線面垂直及面面垂直典型例題

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1、 線面垂直與面面垂直 基礎(chǔ)要點(diǎn) 線面垂直 面面垂直 線線垂直 、若直線與平面所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是（ B ） A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上結(jié)論都不正確 、在斜三棱柱,,又,過作⊥底面ABC，垂足為H ，則H一定在（ B ） A、直線AC上 B、直線AB上 C、直線BC上 D、△ABC的內(nèi)部 、如圖示，平面⊥平面，與兩平面所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為，則（

2、 A ） A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3 、如圖示，直三棱柱中，, DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△周長的最小值是　　　　　 5.已知長方體中，, 若棱AB上存在點(diǎn)P，使得,則棱AD長 的取值范圍是 。 題型一：直線、平面垂直的應(yīng)用 1.（2014，江蘇卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn). 已知. 求證：(1) ；(2) . 證明： (1) 因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥PA. 又因?yàn)镻A ? 平面DEF，DE 平面DEF， 所以直線PA∥平面D

3、EF. (2) 因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因 DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90，即DE丄EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因?yàn)锳C∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. 2. (2014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，、分別為、的中點(diǎn). （1）求證：平面平面；（2）求證：平面. 證明：（1）在三棱柱中， . (2)取AB的中點(diǎn)

4、G，連接EG，F(xiàn)G 、分別為、的中點(diǎn), , ,則四邊形為平行四邊形， . 3．如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面．求證． 分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．． 證明：在平面內(nèi)作，交于．因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，平面，且，所以．又因?yàn)槠矫妫谑怯孝伲硗馄矫?，平面，所以．由①②及，可知平面．因?yàn)槠矫妫裕? 說明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直． 4.　過點(diǎn)引三條不共面的直線、、，如圖，，，若截取

5、 (1)求證：平面平面； (2)求到平面的距離． 分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線． (1)證明：∵， 又， ∴和都是等邊三角形， ∴， 取的中點(diǎn)，連結(jié)，∴． 在中，，∴，， ∴，∴． 在中，∴，，， ∴，∴，∴平面． ∵平面，∴平面平面． 或：∵，∴頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心， 又為，∴在斜邊上， 又為等腰直角三角形，∴為的中點(diǎn)， ∴平面．∵平面，∴平面平面． (2)解：由前所證：，，∴平面， ∴的長即為點(diǎn)到

6、平面的距離，， ∴點(diǎn)到平面的距離為． 、如圖示，ABCD為長方形，SA垂直于ABCD所在平面，過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G，求證：AE⊥SB,AG⊥SD 6.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為的菱形，，M是PB中點(diǎn)。 (1)求證：PACD (2)求證：平面PAB平面CDM 7.在多面體ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。 (1)求證：AE//平面BCD； (2)求證：平面BED平面BCD

7、 題型二、空間角的問題 1.如圖示，在正四棱柱中，，E為上使的點(diǎn)，平面交于F，交的延長線于G，求： （1）異面直線AD與所成的角的大小 （2）二面角的正弦值 2.如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大小． 分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解． 解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，．再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影．由三垂線定理的逆定理，，為二面角的平面角． 設(shè)，在中，,

8、在△中， , 是銳角，,即二面角等于． 說明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線． 3.　正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)．求二面角的大?。? 分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個(gè)平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用．在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到垂直于平面，在平面上的射影就是．再過作的垂線，則面，過作的垂線，即為

9、所求二面角的平面角了． 解：過作及的垂線，垂足分別是、，連結(jié)． ∵面，面， ∴，又，∴面． 又∵，∴，∴為所求二面角的平面角． ∵∽，∴． 而，，，∴． 在中，．∵，∴． 在中，，在中，， ∴． 4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分別是AB、CD和PC的中點(diǎn)， （１）求證：MN∥平面PAD （２）若二面角P－DC－A為，求證:平面MND⊥平面PDC 5.已知正方體中，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)， （1）求證：⊥BD (2) 當(dāng)E恰為棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面⊥平面 （3）在棱上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，可以使二面角的大小為？如果存在，試確定E在棱上的位置；如果不存在，請說明理由。 題型三、探索性、開放型問題 1.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O。設(shè)平面ABCD，EC//PA,且PA=2。問當(dāng)CE為多少時(shí)，PO平面BED。 2.已知△ABC中，,AB⊥平面BCD，,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且 （1）求證：不論為何值，總有平面BEF⊥平面ABC （2）當(dāng)為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD?