高中數(shù)學(xué) 3.3.1二倍角的三角函數(shù)（一）課件 北師大版必修4.ppt

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§3 二倍角的三角函數(shù)(一),二倍角公式及其變形,sinαcosβ+cosαsinβ,2sinαcosα,cosαcosβ-sinαsinβ,2cos2α-1,1-2sin2α,1．判一判 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)sin 2α=2sin α.( ) (2)cos 2α=sin2α-cos2α.( ) (3)tan 2α= 對(duì)任意的α都成立.( ) (4)sin2α= ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.因?yàn)閟in 2α=2sin αcos α. (2)錯(cuò)誤.因?yàn)閏os 2α=cos2α-sin2α. (3)錯(cuò)誤.因?yàn)? (k∈Z)時(shí)公式不成立. (4)錯(cuò)誤.因?yàn)閟in2α= 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)sin 15°cos 15°=_______. (2)cos215°-sin215°=________. (3) =________.,【解析】(1)sin 15°cos 15°= sin 30°= ． 答案： (2)cos215°-sin215°=cos 30°= ． 答案： (3)原式= tan 45°= . 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 正弦、余弦、正切的二倍角公式 1.對(duì)二倍角中“倍”的說明 (1)“倍”具有廣泛的涵義.例如，2α是α的二倍角，同樣 地，4α是2α的二倍角，2nα是2n-1α的二倍角，α是 的二 倍角，3α是 的二倍角等. (2)在具體應(yīng)用中可先對(duì)角進(jìn)行觀察，尋求待求的角與已知角 之間的差異，再?zèng)Q定用哪種“倍”的關(guān)系.,2.二倍角的應(yīng)用 (1)直接應(yīng)用公式進(jìn)行升冪、配方、開方、求值化簡證明等運(yùn)算.,(2)變形應(yīng)用公式主要體現(xiàn)在化異角為同角、化異次為同次、 逆用公式等方面，其中二倍角的余弦公式最靈活.如：①1+ cos 2α=2cos2α；②cos2α= ③1-cos 2α= 2sin2α；④sin2α= 不僅僅是逆用，更重要的是體 現(xiàn)了冪指數(shù)的變化，其中①③是從一次冪向二次冪轉(zhuǎn)換，因此 把它們稱為升冪公式，②④則是從二次冪向一次冪轉(zhuǎn)換，因此 把它們稱為降冪公式.,【微思考】 (1)公式S2α，C2α，T2α的適用范圍是否相同？ 提示：公式S2α，C2α中角α可以是任意角，但公式T2α只有當(dāng) α≠ ＋kπ及 α≠ (k∈Z)時(shí)才成立，否則不成立． (2)逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是將待化簡的三角函數(shù)式化到公式右邊所滿足的結(jié) 構(gòu)，再逆用公式．,【即時(shí)練】 求值：(1) =__________. (2)1－2sin2750°=__________. (3)tan 150°+ =__________.,【解析】(1)原式= = 答案： (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋ 60°)＝cos 60°＝ . 答案：,(3)原式= = = 答案：,【題型示范】 類型一 用二倍角公式解決給值求值問題 【典例1】 (1)(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知sin 2α= 則 =( ),(2)(2013·四川高考)設(shè)sin 2α=-sin α，α∈ 則 tan 2α的值是_________． (3)已知 0＜x＜ ，求 的值．,【解題探究】1.題(1)中如何將 化簡? 2.題(2)中求tan 2α的關(guān)鍵是什么? 3.題(3)中cos 2x， 如何用 -x的三角函數(shù)值表示?,【探究提示】1.利用降冪公式得 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=,【自主解答】(1)選A.因?yàn)?所以 選A. (2)根據(jù)題意sin 2α=-sin α，可得2sin αcos α= －sin α，可得cos α=－ ，tan α=－ ，所以tan 2α = 答案：,(3)因?yàn)閤∈ 所以 又因?yàn)?所以 又cos 2x＝ ＝ ＝ 所以原式＝,【延伸探究】把第(3)題的條件改為 x∈ 求sin 4x. 【解析】因?yàn)?＝ ＝ ＝ 所以cos 2x＝ .,因?yàn)閤∈ 所以2x∈(π，2π)， 所以sin 2x＝ 所以sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝,【方法技巧】 1.用二倍角公式求解給值求值問題的常用策略 (1)當(dāng)已知和待求式含有三角函數(shù)的平方式時(shí)，需先降冪，再求解. (2)先探尋到已知和待求式中角的倍、單關(guān)系，再正用或逆用二倍角公式求解. (3)當(dāng)式子中涉及的角較多時(shí)，要探尋其間的關(guān)系，化異角為同角.,2. ±x與2x的關(guān)系 當(dāng)遇到 ±x這樣的角時(shí)可利用角的互余關(guān)系和誘導(dǎo)公式溝通 條件與結(jié)論,如cos 2x＝ ＝ 類似這樣的變換還有：,【變式訓(xùn)練】(2014·江蘇高考)已知 (1)求 的值. (2)求 的值.,【解析】(1)由題意cos α= 所以 = (2)sin 2α=2sin αcos α= cos 2α=2cos2α－1= 所以 =,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知 (1)求tan α的值. (2)求 的值.,【解析】(1) = 解得tan α= (2) =,類型二 利用二倍角公式化簡與證明 【典例2】 (1)設(shè)α≠kπ+ ，k∈Z，求證： (2)(2014·西安高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=2asin x·cos x-2bsin2x+b(a,b為常數(shù)，且a＜0)的圖像過點(diǎn)(0,3)，且函數(shù)f(x)的最大值為2.