三年級數學思維訓練.doc

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1、三年級數學思維訓練 第 1 講 找規(guī)律填圖....................................... 1 第 2 講 加減法巧算....................................... 7 第 3 講 高斯求和......................................... 15 第 4 講 找規(guī)律填數....................................... 23 第 5 講 簡單推理......................................... 29 第 6 講

2、 植樹中的學問..................................... 35 第 7 講 學會倒著想....................................... 41 第 8 講 簡單周期......................................... 49 第 9 講 填運算符號....................................... 57 第10講 神奇的一筆畫..................................... 65 第11講 有趣的數陣圖................

3、..................... 73 第12講 用平移法求周長................................... 81 第13講 和倍問題......................................... 89 第14講 乘除法巧算....................................... 98 第15講 剪剪拼拼......................................... 107 第16講 巧數線段......................................... 11

4、3 第17講 差倍問題......................................... 120 第18講 和差問題......................................... 129 第19講 年齡問題......................................... 137 第20講 盈虧問題......................................... 145 第21講 方陣問題......................................... 153 第22講 移多補少........

5、................................. 161 第23講 定義新運算....................................... 169 第24講 智巧趣題......................................... 177 綜合能力測試............................................... 183 三年級數學思維訓練 第 2 頁 第 1 講 找規(guī)律填圖 我們生活的世界是一個有規(guī)律的世界。比如，一年有四季；十二生

6、肖十二年一個輪回；太陽每天從東方升起，從西方落下……可以說，生活中有很多規(guī)律，我們要學會觀察、發(fā)現規(guī)律。 這一節(jié)，主要培養(yǎng)同學們從圖形中發(fā)現規(guī)律的能力。一般來說，如果把一些圖形排列在一起，大家可以從以下幾個方面來考慮： 1．圖形數量的變化； 2．圖形形狀、大小的變化； 3．圖形顏色、位置的變化； 4．圖形的繁簡變化。 對一些比較復雜的圖形，也可以分成幾個部分來分別考慮。 【例1】 按順序觀察下面圖形的變化規(guī)律，想想，空格處應畫什么樣的圖形? 分析 圖中“○”的個數從左到右依次增加，且每一格（第一格除外）都比前面一格多2個“○”。 〖即學即練1〗 觀察下圖中前面幾幅

7、圖形的變化規(guī)律，想一想，接下來應該怎樣畫? 【例2】 下一個應選什么圖案? （ ） 分析 仔細觀察前三幅圖，第二、三幅圖是在第一、二幅圖的基礎上順時針旋轉90得到的。 〖即學即練2〗 觀察下面圖形的變化規(guī)律，在空格處畫上所缺的圖形。 （備用圖） 【例3】 觀察下面圖形的變化規(guī)律，在“__________”處畫上合適的圖形。 分析 仔細觀察就會發(fā)現，每一橫行都有兩個基本圖形，而第三個圖形是由前面兩個基本圖形變化而來的，即將第一個圖形放在第二個圖形的正下方得到的。 〖即學即練3〗 仔細觀察下面的圖形，第三組的“?”處應填什么

8、圖形?在下面圖形中畫出來。 （備用圖） 【例4】 觀察下面給出的圖形變化，按照這種變化規(guī)律，在空格中填上應有的圖形。 分析 觀察給出的兩組圖形，發(fā)現每組圖形都是從左往右依次按順時針方向旋轉，且每旋轉一次就少一對“羽毛”。 〖即學即練4〗 下面圖形變化的規(guī)律，接下來應畫什么圖形? （備用圖） 【例5】 下面圖形中哪一個選項與眾不同? （ ） 分析 請觀察左邊白點數目與黑點數目跟右邊的白點數目之間有什么樣的運算關系。 〖即學即練5〗 下面圖形中哪一個選項與眾不同? （ ）

9、例6 下面圖形的排列順序有著一定的變化規(guī)律，請在右圖A、B、C對應處畫出相應的圖形。 【分析】 每個圖形從內、外兩部分來觀察，它們分別都是由三角形、正方形、圓形組成，并且每一橫行（或每一豎行）中沒有重復的，所以A的外部圖形是正方形，B的外部圖形是正方形，C的外部圖形是三角形。同理可知，A的內部是正方形，B的內部是三角形，C的內部是圓形。形狀確定好以后，內部圖形中分別由空白、斜線、網狀三種種組成。確定方法與確定形狀的方法相同。 〖即學即練6〗 圖中六只雞的排列有規(guī)律，請在右圖A、B、C對應處畫出相應的圖形。 能力檢測 1

10、．觀察下面圖形的變化規(guī)律，在右邊“__________”處再補上一幅圖形，使它們成為一個完整的系列。 2．根據下面圖形的變化規(guī)律，在空格處填上合適的圖形。 △ □ □ □ △ △ □ △ △ △ □ △ △ △ △ 3．根據下面圖形的變化規(guī)律，虛線方框內應填入的圖形是哪一個? （ ） 4．接下來應該怎樣畫? （備用圖） 5．根據下面圖形的變化規(guī)律，空格內應填入的圖形是哪一個? （ ） 6．下面哪個圖形與眾不同，并說出理由：_______________________________

11、_________ 7．按照下面圖形的變化規(guī)律，把空格處補充完整。 8．下列圖形中哪一個能接上第一排的三個圖形? （ ） 9．下面的圖形變化很多，請你認真仔細地觀察，畫出第九幅圖形的圖樣。 10．根據下面前三幅圖的規(guī)律，推出第四幅圖，并畫在右邊方框內。 11．你能找到下面圖形的變化規(guī)律嗎? 請按照規(guī)律在空格處畫上適當的圖形。 12．下面的前三個圖形都是由A、B、C、D（線段或圓）中的兩個組合而成，記為A※B、C※D、A※D。請在“_______”處畫出B※C表示的圖形。 13．觀察下面圖形的規(guī)律，在空格處填出圖形。 14．

12、仔細觀察下面圖形的規(guī)律，想一想“_______”處的圖形是怎樣的? 15．“_______”處的圖形該怎樣畫? 16．觀察下面圖形的規(guī)律，畫出“_______”處的圖形。 17．按照已有圖形的規(guī)律，畫出下一個圖形。 18．請在橫線上填入恰當的圖形，使整幅圖的構成具有某種規(guī)律。 （圖形畫在上面） （備用圖） 第 2 講 加減法巧算 “+”、“–”符號出現于中世紀。據說，當時酒商在售出酒后，用橫線標出酒桶里的存酒，而當桶里的酒又增加時，便用豎線把原來畫的橫線劃掉，于是就出現用以表示減少的“–”和用來表示增加的“+”。后來經過法國

13、數學家韋達的宣傳和提倡而開始普及。直到1630年，才得到大家的公認。 10個數字，幾種運算符號，構成了千變萬化的數學計算。計算要做到又快又對，關鍵在于掌握運算技巧，選用合理、靈活的計算方法。那么怎樣才能迅速達到“速”與“巧”呢? 1．湊整法。就是優(yōu)先計算可以得到整十、整百、整千的部分，從而達到巧算的目的。在湊整求和時，一定要注意，多加了要減去，少加了要加上的方法進行速算；在湊整求差時，一定要注意，多減了要加上，少減了要減去進行速算。 2．利用運算定律簡化運算。 除了加法交換律和加法結合律外，還經常用到以下性質： （1）在連減或加、減法混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著

14、運算符號“搬家”。例如：a–b–c = a–c–b，a–b + c = a + c–b；18– 5 + 2 = 18 + 2–5，符號與數要合在一起進行移動。 （2）在加、減法混合運算中，去括號時：如果括號前面是“+”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號不變；如果括號前面是“–”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號“+”變?yōu)椤皑C”，“–”變?yōu)椤?”。例如： a +（b–c）= a + b–c 7 +（5– 2）= 7 + 5–2 a–（b + c）= a–b–c 19–（4 + 10）= 19–4–10 a–（b–c）= a–b + c 42–（25–1

15、2）= 42–25 +12 （3）在加、減法混合運算中，添括號時：如果添加的括號前面是“+”號，那么括號內的數的原運算符號不變；如果添加的括號前面是“–”號，那么括號內的數的原運算符號“+”變?yōu)椤皑C”，“–”變?yōu)椤?”。例如： a + b–c = a +（b– c） 6 + 5–3 = 6 +（5–3） a–b + c = a–（b–c） 17–9 + 4 = 17–（9–4） a–b– c = a–（b + c） 25–17–3 = 25–（17 + 3） 【例1】 用簡便方法計算下面各題： （1）617 – 498 （2）512 – 3

16、04 （3）1999 + 35 （4）458 + 103 分析 觀察發(fā)現，減數498、304和加數1999、103都接近整百、整千，因此，不妨把它們都看作整百、整干。（1）把減數498看作500，多減了2，所以結果要加2。（2）把減數304看作300，少減了4，所以結果還要減4。（3）把加數1999看作2000，多加了1，所以計算的結果要減1。（4）把加數103看作100，少加了3，所以計算的結果要加3。 〖即學即練1〗 用簡便方法計算下面各題： （1）298 + 87 （2）541 + 1003 （3）318 – 199 （4）1000 – 403

17、 【例2 】 計算：33 + 54 + 18 + 57 + 82 分析 33和57可以湊成整十，18和82可以湊成整百，因此利用加法交換律，把加在一起為整十、整百的加數先加起來，然后再與其他的數相加。 〖即學即練2〗 用簡便方法計算下面各題： （1）724 + 45 + 655 + 226 （2）37 + 111 + 23 + 89 + 24 【例3】 計算：2000 – 53 – 40 – 60 – 47 分析 仔細觀察后，發(fā)現53 + 47 = 100，40 + 60 = 100．所以利用減法的性

18、質，把幾個互為“補數”的減數先加起來，再從被減數中減去。 〖即學即練3〗 用簡便方法計算下面各題： （1）213 – 86 – 114 （2）2014 – 563 – 484 – 516 – 437 【例4】 想一想，怎樣計算更加簡便。 （1）847 + 238 – 347 （2）651 – 385 + 149 分析 （1）847和減數347的尾數相同，因此，把347連同它前面的“–”號一起搬“家”。（2）65 1和1 49可以湊整，因此把149和它前面的“+”號一起搬“家”。 〖即學即練4〗 用簡便方法計算

19、下面各題： （1）456 + 376 – 256 （2）724 – 243 + 176 【例5】 先觀察，再動手計算。 （1）643 + （257 – 186） （2）3482 –（955 + 482） （3）474 –（353 – 76） 分析 （1）括號前面是“+”號，去掉括號后不變號。（2）減去幾個數的和，等于分別減去這幾個數；3482和482的尾數相同。（3）括號前面是“–”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號“–”變?yōu)椤?”。 〖即學即練5〗 用簡便方法計算下面各題： （1）456

20、 + 376 – 456 （2）327 – 99 + 73 【例6】 怎樣簡便就怎樣計算： （1）9 + 99 + 999 + 9999 （2）398 + 48 + 503 + 3999 + 93 分析 （1）把9、99、999、9999分別看作10、100、1000、10000，這樣就多加了4，所以計算結果還要減去4。（2）這些數比較接近整十、整百、整千，根據這一特征，我們就將它們按整十、整百、整千來加。最后考慮多加、少加的問題，來進行調整。 〖即學即練6〗 怎樣簡便就怎樣計算： （1）19 + 199 + 1999 + 19999

21、 （2）895 + 68 + 3001 + 397 + 59 【例7】 計算：67 + 66 + 74 + 72 + 68 + 70 + 69 + 75 + 71 分析 仔細觀察后，發(fā)現這些加數都接近于70。因此不妨把70作為基準數，全部按70來算，然后再加上或減去每個數與70的相差數。 〖即學即練7〗 怎樣簡便就怎樣計算： （1）99 + 101 + 98 + 97 + 100 + 102 + 103 + 103 【例8】 計算：（1）2467 + 285 （2）1242 – 396 分析 （1

22、）先加上300，與原式比較多加了15，然后再減去15。（2）先減去400，與原式比較多減了4，然后再加上4。 〖即學即練8〗（1）1543 + 778 （2）958 – 597 能力檢測 1．計算：（1）487 + 98 （2）748 + 1003 2．計算：（1）6211 – 202 （2）4796 – 1998 3．計算： （1）42 + 71 + 24 + 29 + 58 （2）89 + 782 + 158 + 11 4．用簡便方法計算： （1）20

23、14 – 534 – 266 – 208 （2）568 – 127 – 73 5．先觀察，再計算： （1）4356 + 1287 – 356 （2）389 – 497 + 211 （3）7342 – 3593 + 658 – 407 （4）262 + 345 + 638 + 455 + 517 6．先找規(guī)律，再汁算： （1）701 + 702 + 705 + 699 + 704 + 705 + 698 （2）998 + 997 + 1001 + 1003 + 1 7．

24、怎樣簡便就怎樣計算： （1）4253 –（253 – 158） （2）1457 –（185 + 457） 8．下面的題直接計算比較麻煩，你能想出好辦法嗎? （1）8795 – 4998 + 2994 – 3002 – 2008 （2）748 + 163 + 137 – 148 + 382 + 18 （3）647 – 139 – 347 – 61 9．計算出下面兩題嗎? 請試一試! （1）（1350 + 49 + 68）+（51 + 32 + 1650） （2）43 +（38 + 45）+（55 + 62

25、 + 57） 10．給左邊的算式找到好朋友，用線連起來。 129 + 88 ● ○ 350 – 200 + 2 276 + 103 ● ○ 276 + 100 + 3 350 – 198 ● ○ 130 + 88 – 1 430 – 207 ● ○ 430 – 200 – 7 130 – 87 ● ○ 130 – 90 + 3 11．如圖，用數字3從上到下疊羅漢，疊了10層，這10層的所有數字之和是多少? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ……

26、 12．計算： （1）5000 – 71 – 29 – 72 – 28 – 73 – 27 – 74 – 26 – 75 – 25 （2）1000 – 20 – 40 – 60 – 80 – 100 – 120 – 140 – 160 – 180 13．計算： （1）465–38 + 257–265 + 139–237 （2）2468–182 + 532 + 382–224 + 1234 14．計算： （1）173–（60–28）–（153–78）+（122–28） （2）537–（300–

27、83）+（63–53） 15．計算： （1）380–34–66–65–35 （2）479–113–58–87–42 16．計算：12 + 23–34 + 45–56 + 67–78 + 89–78 + 67–56 + 45–34 + 23 + 12 第 3 講 高斯求和 德國著名數學家高斯上小學的時候，一天，數學老師在黑板上寫下一個算式：1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =? “這么多數怎么算呀?”孩子們都傻了眼。不一會兒，小高斯拿著寫有答案的小石板走上講臺。老師一看，頓時驚訝得說不出話來一

28、小高斯的答案竟然完全正確! 你知道上面這道題小高斯是采用什么巧妙的方法計算出來的嗎? 原來，除第一個數外，每一個數與它前面的那個數的差始終等于一個不變的值，因此，兩兩搭配（1和100，2和99，3和98，…），可以搭配100 2 = 50對，并且它們的和都等于101。也就是說1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100相當于50個101 ，即5050。用一個算式表示就是：（1 + 100）（100 2）= 5050。 事實上，像1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100這樣除第一個數外，每一個數與它前面的那個數的差始終相等的一列數叫等差數列，這個不變的差

29、叫公差，等差數列中的每一個數都叫作這個等差數列的項，其中第一個數叫首項，最后一個數叫末項。 利用配對求和的方法，可以總結出等差數列的以下公式： 等差數列的和 =（首項 + 末項） 項數 2 等差數列的項數 =（末項 – 首項） 公差 + 1 首項 = 末項 – 公差（項數 – 1） 末項 = 首項 + 公差（項數 – 1） 有了這些公式，很多數學問題解答起來就很方便了。 【例1】 計算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 分析 在這個算式中，共有10個數，將和為11的兩個數兩兩配對，可配成5對（如圖）。 因此，求這10個數的

30、和可以看成是求5個（1 + 10）的和。 〖即學即練1〗 （1）計算：1 + 3 + 5 + … + 17 + 19 （2）求50以內所有偶數（包括50）的和。 【例2】 建筑工地上堆著一些鋼管（如左下圖），這些鋼管一共有多少根? 分析 要求這些鋼管有多少根，我們可以這樣想：假設另外有同樣多的鋼管，像右上圖那樣與原來的鋼管互相顛倒放置在一個槽內。這個槽內的鋼管共有8層，每層都有3 + 10 = 13（根），這樣槽內的鋼管總數就能求出。取它的一半，可知原來鋼管的總數。 〖即學即練2〗（1）下圖是一垛電線桿的側面示意圖

31、，試計算一下，圖中共有多少根電線桿? （2）有一堆按規(guī)律擺放的磚，從上往下數，第一層有1塊磚，第2層有5塊磚，第3層 有9塊磚，……一共有9層。這堆磚一共有多少塊? 【例3】 求首項為5，末項為155，公差是3的等差數列的和。 分析 已知首項、末項和公差，要求等差數列的和，我們還需要知道項數才行。項數=（末項– 首項） 公差+ 1。 〖即學即練3〗 一個有17項的等差數列，末項為117，公差為7。這個等差數列的和是多少? 【例4】 下面一列數是按照一定規(guī)律排列的：3，7，11，15，…，95，99。請問： （1）這列數中的第20個是多少?

32、（2）39是這列數中的第幾項? 分析 （1）細心觀察，這個數列是一個等差數列，第二個數比第一個數大4，第三個數比第一個數大2個4，第四個數比第一個數大3個4，……以此類推，第20個數比第一個數大（20–1）個4。 （2）同樣的道理，39比3大多少個4，用這個數加1，就可以得到39是第幾個數。 〖即學即練4〗（1）自1開始，每隔三個數數一次，得到數列1，4，7，10，……第100個數是多少? （2）某飯店的餐桌都是能坐4人的正方形，如圖①所示。當團體客人在10人以上時，飯店允許客人將餐桌拼成一長條，如圖②所示，但每張桌子不能有空位。如果

33、團體客人是22人，那么需要幾張桌子? 【例5】 計算：11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 分析 任意幾個自然數的和都等于平均數乘個數，而本題是一個等差數列，并且等差數列的項數為奇數，因此它們的平均數就是中間數51。 〖即學即練5〗 計算：11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 【例6】 如圖所示，用3根火柴擺成一個等邊三角形，用這樣的方法，按圖中所示鋪滿一個大的等邊三角形。如果這個大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那么一共放多少根火柴? 分析 觀察可知：第

34、一層為1個三角形，共用3根火柴；第二層擺了2個獨立的三角形，共用6根火柴。第三層擺了3個獨立的三角形，共用9根火柴；……以此類推，當底邊為10根火柴時，說明第10層共擺了10個獨立的三角形，共用30根火柴。 〖即學即練6〗 如圖所示是一個五邊形點陣，中心1個點為第一層，第二層每邊2個點，第三層每邊3個點，第四層每邊4個點，……以此類推，如果這個五邊形點陣共有100層，那么點陣中一共有多少個點? 能力檢測 1．下面數列中，哪些是等差數列? 如果是，請指出公差；如果不是，請說明理由。 （1）7，11，15，19，23，… __________________________

35、________ （2）8，7，6，5，4，3，2，1 __________________________________ （3）1，2，1，2，1，2，1，2，… __________________________________ （4）3，6，12，24，48，… __________________________________ （5）5，5，5，5，5，5，… __________________________________ 2．計算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 3．計

36、算：（2 + 4 + 6 + … + 2006 + 2008）–（1 + 3 + 5 + … + 2005 + 2007） 4．有一個等差數列首項為5，末項為97，公差為4，則這個等差數列的和是多少? 5．如果一個等差數列第4項為21，第8項為45，則它的第10項是多少? 6．有一個正方形空心方陣，如圖所示，則這個正方形方陣的第10層有多少個點? 7．在5和69之間插入8個數之后，使這些數成為一個等差數列，則這個等差數列的和是多少? 8．下面的算式是按一定規(guī)律排列的，

37、那么第10個算式的結果是多少? （2 + 3），（5 + 5），（8 + 7），（11 + 9），… 9．計算：1 + 2 + 3 + … + 11 + 12 + 11 + … + 3 + 2 + 1 10．有一個老式座鐘在1時整響1下，2時整響2下，3時整響3下，……，12時整響12下，而每半點鐘也響1下。這個座鐘一晝夜一共響多少下? 11．設自然數按下面的方式排列，則第20行的第一個數是幾? 1 3 6 10 15 21 28 … 2 5 9 14 20 27 … 4 8 13 19 26 … 7

38、 12 18 25 … 11 17 24 … 16 23 … … 12．如下圖，用同樣大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中正三角形頂點的個數（重合的頂點只計一次）從小到大依次為：3，6，10，15，21，…。這列數中的第9位是多少? 13．自1開始，每隔兩個數寫出一個數來得到數列：1，4，7，10，13，…。求出這個數列前100項之和。 14．5個連續(xù)自然數的和為225，求這5個數的第一個數是多少? 15．小巧讀一本課外書，第一天讀了15頁，以后每天都比前一天多讀3頁

