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1、二次曲面的簡(jiǎn)單介紹 第五節(jié) 曲面與曲線 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二次曲面 第 八 章 二次曲面 三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程 , 下面僅 就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法 其基本類型有 : 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面 的圖形通常為 二次曲面 . F z xE y xD x yCzByAx 222 0 JIzHyGx (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 橢球面 ),,(12 2 2 2 2 2 為正數(shù)cbaczbyax (1)范圍
2、： czbyax ,, (2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓 , 0 12 2 2 2 z b y a x , 0 12 2 2 2 x c z b y 0 12 2 2 2 y c z a x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 G 12 2 2 2 2 2 czbyax 與 )( 11 czzz 的交線為 1zz (4) 當(dāng) a b 時(shí)為 旋轉(zhuǎn)橢球面 ; 同樣 )( 11 byyy 的截痕 及 也為橢圓 . 當(dāng) a b c時(shí)為 球面 . (3) 截痕 : 1 )()( 212 2 2 1 2 2 2 2 2 2 zc y zc
3、 x c b c a cba ,,( 為正數(shù) ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 橢圓： 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 橢圓的三維立體圖形 G XY YZ ZX C1 C2 C3 2. 拋物面 zqypx 22 22 (1) 橢圓拋物面 ( p , q 同號(hào) ) 特別 ,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 雙曲拋物面（鞍形曲面） zqypx 22 22 ( p , q 同號(hào) ) 雙曲拋物面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)
4、束 zqypx 22 22 ( p , q 同號(hào) ) 截痕法： ，得兩條相交的直線。 雙曲拋物面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zqypx 22 22 ( p , q 同號(hào) ) 截痕法： ，得一對(duì)雙曲線。 雙曲拋物面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zqypx 22 22 ( p , q 同號(hào) ) 截痕法： ，得一對(duì)反向的雙曲線。 雙曲拋物面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zqypx 22 22 ( p , q 同號(hào) ) 截痕法： ，得開(kāi)口向上的拋物線。 XY s t( ) 1 s t YZ s
5、 t( ) 0 t s z x 2 p 2 y 2 q 2 G x y( ) x y x 2 y 2 雙曲拋物面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zqypx 22 22 ( p , q 同號(hào) ) 截痕法： ，得開(kāi)口向下的拋物線。 雙曲拋物面 3. 雙曲面 (1)單葉雙曲面 by 1)1 上的截痕為平面 1zz 橢圓 . 時(shí) , 截痕為 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (實(shí)軸平行于 x 軸； 虛軸平行于 z 軸） 1yy ),,(12 2 2 2 2 2 為正數(shù)cbaczbyax 1y
6、y 平面 上的截痕情況 : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 雙曲線 : 虛軸平行于 x 軸） by 1)2 時(shí) , 截痕為 0 czax )( bby 或 by 1)3 時(shí) , 截痕為 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (實(shí)軸平行于 z 軸 ; 1yy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 相交直線 : 雙曲線 : 0 (2) 雙葉雙曲面 ),,(12 2 2 2 2 2 為正數(shù)cbaczbyax 上的截痕為平面 1yy 雙曲線 上的截痕為平面 1xx 上的截痕為平面 )( 11 czzz 橢圓 注意單葉雙曲面與雙葉
7、雙曲面的區(qū)別 : 雙曲線 z x yo 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 單葉雙曲面 1 1 雙葉雙曲面 P18 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 圖形 4. 橢圓錐面 ),(22 2 2 2 為正數(shù)bazbyax 上的截痕為在平面 tz 橢圓 在平面 x 0 或 y 0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 . z x yo 1 )()( 2 2 2 2 tb y ta x tz , 可以證明 , 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上 . (橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換 得到。 ) x y z 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束
8、 222 qzpyxz 例 1 說(shuō)明二次曲面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的類型。 解 當(dāng) p = 0,q = 0時(shí)， 2xz 是 拋物柱面 ; 當(dāng) 是 橢圓拋物面 ; 時(shí)，0,0 pq 22 pyxz 是 雙曲拋物面 ; 0p若 22 pyxz 0p若 當(dāng) 是 橢圓柱面 ; 時(shí)，0,0 qp 2 22 4 1) 2 1( aaazx 02 aq若 是 雙曲柱面 ; 0 2 aq若 2 22 4 1) 2 1( axaaz 當(dāng) 是 橢球面 ; 時(shí)，0 qp 2 222 4 1) 2 1()( bbbzayx 0,0 22 bqap若 222
9、 qzpyxz 是 單葉雙曲面 ; 2 222 4 1) 2 1()( bxbbzay 0,0 22 bqap若 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222 qzpyxz 是 雙葉雙曲面 ; 2 222 4 1) 2 1()( bbbzayx 0,0 22 bqap若 是 單葉雙曲面 ; 2 222 4 1) 2 1( bbbzayx 0,0 22 bqap若 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 2 設(shè)空間曲面由雙參數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 給出，試求出此曲面的一般表達(dá)式。 解 uz baRuuby uax 2 0,,,)( )( 由參數(shù)方程可得 ubyuax , 解出 ),(21 byaxu ).(21 byax 所以 )(21)(212 byaxbyaxz 22 )()( 2 1 b y a x 雙曲拋物面 二次曲面 三元二次方程 ),( 同號(hào)qp 橢球面 拋物面 : 橢圓拋物面 雙曲拋物面 zqypx 22 22 雙曲面 : 單葉雙曲面 2 2 2 2 b y a x 1 雙葉雙曲面 2 2 2 2 b y a x 1 橢圓錐面 : 22 2 2 2 z b y a x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小結(jié)：
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