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1、數(shù)學(xué) 第 19講 矩形、菱形與正方形 遼寧專用 命題點 1 矩形的性質(zhì)與判定 1 ( 20 16 營口 6 題 3 分 ) 如圖 ， 矩形 ABC D 的對角線交于點 O ， 若 AC B 30 ， AB 2 ， 則 OC 的長為 ( ) A 2 B 3 C 2 3 D 4 2 ( 2015 丹東 7 題 3 分 ) 過矩形 ABCD 的對角線 AC 的中點 O 作 EF AC ， 交 BC 邊于點 E ， 交 AD 邊于點 F ， 分別連接 AE 、 C F . 若 AB 3 ， DCF 30 ， 則 EF 的長為 ( ) A 2
2、 B 3 C . 3 2 D . 3 A A 3 ( 2 016 葫蘆島 16 題 3 分 ) 如圖 ， 四邊形 O ABC 為矩形 ， 點 A ， C 分別在 x 軸和 y 軸上 ， 連接 AC ， 點 B 的坐 標為 ( 4 ， 3 ) ， C A O 的平分線 與 y 軸相交于點 D ， 則點 D 的坐標為 _ _ ___ __ (0， 43) 4 (2016朝陽 14題 3分 )如圖 ， 在平面直角坐標系中 ， 矩形 ABCO的邊 OC， OA分別在 x軸、 y軸上 ， 點 E在邊 BC上 ， 將該矩形沿 AE折疊 ， 點 B 恰好落在邊 OC上的 F處若 OA 8，
3、CF 4， 則點 E的坐標是 __________ ( 10， 3) 5 (2014葫蘆島 20題 8分 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， 點 D(不與 點 B重合 )在 BC上 ， 點 E是 AB的中點 ， 過點 A作 AF BC交 DE延長線于點 F， 連接 AD， BF. (1)求證： AEF BED； (2)若 BD CD， 求證：四邊形 AFBD是矩形 證明： ( 1) AF BC ， AF E E DB ， E 為 AB 的中點 ， EA EB ， 在 AE F 和 BED 中 ， AF E E DB EA EB B
4、ED A EF ， AE F BED ； (2) AEF BED， AF BD， AF BD， 四邊形 AFBD是平行四邊形 ， AB AC， BD CD， AD BD， 四邊形 AFBD是矩形 命題點 2 菱形的性質(zhì)與判定 1 (2015沈陽 7題 3分 )順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點 ， 所 形成的四邊形是 ( ) A 平行四邊形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 2 (2016大連 13題 3分 )如圖 ， 在菱形 ABCD中 ， AB 5， AC 8， 則 菱形的面積是 ___ 3 (2015丹東 14題 3分 )在菱形
5、 ABCD中 ， 對角線 AC， BD的長分別是 6 和 8， 則菱形的周長是 ____ B 24 20 4 (2016沈陽 19題 8分 )如圖 ， ABC ABD， 點 E在邊 AB上 ， CE BD， 連接 DE.求證： (1) CEB CBE； (2)四邊形 BCED是菱形 證明： (1) ABC ABD， ABC ABD， CE BD， CEB DBE， CEB CBE； (2) ABC ABD， BC BD， CEB CBE， CE CB， CE BD CE BD， 四邊形 BCED是平行四邊形 ， BC BD，
6、四邊形 BCED是菱形 5 (2016撫順 20題 12分 )如圖 ， AE BF， AC平分 BAE， 且交 BF于 點 C， BD平分 ABF， 且交 AE于點 D， AC與 BD相交于點 O， 連接 CD. (1)求 AOD的度數(shù)； (2)求證：四邊形 ABCD是菱形 (1) 解： AE BF ， BAE ABF 180 ， AC 平分 BAD ， BD 平分 ABC ， BA O 1 2 BAE ， ABO 1 2 ABC ， AOD BAO A BO 1 2 BAE 1 2 ABC 1 2 180 90
7、 ； (2)證明： AE BF， DAC ACB， AC平分 BAD， BAC DAC， ACB BAC， AB BC， 同理可證： AB AD， AD BC， 又 AD BC， 四邊形 ABCD是平行四邊形 ， AB BC， 四邊形 ABCD是菱形 6 (2015鐵嶺 20題 12分 )如圖 ， 在矩形 ABCD中 ， AB 8， AD 6， 點 E、 F分別在邊 CD、 AB上 (1)若 DE BF， 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形； (2)若四邊形 AFCE是菱形 ， 求菱形 AFCE的周長 (1)證明： 四邊形 ABCD
8、為矩形 ， AB CD， AB CD， DE BF， AF CE， AF CE， 四邊形 AFCE是平行四邊形； (2) 解： 四邊形 AF CE 是菱形 ， AE CE ， 設(shè) DE x ， 則 AE 6 2 x 2 ， CE 8 x ， 則 6 2 x 2 8 x ， 解得： x 7 4 ， 則菱形的邊長為： 8 7 4 25 4 ， 菱形周長為： 4 25 4 25 ， 故菱形 AF C E 的周長為 25. 命題點 3 正方形的性質(zhì)與判定 1 ( 2014 鞍山 8 題 3 分 ) 如圖 ， 在正方形紙片 ABC D 中
9、 ， 對角線 AC 、 BD 交于點 O ， 折疊正方形紙片 ABC D ， 使 AD 落在 BD 上 ， 點 A 恰好 與 BD 上的 F 重合展開后 ， 折痕 DE 分別交 AB ， AC 于點 E ， G. 連接 GF . 下列結(jié)論中錯誤的是 ( ) A A GE 67.5 B 四邊形 A EFG 是菱形 C BE 2OF D S DOG S 四邊形 OG EF 2 1 D 2 (2015鐵嶺 12題 3分 )在平面直角坐標系中 ， 正方形 ABCD的頂點 A、 B、 C的坐標分別為 ( 1， 1)、 ( 1， 1)、 (1， 1)， 則頂點 D的
10、坐標為 _______ 3 ( 201 6 丹東 15 題 3 分 ) 如圖 ， 正方形 ABC D 邊長為 3 ， 連接 AC ， AE 平分 C A D ， 交 BC 的延長線于點 E ， FA AE ， 交 CB 延長線于點 F ， 則 EF 的長為 ___ __ (1， 1) 6 2 4 (2016撫順 17題 3分 )如圖 ， 點 B的坐標為 (4， 4)， 作 BA x軸 ， BC y軸 ， 垂足分別為 A、 C， 點 D為線段 OA的中點 ， 點 P從點 A出發(fā) ， 在線段 AB， BC上沿 ABC 運動 ， 當 OP CD時 ， 點 P的坐標為 __________
11、______ (4， 2)或 (2， 4) 5 (2016阜新 21題 10分 )如圖 ， 在正方形 ABCD中 ， 點 E為對角線 AC上 的一點 ， 連接 BE、 DE. (1)如圖 ， 求證： BCE DCE； (2)如圖 ， 延長 BE交直線 CD于交點 F， G在直線 AB上 ， 且 FG FB. 求證： DE FG； 已知正方形 ABCD的邊長為 2， 若點 E在對角線 AC上移動 ， 當 BFG 為等邊三角形時 ， 求線段 DE的長 (直接寫出結(jié)果 ， 不必寫出解答過程 ) (1)證明： ABCD是正方形 ， AB BC AD， ABC 90 AC
12、B 45 ， 同理 ， ACD 45 ， ACD ACB， 又 BC CD， CE CE， BCE DCE； ( 2 ) ABC D 是正方形 ， AB CD ， D FG FG B ， C FB FBG ， FG FB ， F GB FBG ， D FG CFB ， 設(shè) DE ， FG 交于點 O ， 則 FDO FBC ， F OD FCB 90 ， DE FG ； 解： 2 3 2. 【例 1 】 ( 2016 威海 ) 如圖 ， 在矩形 AB CD 中 ， AB 4 ， BC 6 ， 點
13、 E 為 BC 的中點 ， 將 AB E 沿 AE 折疊 ， 使點 B 落在矩形內(nèi)點 F 處 ， 連 接 CF ， 則 CF 的長為 ( ) A . 9 5 B . 12 5 C . 16 5 D . 18 5 D 【 分析 】 連接 BF， 構(gòu)造 BCF， 根據(jù)已知條件易求得 AE的長 ， 在 Rt ABE中 ， 利用面積公式求出 BM的長 ， 由折疊的性質(zhì)知 EF BE且 BE EC， 根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 BCF是直角三角形 ， 最 后由勾股定理即可求解 【 方法指導(dǎo) 】 與矩形有關(guān)的計算： (1)若題目中涉及矩形的折疊 ， 要注 意折疊前后對應(yīng)線段
14、相等 ， 即被折疊的角折疊之后在任何位置依舊是直 角； (2)矩形四個角都是直角 ， 則想到將所求或涉及的線段放在直角三角形 中 ， 即常用到勾股定理 ， 特殊角三角函數(shù)的計算； (3)常結(jié)合矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì) ， 故可根據(jù)矩形對角線的 關(guān)系應(yīng)用全等三角形的判定或等腰三角形的性質(zhì)進行求解 對應(yīng)訓(xùn)練 1 如圖 ， 四邊形 ABCD的對角線互相平分 ， 要使它成為矩形 ， 那么 需要添加的條件是 ( ) A AB CD B AD BC C AB BC D AC BD D 2 ( 2 016 蘇州改編 ) 矩形 OA B C 在平面直角坐標系中的位置如圖所 示 ， 點