39、，最后一天讀了36頁，剛好把書讀完。小巧一共讀了多少天? 這本課外書共有多少頁? 第 4 講 找規(guī)律填數 一對兔子每月能生一對小兔，而每對小兔在它們出生后的第三個月就能開始生小兔。如果兔子是長生不老的，由一對剛出生的小兔開始，50個月后會有多少對兔子? 你能得到答案嗎? 12586269025對! 怎么樣? 大吃一驚吧? 這是怎么算出來的呢? 其實解決上面這個問題的方法很簡單，只要先寫出前幾個月每個月有多少對兔子：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…就可以得出一列數。像這樣按照一定次序排列起來的一列數，就叫作數列。數列中的每一個數叫作這個數列

40、的項。其中，第一個數就稱為第一項，第二個數就稱為第二項，……，第n個數就稱為第n項。 數列常常是有規(guī)律的，研究數列，目的就是發(fā)現數列中數的排列規(guī)律，再根據這個規(guī)律解決實際問題。例如上面那個數列，數學家正是發(fā)現從第三項起，數列中的每一項都是它前面兩項的和這一規(guī)律，才解決了這個難題。 發(fā)現、研究一列數的排列規(guī)律，常常遵照以下步驟： 1．從相鄰兩數的和、差、積、商考慮，將和、差、積、商依次寫下來組成新的一列數，通過對這列數的變化規(guī)律的分析，從而了解原來那列數的變化規(guī)律。 2．有時要將一列數分成兩列數或三列數，分別考慮它們的變化規(guī)律。 3．對于那些分布于某些圖形中的數，它們之間的變化規(guī)律往往

41、與這些數在圖形中的特殊位置有關。這是我們解決這類題的入手點。 【例1】 觀察下面各數列的規(guī)律，在括號里填上適當的數。 （1）1，2，3，5，8，13，（ ），（ ），… （2）2，5，8，11，14，（ ），（ ），… （3）1，2，2，4，8，（ ），（ ），… （4）243，81，27，9，（ ），（ ），… 分析（1）比較相鄰兩數的和。發(fā)現任意兩個相鄰的數，它們的和都等于它們后面的那個數。（2）比較相鄰兩數的差。發(fā)現后面那個數始終比它前面那個數大3。（3）比較相鄰兩數的積。發(fā)現任意兩個相鄰的

42、數，它們的積都等于它們后面的那個數。（4）比較相鄰兩數的商，發(fā)現前面那個數始終是它后面那個數的3倍。 〖即學即練1〗 觀察下面各數列的規(guī)律，在括號里填上適當的數。 （1）4，7，10，13，（ ），（ ），22，… （2）0，2，2，4，6，10，（ ），（ ），… （3）2，4，8，16，32，64，（ ），（ ），… （4）2，1，2，2，4，8，（ ），（ ），… 【例2】 觀察下面各數列的規(guī)律，在括號里填上適當的數。 （1）81，78，74，69，63，56，（ ），（

43、 ），… （2）1，1，2，6，24，120，（ ），5040，… 分析（1）比較相鄰兩數的差（如下圖），發(fā)現它們的差是一個等差數列。 （2）比較相鄰兩數的商（如下圖），發(fā)現它們的商是一個等差數列。 〖即學即練2〗觀察下面各數列的規(guī)律，在括號里填上適當的數。 （1）2．5，11，23，47，（ ），（ ），… （2）3，4，6，9，13，18，（ ），（ ），… 【例3】 在下面方框內填上適當的數。 分析 上面一行從左往右看，依次相差4；下面一行從右往左看，依次相差2，3，…。 〖即學即練3〗

44、找規(guī)律填空： （備用圖） 例4 先找出下面?zhèn)鋽盗械呐帕幸?guī)律，再按規(guī)律填數。 （1）5，1 7，8，1 5，11，13，（ ），（ ） （2）8，2，4，8，2，8，8，2，1 6，8，2，32，（ ），（ ），（ ） 分析（1）通過觀察，我們會發(fā)現，數列中的第1、3、5、…項可以構成一個公差為3的等差數列，后面每一項都比它前面那項大3；同樣的，數列中的第2、4、6、…項也可以組成一個公差為2的等差數列。（2）將數列中的第1、4、7、10、…項，第2、5、8、11、…項，第3、6、9、12、…項分別組在一起，構成三個新的數列

45、。數列①：8，8，8，8，…；數列②：2，2，2，2，…；數列③：4，8，16，32，…?？梢园l(fā)現，數列①都是8；數列②都是2；數列③依次擴大2倍。 〖即學即練4〗 先找出下面各數列的排列規(guī)律，再按規(guī)律填數。 （1）11，3，8，3，5，3，（ ），（ ） （2）15，6．13，7，11，8，（ ），（ ），… （3）10，5，12，10，14，11，10，23，10，（ ），（ ），（ ），10，41，8，… 【例5】 觀察已給數列，在括號內填入適當的數。 （1）2，0，2，2，4，6，10，16，（ ）

46、，（ ） （2）1，2，3，4，10，19，36，（ ），（ ） 分析（1）通過觀察可以發(fā)現：從第3項開始，每-一項都等于它前面兩項的和。 （2）通過觀察可以發(fā)現：從第5項開始，每一項都等于它前面四項的和。 〖即學即練5〗 觀察已給數列，在括號內填入適當的數。 （1）1，0，1，1，2，3，5，（ ），（ ） （2）1，1，1，3，5，9，17，（ ），（ ） 【例6】 觀察下面?zhèn)漕}中數的變化規(guī)律，填入所缺的數。 分析 （1）規(guī)律一：每一橫行的一個數加起來的和相等。16 + 7 + 9 =