求函數(shù)y=f(x)的解析式，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間.,【解題探究】 1.證明三角恒等式應(yīng)遵循什么樣的原則? 2.題(2)中如何將f(x)化為一個(gè)角的三角函數(shù)式. 【探究提示】 1.應(yīng)本著“異名化同名，復(fù)角化單角”的原則. 2.先逆用二倍角及降冪公式，再用輔助角公式.,【解析】(1)左邊= = = = =右邊. 所以,(2)f(x)=asin 2x+bcos 2x, 由f(0)= ,得b= . 又由 =2及a0,解得a=-1. 所以函數(shù)y=f(x)的解析式是f(x)=-sin 2x+ cos 2x = 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (k∈Z).,【方法技巧】 1.化簡三角函數(shù)式的策略 一般地，三角函數(shù)式的化簡要從減少角的種類，減少函數(shù)的種類，改變函數(shù)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)入手，通過切化弦、弦化切、異角化同角、高次降冪、分解因式、逆用公式等手段，使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡形式.,2.證明三角恒等式的原則與步驟 (1)觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想. (2)證明恒等式的一般步驟是：先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異,然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”、變換式子結(jié)構(gòu)“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明的目的.,【變式訓(xùn)練】求證： 【證明】要證 只需證,上式：左邊= = =右邊. 所以原等式成立.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡：sin3αsin 3α+cos3αcos 3α. 【解題指南】先利用變形公式sin2α= 和cos2α= 降冪，再整合化簡，注意公式的逆用和變形用.,【解析】原式=sin2αsin αsin 3α+cos2αcos αcos 3α = sin αsin 3α+ cos αcos 3α = (cos αcos 3α+sin αsin 3α)+ cos 2α· (cos 3αcos α-sin 3αsin α) = cos(α-3α)+ cos 2αcos(3α+α) = cos 2α+ cos 2αcos 4α = cos 2α(1+cos 4α) = cos 2α·2cos22α =cos32α.,拓展類型 利用對(duì)偶式化簡求值 【備選例題】 1.計(jì)算：cos 72°cos 36°=________. 2.計(jì)算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=________.,【解析】1.方法一：cos 72°cos 36° = = = 方法二：令x=cos 72°cos 36°，y=sin 72°sin 36°， 則xy=sin 72°cos 72°sin 36°cos 36° = sin 144°sin 72°, 故 答案：,2.因?yàn)閟in 10°＝cos 80°,sin 50°＝cos 40°, sin 70°＝cos 20°， 所以原式＝ cos 80°cos 40°cos 20°,答案：,【方法技巧】 1.對(duì)偶式的概念 在三角學(xué)上，如果把某個(gè)三角式中的角的位置轉(zhuǎn)化為同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的對(duì)偶式.這兩個(gè)式子互為對(duì)偶式. 2.對(duì)偶式的應(yīng)用 在化簡求值或證明一些三角問題時(shí)，如果能靈活地運(yùn)用對(duì)偶的數(shù)學(xué)思想，合理地構(gòu)造出對(duì)偶式，并對(duì)原式和對(duì)偶式進(jìn)行和、差或積的計(jì)算，則可以使問題得到巧妙解決.,【易錯(cuò)誤區(qū)】利用二倍角公式及其變形求值過程中忽視角的范 圍致誤 【典例】(2014·榆林高一檢測(cè))已知sin(2α-β)= sin β = 則sin α=_______.,【解析】因?yàn)?所以π＜2α＜2π,0＜-β＜ , 所以π2α-β . 由 得2π＜2α-β＜ ，① 所以cos(2α-β)= 因?yàn)? β0， 由sin β= 得cos β=,所以cos 2α=cos ［(2α-β)+β］ =cos(2α-β)·cos β-sin(2α-β)·sin β = 由cos 2α＝1-2sin2α,得sin2α＝ 又 ＜α＜π②，所以sin α= 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.審題問題 已知條件角度的認(rèn)識(shí)不到位，不能夠結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)， 將已知角的范圍進(jìn)一步縮小，在本例中求得sin(2α-β)= ＞ 0,可以將2α-β的角度進(jìn)行再縮小，得2π＜2α-β＜ 就可以輕松求解其余弦.,2.技巧問題 熟練將所求角與已知角聯(lián)系，建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.本例 在求解過程中要求cos 2α，所以需要構(gòu)造角度，即cos 2α= cos ［(2α-β)+β］，這需要結(jié)合已知條件進(jìn)行分析求解.,【類題試解】sin α+cos α= 0＜α＜π，則sin 2α= ________，cos 2α=_________. 【解析】sin α+cos α= ,0＜α＜π，則α∈ 又sin α+cos α= 兩邊平方得1+sin 2α= , sin 2α= 因?yàn)?α∈ 所以cos 2α= 答案：,