高中數(shù)學(xué) 3.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課件 北師大版必修4.ppt

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第三章 三角恒等變形 §1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,sin2α+cos2α=1,1.判一判 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)任意角α， 都成立.( ) (2)對(duì)任意角α，sin α2+cos α2=1都成立.( ) (3)對(duì)任意角α， 都成立.( ) (4)對(duì)任意角α，β，sin2α+cos2β=1都成立.( ),【解析】(1)正確.當(dāng)α∈R時(shí)， 都成立. (2)錯(cuò)誤.當(dāng)α∈R時(shí)，sin α2與sin2α的含義不同，且當(dāng)α為 角度制時(shí)α2無(wú)意義，即sin α2無(wú)意義. (3)錯(cuò)誤,當(dāng)2α≠kπ+ ,k∈Z，即α≠ k∈Z時(shí)，才成 立. (4)錯(cuò)誤,必須是對(duì)同一個(gè)角. 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上) (1)sin225°+cos225°=_______. (2) =_______. (3) =_______. (4)tan 135°·cos 135°=_______.,【解析】(1)sin225°+cos225°=1. 答案：1 (2) 答案: (3) 答案：,(4)tan 135°·cos 135°= ·cos 135°=sin 135° =sin(180°-45°)=sin 45°= 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 1.適用的前提條件 必須在等式兩邊的角均有意義的前提下才能使用，如式子 不成立.,2.對(duì)“同角”的理解 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù) 的運(yùn)算規(guī)律，這里，“同角”有兩層含義:一是“角相同”如 與 ,2α與2α都是同角,二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù) 有意義的前提下).關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān),如 3.應(yīng)用平方關(guān)系的注意點(diǎn) 在應(yīng)用平方關(guān)系式求sin α或cos α?xí)r,其正負(fù)號(hào)是由角α所 在的象限決定的,不可憑空想象.,4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系的常用等價(jià)變形 (1)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. (2)sin α=cos αtan α, (3) (4),【微思考】 (1)利用平方關(guān)系求sin α或cos α是否會(huì)得到正負(fù)兩個(gè)值？請(qǐng)說(shuō)明理由. 提示：不一定，其正負(fù)號(hào)由角α所在的象限決定. (2)由tan α的值求sin α與cos α的關(guān)鍵是什么？ 提示：由商數(shù)關(guān)系與平方關(guān)系構(gòu)造關(guān)于sin α與cos α的方程組求解.,【即時(shí)練】 1.(2014·南昌高一檢測(cè))已知sin α= 且α為第二象限的 角，則tan α=( ) 2.已知tan α=2，求cos α的值．,【解析】1.選A.因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵?所以,2.由tan α＝2知 sin α=2cos α，則sin2α=4cos2α.又因?yàn)閟in2α+cos2α=1， 所以4cos2α+cos2α=1，即cos2α= 又tan α=2＞0,α是第一或第三象限的角, 若α是第一象限的角，則cos α＞0, 所以cos α=,若α是第三象限的角，則cos α= 綜上可知：若α是第一象限的角，則cos α= 若α是第三象限的角，則cos α=,【題型示范】 類(lèi)型一 利用同角關(guān)系求三角函數(shù)式的值 【典例1】 (1)已知cos αsin α= 則cos α-sin α的值等于( ) (2)(2014·天津高一檢測(cè))已知tan α= 計(jì)算:,【解題探究】1.題(1)中cos α-sin α與cos αsin α之間的關(guān)系是什么？ 2.題(2)中所求的式子能否轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子，方法是什么？ 【探究提示】 1.(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α. 2.能轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子，方法是分子、分母同時(shí)除以cos α或cos2α.,【自主解答】(1)選B.因?yàn)閏os αsin α= 所以cos α-sin α= (2)① ② =,【延伸探究】若題(2)②中“ ”，則 tan α的值如何？ 【解析】因?yàn)?= 由已知得 即tan2α-2tan α=0. 解得tan α=0或2. 經(jīng)檢驗(yàn)知，均符合要求，所以tan α=0或2.,【方法技巧】 1.關(guān)于sin α，cos α的齊次式的求值策略 (1)關(guān)于sin α，cos α的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sin α，cos α的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子，分母同除以cos α的n次冪，其式子可化為關(guān)于tan α的式子，再代入求值. (2)若無(wú)分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α+cos2α來(lái)代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tan α的式子，再代入求值.,2.利用sin α±cos α與sin αcos α間的關(guān)系求值 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. 對(duì)sin α-cos α,sin α+cos α,sin αcos α可以“知一求二”.,【變式訓(xùn)練】已知sin θ+cos θ= (0＜θ＜π), 求sin θ·cos θ和sin θ-cos θ的值. 【解析】因?yàn)閟in θ+cos θ= (0＜θ＜π), 所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ= 所以sin θcos θ=,由上知，θ為第二象限的角， 所以sin θ-cos θ＞0, 所以sin θ-cos θ= =,【誤區(qū)警示】本題解題時(shí)易忽視sin θcos θ＜0,sin θ- cos θ的符號(hào)為正，而誤為應(yīng)取正負(fù)，從而造成錯(cuò)解.