47、 32，11 + 15 + 6 = 32。所以空格填32 – 2 – 15 = 14。規(guī)律二：：每一豎行的三個數加起來的和也相等。16 + 3 + 11 = 30，9 + 15 + 6 = 30。所以空格填30 – 7 – 15 =8。故空格填14或8。（2）先試橫行，發(fā)現3 + 7 = 10，5 + 4 = 9。兩邊之和等于中間的數，所以空格填3 + 5 = 8。 〖即學即練6〗（1）找規(guī)律填空。（2）觀察下面三個正方形內的數，在空格內填入適當的數。 【例7】 找出下面各圖形中數與數之間規(guī)律不同的一組圖形。 分析（1）左邊上下兩個數有乘4

48、的關系，右邊上下兩個數有除以4的關系。第三個圖形右邊不符合這個規(guī)律。所以第三個圖形與眾不同。（2）第一、二、四行是依次遞增2的數列，第三行是依次遞增3的數列，所以第三數列與眾不同。 〖即學即練7〗 根據前面兩組數的規(guī)律，在空格里填上合適的數。 能力檢測 1．找出規(guī)律，在括號里填上適當的數。 （1）5，10，15，20，25，（ ），（ ）； （2）1，2，4，8，16，（ ），64； （3）1，3，6，10，（ ），（ ）； （4）343，216，125，64，27，（ ），（ ）。 2．一列火車

49、的車廂按一定規(guī)律編號，你能寫出被樹擋住的那兩節(jié)車廂的號碼嗎? 3．下圖中后面兩個空格應填幾? 4．下面的蔬菜或水果上，每一組的前面幾個都編著數。這些數都有規(guī)律，但每一組都沒有編完，你能試一試嗎? 5．根據前面兩個圓圈里三個數的關系，在第三個圓圈的空格內填上適當的數。 6．下面圖中的數字是按一定規(guī)律填上的。想一想，○里應填幾? 7．先找出下圖中的規(guī)律，再在空格中填上合適的數。 8．根據前面兩個三角形中四個數之間的規(guī)律，想一想，第三個三角形的空格中應填什么數? （備用圖） 9．先找出下面前三個圖形中菱形個數的規(guī)律，想一想，如果按照這樣的規(guī)律排下

50、去，第五個圖形應有_____________個菱形。 10.下面表格中的數都是由一個完整的算式拼合的，請你參考前兩題的規(guī)律，填出其他各式。 6742 6 7 = 42 84387 84 + 3 = 87 54227 903555 126382508 11．根據下面信封上四個數的關系，推算出空白處應填什么數。 12．找規(guī)律，在空格內填入適當的數。 13．下列表格中的數有一定的規(guī)律，請你按照規(guī)律填出空格中的數。 14．下面圖形中的數各自都有規(guī)律，請按照規(guī)律填出“?”處的數。 15．下面方格中的數有一定的規(guī)律，請按照規(guī)律填出第4個方格中的數

51、。 16．找規(guī)律，在空格內填入適當的數。 第 5 講 簡單推理 你知道嗎? 有一些數學題并不需要做太多的計算，有時甚至不需要計算，只需要對題目中的條件問題進行綜合分析，判斷推理，即可得出答案。 學會推理，能使你的頭腦變得越來越靈活，思路越來越開闊。數學上許多重大的發(fā)現和疑難問題的解決都離不開推理。 簡單推理很少依靠數學概念、法則、公式進行計算，而主要是根據某些條件進行判斷推理。簡單推理根據內容特點，一般可以分為兩類，一類是根據題目中的條件，運用等量代換、消去等方法綜合分析；另一類是根據題目中的條件認真分析，運用排除法、假設法，排除幾種可能或者假設一個結論是正確的，然后驗

52、證它是不是符合所給的一切條件；若沒有矛盾，說明推理正確，否則換個結論來驗證。 【例1】 一天中午，孫悟空吃了10個桃子，豬八戒吃了25個包子。孫悟空說豬八戒太能吃了，但豬八戒說自己吃的包子比桃子小得多，還是孫悟空吃得多。聰明的沙僧用天平得到了如圖所示的兩種情況（圓圈是桃子，三角是包子，長方形表示重量為所標數值的砝碼）．那么1個桃子和1個包子共重多少克? 分析 第二個天平左右同時減少80克，天平仍然平衡，可知“桃子 = 包子 + 120克”。由第一個天平可知“桃子 = 2包子 + 40克”，則包子 = 80克，桃子 = 200克，1個桃子和1個包子共重280克。 〖即學即練

53、1〗 一個白球重多少克? 【例2 】 A、B、C三個數各是多少? A + B = 12 B + C = 14 A + C = 18 分析 共有三個數A、B、C，三個數各兩個的總和是12 + 14 + 18 = 44，那么三個數各一個的總和是22。由A + B = 12，可知C是10；由B + C = 14，可知A是8；由A + C = 18，可知B是4。 〖即學即練2〗 足球、籃球、排球各有幾個? 足球 + 籃球 = 64（個） 籃球 + 排球 = 51（個） 排球 + 足球 = 57（個） 【例3】 在學校繪畫比賽活動中，聰聰、明

