+bcos x= sin(x+θ).,【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：(tan 10°－ )· ＝_______. 【解題指南】把 化成tan 60°，同時(shí)化切為弦.,【解析】(tan 10°－ )· ＝(tan 10°－tan 60°)· ＝ ＝ ＝ 答案：-2,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·蚌埠高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)= +1- (x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期. (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.,【解析】(1)由f(x)= = = 所以最小正周期T= =π.,(2)當(dāng)f(x)取最大值時(shí)， 有2x- =2kπ+ ，即 x=kπ+ (k∈Z). 故當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)x的集合為 {x|x=kπ+ (k∈Z)}.,【易錯(cuò)誤區(qū)】求角過程中因選擇三角函數(shù)不當(dāng)或用錯(cuò)公式而致 誤 【典例】(2014·西安高一檢測(cè))設(shè)α，β為鈍角，且sin α= 則α+β的值為( ),【解析】選C.由α，β為鈍角，即α，β∈ 且 得 所以 cos(α+β)①=cos αcos β-sin αsin β= 又α，β∈ 所以α+β∈(π，2π), 因此α+β=,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.準(zhǔn)確選擇三角函數(shù) 求角的題目往往先求角的一個(gè)三角函數(shù)值，選擇求哪個(gè)三角函 數(shù)值非常重要，要先根據(jù)已知條件確定角的范圍，選擇不當(dāng)會(huì) 產(chǎn)生增根,如本例如果選擇正弦就會(huì)出現(xiàn)增根 2.正確利用公式準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算 確定好三角函數(shù)后，要正確利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算，如本例 要正確利用兩角和的余弦公式求得cos(α+β)的值.,【類題試解】(2013·新余高一檢測(cè))已知0＜α＜ ＜β＜ π，sin α= cos(α-β)= 則β的值為________. 【解析】因?yàn)?α ,sin α= 所以cos α= 因?yàn)閏os(α-β)= 又 ＜β＜π,所以-π＜-β＜- , α-β∈(-π，0)， 所以sin(α-β)= 所以cos β=cos［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+ sin αsin(α-β)= 所以 答案：,