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知tan θ+ =3，求tan2θ+(sin θ- cos θ)2+ 的值. 【解析】由 即 所以sin θ·cos θ= 所以原式= -2+(1-2sin θcos θ)=32-2+1-,類(lèi)型二 利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式 【典例2】 (1)(2014·安慶高一檢測(cè))函數(shù) ( ) A.在 上遞增 B.在 上遞增，在 上遞減 C.在 上遞減 D.在 上遞減，在 上遞增,(2)化簡(jiǎn)下列各式. ① ②(2014·西安高一檢測(cè)) 其中α為第三 象限角.,【解題探究】1.題(1)中研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性關(guān)鍵是什么？ 2.化簡(jiǎn)含有弦、切及根號(hào)的三角函數(shù)式的一般思路是什么？ 【探究提示】1.關(guān)鍵是將f(x)化簡(jiǎn)到tan x的形式. 2.一般思路是切化弦,做到函數(shù)名稱統(tǒng)一及根據(jù)平方關(guān)系去掉根號(hào)，再化簡(jiǎn).,【自主解答】(1)選D.在區(qū)間 上，f(x)= 所以其在 上遞增，在 上遞減.,(2)① ②因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵?1＜sin α＜0,-1＜cos α＜ 0，1+sin α＞0,1-sin α＞0. 則,【方法技巧】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的三種常用技巧 (1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的. (2)對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的. (3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.,【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)： =__________. 【解題指南】把1-2sin 10°cos 10°配湊成(cos 10°- sin 10°)2即可開(kāi)方. 【解析】 答案:-1,【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：cos4α+sin2α(1+cos2α). 【解析】原式=cos4α+sin2αcos2α+sin2α =cos2α(cos2α+sin2α)+sin2α =cos2α+sin2α=1.,類(lèi)型三 利用同角關(guān)系證明三角恒等式 【典例3】 (1)求證： (2)(2013·安康高一檢測(cè))求證： 【解題探究】1.題(1)中，sin α,cos α與tan α共存，一般用到哪個(gè)關(guān)系式？ 2.對(duì)于題(2)，左右兩邊差異是什么？如何消除差異？,【探究提示】 1.一般會(huì)用到 2.差異有兩點(diǎn)，一是函數(shù)名稱，二是式子形式，可通過(guò)切化弦或者弦化切來(lái)消除差異.,【自主解答】(1)左邊= = = =右邊， 所以原式成立.,(2)方法一：右邊= = = =3-2cos2α=左邊， 所以原式得證.,方法二：左邊= = =右邊， 所以原式得證.,【方法技巧】 1.利用同角關(guān)系證明三角恒等式常用的途徑 (1)由左邊推至右邊，或由右邊推至左邊，遵循的是化繁為簡(jiǎn) 的原則. (2)兩邊夾法，即左邊=A，右邊=A，則左邊=右邊，這里的A起 著橋梁的作用. (3)左邊-右邊=0，或 =1，通過(guò)作差或作商，將原式轉(zhuǎn)化 為一個(gè)等價(jià)的、更便于證明的等式.,2.證明過(guò)程中的三個(gè)注意 (1)注意化繁為簡(jiǎn)，化切為弦. (2)注意公式的變式運(yùn)用.如1±2sin αcos α=(sin α± cos α)2等. (3)注意為分式運(yùn)算時(shí)，要把握通分的時(shí)機(jī)，不要隨意通分，爭(zhēng)取在變式化簡(jiǎn)時(shí)往同分母的方向化簡(jiǎn).,【變式訓(xùn)練】求證： 【解題指南】由于等式兩邊的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，可考慮分別將等式 兩邊化簡(jiǎn)，利用“兩邊夾法”證明.,【證明】左邊= 右邊= 左邊=右邊，原式得證.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sin2A+cos2Asin2Bcos2C=sin2B.求證：tan2A=sin2Ctan2B. 【證明】由已知sin2A+cos2A·sin2B·cos2C=sin2B， 則sin2A+cos2Asin2B(1-sin2C)=sin2B， 所以sin2A+cos2Asin2B-cos2A·sin2B·sin2C=sin2B， cos2Asin2B·sin2C=sin2A-sin2B(1-cos2A)， 即：cos2A·sin2B·sin2C=sin2A·cos2B， 兩邊同除以cos2A·cos2B得 tan2A=sin2C·tan2B.,【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視角的范圍定錯(cuò)符號(hào)而致誤 【典例】(2014·合肥高一檢測(cè))已知sin α+cos α= α∈(0，π)，則tan α=________.,【解析】將等式sin α+cos α= 兩邊平方，得2sinαcosα = ＜0,又因?yàn)棣痢?0,π)，所以sin α＞0,cos α＜0， α∈ 可得1-2sin αcos α= ?sin2α+cos2α-2sin αcos α= 所以(sin α-cos α)2= 即sin α-cos α= 由sin α+cos α= 和sin α-cos α= 解得,所以 答案：,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 1.挖掘好題設(shè)條件，限制準(zhǔn)角的范圍 對(duì)題目的條件要認(rèn)真分析，找出隱含條件，根據(jù)所給角的范圍結(jié)合函數(shù)值正負(fù)，壓縮角的范圍是定準(zhǔn)符號(hào)的關(guān)鍵. 2.公式要記牢，運(yùn)算要準(zhǔn)確 要掌握好同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，能熟練地進(jìn)行平方關(guān)系的轉(zhuǎn)換，及利用商數(shù)關(guān)系求正切.,【類(lèi)題試解】已知sin α+cos α= 其中0＜α＜π,則 sin α-cos α=________. 【解析】因?yàn)閟in α+cos α= 所以(sin α+cos α)2= 所以1+2sin αcos α= 所以sin αcos α= 因?yàn)?＜α＜π且sin αcos α＜0,所以sin α＞0,cos α＜0, 所以sin α-cos α＞0. 又因?yàn)?sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= 所以sin α- cos α= 答案：,