54、明、慧慧和小東的畫掛在畫廊的同一旁（如下圖）已知聰聰的畫掛在小東的畫的左邊；慧慧和小東的畫是隔開掛的；明明的畫緊挨著聰聰的畫掛在他的右邊；小東畫的不是動物。想一想下面每張畫分別是誰畫的，） 分析 從關鍵條件入手。小東畫的不能是動物．那么小東畫的只能是汽車或小船；由“聰聰的畫掛在小東的畫的左邊”和“明明的畫緊挨著聰聰的畫掛在他的右邊”這兩個條件可知，小東的畫左邊至少還有兩幅畫，這樣小東畫的只能是小船?！盎刍酆托|的畫是隔開掛的”說明慧慧畫的不是大象，而“明明的面緊挨著聰聰的畫”，這樣慧慧畫的只能是老虎，由于明明的畫在聰聰的畫的右邊，所以明明畫的是大象，聰聰畫的是汽車。 〖即學即

55、練3〗 （1）小強、小勇、小芳和小剛四人中，小強不是最矮的，小剛不是最高的，但比小強高，小芳不比大家高。請你按從矮到高的順序，把這四人排好隊。 （2）四個小朋友面對我們站的位置是這樣的：乙站在甲的右邊；丙站在甲的左邊；丁站在丙的左邊。請你將甲、乙、丙、丁分別填在方格里。 【例4】 王明、李紅、趙強各訂了三種報紙中的～種：《小學生數學報》、《小學生語文報》、《江城晚報》。已知王明訂的不是《小學生數學報》，李紅訂的既不是《小學生數學報》也不是《小學生語文報》，他們訂的分別是什么報紙? 分析 根據“李紅訂的既不是《小學生數學報》也不是《小學生語文報》”這個條件，可以判斷出李

56、紅訂的是《江城晚報》。再根據“王明訂的不是《小學生數學報》”這個條件，可以判斷出王明訂的是《小學生語文報》，那么趙強訂的就是《小學生數學報》了。 〖即學即練4〗 紅紅、聰聰、穎穎戴著太陽帽去野炊，三人戴的帽子一個是紅的，一個是黃的，一個是藍的。只知道紅紅沒有戴黃帽子，聰聰既沒戴黃帽子也沒有戴藍帽子。請你判斷：紅紅、聰聰、穎穎三人分別戴的是什么顏色的帽子? 【例5】 小明、小剛、李東和張輝四位同學在操場上踢足球，打碎了教室的窗戶玻璃。有人問他們時，他們分別這樣回答： 小明：“玻璃可能是李東也可能是張輝打碎的。” 小剛：“是張輝打碎的?！? 李東：“我沒有打碎玻璃?！?

57、 張輝：“我才不干這種事?！? 了解學生的老師說：“他們中有三位絕不會說謊話。”那么到底是誰打破了玻璃呢? 分析 分析四個同學的回答，小剛和張輝的結論剛好相反。而四人中“有三位絕不會說謊話”，說明小明、李東說的是實話，也就是李東沒有打碎玻璃，顯然打碎玻璃的是張輝。 〖即學即練5〗 從全國小學生英語競賽組委會傳來喜訊，小明、小張、小華共榮獲金、銀、銅三塊獎牌。一位同學猜測：小明得金牌，小張不得金牌，小華不得銅牌。結果這位同學只猜對了一個，那么他們各得的是什么獎牌? 【例6】 一個正方形有六個面，每個面分別涂有紅、綠、黃、白、藍、黑六種顏色。你能根據這個正方

58、體的三種不同的擺法，判斷出這個正方體每一種顏色對面各是什么顏色嗎? 分析 從左圖中可看出紅色的對面肯定不是黑色和白色，從中圖中可看出紅色的對面肯定不是黃色和綠色，所以紅色的對面是藍色；從中圖中可看出黃色對面肯定不是綠色和紅色，從右圖中可以看出黃色的對面肯定不是藍色和白色，所以黃色的對面是黑色；剩下的白色的對面肯定是綠色。 〖即學即練6〗 一個正方體的六個面分別標有1、2、3、4、5、6這六個數字，從三個不同角度看見的正方體如圖所示。正方體的每一個數字的對面各是什么數字? 【例】7 運動場上，甲、乙、丙、丁四個人進行長跑比賽。在場的小明、小芳、小英進行預測。 小明

59、說：“我看甲只能得第三，冠軍準是丙的。” 小芳說：“丙只能得第二名，第三名是乙?！? 小英說：“肯定丁是第二、甲第一?！? 比賽結束后，發(fā)現他們的預測都只猜對了一半。根據他們的預測，誰得了第一名，誰得了第四名? 分析 假設“甲第三”是真，那么“丙第一名是假”； “乙第三”是假，那么“丙第二”是真；“丁第二”是假，“甲第一”是真，此與“甲第三”矛盾。所以“甲第三”是假，“丙第一”是真；“甲第一”是假，“丁第二”是真；“丙第二”是假，“乙第三”是真，符合題意。 〖即學即練7〗 甲、乙、丙、丁四位同學在比賽中犯規(guī)的次數各不相同，分別為1次、2次、3次、4次。A、B、C、D四位裁判各有

60、一段話： A說：“甲犯規(guī)2次，乙犯規(guī)3次?！? B說：“丙犯規(guī)4次，乙犯規(guī)2次?！? C說：“丁犯規(guī)2次，丙犯規(guī)3次?！? D說：“丁犯規(guī)1次，乙犯規(guī)3次?！? 記錄員說A、B、C、D四位裁判每人說對了一半，那么甲犯規(guī)多少次? 能力檢測 1．根據下面圖形，判斷一根香蕉有多少克。 2．1支鋼筆可以換3支圓珠筆，1支圓珠筆可以換2支鉛筆，5支鋼筆可以換幾支鉛筆? 3．某智力競賽節(jié)目中有這樣一道題： 推算：一個西瓜可以換（ ）個桃；一個西瓜可以換（ ）根香蕉。 4．小明每門功課各是多少分? 語文 + 數學 = 19