15、B 的坐標為 (3 ， 4 ) ， D 是 OA 的中點 ， 點 E 在 AB 上 ， 當 C DE 的周長最小時 ， 點 E 的坐標為 _ ___ ___ (3， 43) 【例 2 】 如圖 ， 菱形 AB CD 中 ， 點 O 是對角線 AC 的三等分點 ， 連接 OB 、 OD ， 且 OB OC O D. 已知 AC 3 ， 那么菱形的邊長為 ( ) A . 3 B 2 C . 5 1 2 D . 3 2 【分析】 由菱形的性質(zhì)易得 CAB A CB ， 根據(jù)已知條件得 OB OC 1 3 AC ， 由等腰三角形的性質(zhì)得 BOC ABC ， 根
16、據(jù)對應(yīng)邊成比 例列比例式即可求出菱形的邊長 A 【 方法指導(dǎo) 】 1.菱形判定的一般思路：首先判定四邊形是平行四邊形 ， 然后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等 ， 來判定是菱形 ， 這是判定菱形的最 基本思路 ， 同時也可以考慮其他判定方法 ， 例如若能判定對角線垂直即 可應(yīng)用對角線來判定； 2 應(yīng)用菱形性質(zhì)計算的一般思路：菱形四邊相等；菱形對角線相互垂 直：常借助勾股定理和銳角三角函數(shù)來求線段的長 ， 有一個角為 60 的 菱形 ， 60 所對的對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形也可以根 據(jù)菱形既是軸對稱圖形 ， 又是中心對稱圖形 ， 結(jié)合它的對稱性得出一些 結(jié)論 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (201
17、6遵義 )如圖 ， 在 ABCD中 ， 對角線 AC與 BD交于點 O， 若增 加一個條件 ， 使 ABCD成為菱形 ， 下列給出的條件不正確的是 ( ) A AB AD B AC BD C AC BD D BAC DAC C 2 如圖 ， AE BF， AC平分 BAE， 交 BF于點 C， BD平分 ABC， 交 AE于點 D， 連接 CD. (1)求證：四邊形 ABCD是菱形； (2)若 AB 5， AC 6， 求 AE， BF之間的距離 (1)證明： AE BF， ADB DBC， DAC BCA， AC、 BD分別是 BAD、 ABC的平分線 ，
18、 DAC BAC， ABD DBC， BAC ACB， ABD ADB， AB BC， AB AD， AD BC， AD BC， 四邊形 ABCD是平行四邊形 ， AD AB， 四邊形 ABCD是菱形； (2) 解：如圖 ， 過 A 作 AM BC 于 M ， 則 AM 的長是 AE ， BF 之間 的距離 ， AC 、 BD 交于點 O ， 四邊形 AB CD 是菱形 ， AC BD ， AO OC 1 2 AC 1 2 6 3 ， AB 5 ， 在 Rt A OB 中 ， 由勾股定理得： BO 4 ， BD
19、 2BO 8 ， 菱形 ABC D 的面積為 1 2 AC BD 1 2 6 8 24 ， 四邊形 AB CD 是菱 形 ， BC AB 5 ， 5 AM 24 ， AM 24 5 ， 即 AE ， B F 之間的距離是 24 5 . 【 例 3】 如圖 ， 在正方形 ABCD中 ， E、 F分別是邊 BC、 CD上的點 ， EAF 45 ， ECF的周長為 4， 則正方形 ABCD的邊長為 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【 分析 】 將 DAF繞點 A順時針轉(zhuǎn) 90 時到 BAF位置后 ， 再根據(jù)旋 轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 EAF 45 ， 進而得出 FAE EAF， 即可 EF EC FC FC CE EF FC BC BF 4， 得出正方形邊長即可 A 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016畢節(jié) )如圖 ， 正方形 ABCD的邊長為 9， 將正方形折疊 ， 使頂 點 D落在 BC邊上的點 E處 ， 折痕為 GH.若 BE EC 2 1， 則線段 CH的長 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 2 如圖 ， 正方形 ABC D 和正方形 C EF G 中 ， 點 D 在 CG 上 ， BC 1 ， CE 3 ， H 是 AF 的中點 ， 那么 CH 的長是 ___ _ 5
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