61、4（分） 數學 + 英語 = 188（分） 語文 + 英語 = 186（分） 5．華華、英英、樂樂和明明一起玩游戲。明明在紙上寫下一個三位數，讓另外三個小朋友猜猜這個數是多少。 華華說：“我猜是765?！? 英英說：“有可能是364?！? 樂樂說：“一定是784?！? 如果他們三個人都恰好猜對了兩個位置上的數字，那么明明寫下的三位數是幾? 6．東風小學四年級3個班的全體學生報名參加第七屆小學“希望杯”全國數學邀請賽，（1）班和（2）班共有67人參加，（2）班和（3）班共有64人參加，（1）班和（3）班共有63人參加。那么（1）班、（2）班、（3）班分別有幾人?

62、 7．甲、乙、丙、丁進行一場比賽，賽前預測比賽情況。 甲說：“我第二名，丁第三名。” 乙說：“甲第一名，丁第二名?！? 丙說：“我第二名，丁第四名?！? 競賽結束后三人發(fā)現他們每人都只說對了一半，問比賽結果究竟怎樣? 8．A、B、C、D、E五個小朋友做游戲，每輪游戲都按照下面的箭頭方向把原來手里的玩具傳給另外一個小朋友：A → C，B → E，C → A，D → B，E → D，開始時A、B拿著福娃，C、D、E拿著福牛，傳遞完五輪時，拿著福娃的小朋友是誰與誰? 10．甲透露他的考試分數給乙、丙、丁三人知道，但其余的人都隱匿他們的分數。乙想：“至少我們四個人之

63、中有兩個分數一樣。”丙想：“我的分數不是最低的?！倍∠耄骸拔业姆謹挡皇亲罡叩?。”將乙、丙、丁三人的分數從最低至最高排列，則正確的排序是什么呢? 11．設○、□、△分別表示三種不同的物體。用天平比較它們重量的大小兩次，情況如圖所示?！?、□、△按重量從小到大順序排列是什么? 12．把數字1～6分別寫在正方體的六個面上，每個面上只寫一個數字，且1與4相對，2與5相對，3與6相對。從某個角度看到的三個面上的數字如圖（a）所示，從另一個角度看到的三個面如圖（b）所示。那么圖（b）中“?”代表的數字是幾? 13．P、Q、R、S四人去公園玩蹺蹺板，根據下面的示意圖，試判斷這四個人

64、從重到輕的順序是什么? 14．學校開展“愛勞動、樹新風”活動，甲、乙、丙三位同學搶著為學校做好事。這天有位同學提前將教室打掃干凈了，老師詢問是誰做的，結果，甲說：“是乙干的?！币艺f：“不是我干的?！北f：“不是我干的?！比绻阎@三個人中有兩個說了假話，有一個說了真話，那么是誰做的好事呢? 15．△ + △ = a，△ – △ = b，△ △ = c， △ △ = d，a + b + c + d = 100。那么，△等于多少? 第 6 講 植樹中的學問 同學們每天都排隊做早操，設想男、女生交叉排列，有四種情況

65、： ①男生開頭，男生結束：男、女、男、女、……、男、女、男。 ②女生開頭，女生結束：女、男、女、男、……、女、男、女。 ③男生開頭，女生結束：男、女、男、女、……、男、女。 ④女生開頭，男生結束：女、男、女、男、……、女、男。 想一想，在每一種情況中，男生和女生誰多? 多多少? 相信你能脫口而出吧。 你意識到沒有，如果把“樹”看作一個物體，“路”看作另一個物體，那么不封閉植樹的各種類型也可以看作交叉排列（如下圖），而這所有排列實質正對應了上面男、女生交叉排隊的各種類型。 因此，植樹問題可以轉化成我們熟悉的排隊問題來解決，并只需記住兩點： 1．不管是哪一種類型，段數是始終不變

66、的，段數 = 路長 間距； 2．如果兩頭站的是同一種物體，既開頭又結尾的那種物體多1；如果兩頭站的是不同的物體，那兩種物體的數量就相等。 【例1】 在一條長400米的大路兩旁種樹，每隔10米栽一棵，如果起點和終點都種一棵，一共種多少棵? 分析 把“樹”看作一個物體“路”看作另一個物體，樹既開始，又結束，那么樹的棵數應該比路的段數多1。400米里面有40個10米，所以路有40段，樹有40 + 1 = 41（棵）。又因為兩旁種樹，所以共種82棵。 〖即學即練1 〗從學校門到教學樓的走道長42米，計劃在兩旁從起點每隔2米擺一盆花，一共要準備幾盆花? 【例2】 公路兩端各有一座售報亭，售報亭之間每隔4米豎立一個廣告牌，一共豎了250個廣告牌。公路全長多少米? 分析 售報亭、路、廣告牌的排列如下圖。從圖中看得很清楚（售報亭忽略），路開頭，路結束，所以路的段數應比廣告牌的個數多1。廣告牌250個，路就應該有250 + 1 = 251（段）。每段4米。全長一共251 4 = 1004（米）。 〖即學即練2〗 （