數(shù)學(xué)分布泊松分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布生存分析貝葉斯概率公式全概率公式.doc

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1、數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。又稱期望或均值。它是簡(jiǎn)單算術(shù)平均的一種推廣。例如某城市有10萬(wàn)個(gè)家庭，沒(méi)有孩子的家庭有1000個(gè)，有一個(gè)孩子的家庭有9萬(wàn)個(gè)，有兩個(gè)孩子的家庭有6000個(gè)，有3個(gè)孩子的家庭有3000個(gè)， 則此城市中任一個(gè)家庭中孩子的數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，記為X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率為0.01，取1的概率為0.9，取2的概率為0.06，取3的概率為0.03，它的數(shù)學(xué)期望為00.01＋10.9＋20.06＋30.03等于1.11，即此城市一個(gè)家庭平均有小孩1.11個(gè)，用數(shù)學(xué)式子表示為：E(X)=1.11。 也就是說(shuō)，我們用數(shù)學(xué)的

2、方法分析了這個(gè)概率性的問(wèn)題，對(duì)于每一個(gè)家庭，最有可能它家的孩子為1.11個(gè)。 可以簡(jiǎn)單的理解為求一個(gè)概率性事件的平均狀況。 各種數(shù)學(xué)分布的方差是： 1、 一個(gè)完全符合分布的樣本 2、 這個(gè)樣本的方差 概率密度的概念是：某種事物發(fā)生的概率占總概率(1)的比例,越大就說(shuō)明密度越大。比如某地某次考試的成績(jī)近似服從均值為80的正態(tài)分布，即平均分是80分，由正態(tài)分布的圖形知x=80時(shí)的函數(shù)值最大，即隨機(jī)變量在80附近取值最密集，也即考試成績(jī)?cè)?0分左右的人最多。 下圖為概率密度函數(shù)圖(F(x)應(yīng)為f(x)，表示概率密度)： 離散型分布：二項(xiàng)分布、泊松分布

3、連續(xù)型分布：指數(shù)分布、正態(tài)分布、X2分布、t分布、F分布 抽樣分布 抽樣分布只與自由度，即樣本含量（抽樣樣本含量）有關(guān) 二項(xiàng)分布（binomial distribution）：例子拋硬幣 1、 重復(fù)試驗(yàn)（n個(gè)相同試驗(yàn)，每次試驗(yàn)兩種結(jié)果，每種結(jié)果概率恒定————伯努利試驗(yàn)） 2、 3、 P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同組成了一個(gè)分布，即二項(xiàng)分布 泊松分布（possion distribution）： 1、 一個(gè)單位內(nèi)（時(shí)間、面積、空間）某稀有事件 2、 此事件發(fā)生K次的概率 3、

4、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同組成了一個(gè)分布，即泊松分布 二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系： 二項(xiàng)分布在事件發(fā)生概率很小，重復(fù)次數(shù)n很大的情況下，其分布近似泊松分布 均勻分布(uniform distribution)： 分為連續(xù)型均勻分布和離散型均勻分布 離散型均勻分布： 1、 n種可能的結(jié)果 2、 每個(gè)可能的概率相等(1/n) 連續(xù)型均勻分布： 1、 可能的結(jié)果是連續(xù)的 2、 每個(gè)可能的概率相等() 連續(xù)型均勻分布概率密度函數(shù)如下圖： 指數(shù)分布（expon

5、ential distribution）： 用來(lái)表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時(shí)間間隔等等。 指數(shù)分布常用于各種“壽命”分布的近似。 1、連續(xù)型分布，每個(gè)點(diǎn)的概率： 2、無(wú)記憶性。已經(jīng)使用了s小時(shí)的元件，它能再使用t小時(shí)的概率，與一個(gè)從未使用過(guò)的元件使用t小時(shí)的概率相同。即它對(duì)已經(jīng)使用過(guò)的s小時(shí)沒(méi)有記憶。 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)如下圖： 正態(tài)分布（normal distribution）： 又稱高斯分布。 1、 描述一個(gè)群體的某個(gè)指標(biāo)。 2、 這個(gè)指標(biāo)是連續(xù)的。 3、 每個(gè)特定指標(biāo)在整個(gè)群體中都有一

6、個(gè)概率（）。 4、 所有指標(biāo)概率共同組成了一個(gè)分布，這個(gè)分布就是正態(tài)分布。 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下圖： 中心極限定理： 不論總體的分布形式如何（正態(tài)或非正態(tài)），只要樣本（抽樣樣本）含量n足夠大時(shí)，樣本均數(shù)的分布就近似正態(tài)分布，且均數(shù)與總體均數(shù)相等，標(biāo)準(zhǔn)差為（總體標(biāo)準(zhǔn)差）/（n的開(kāi)方）。 中心極限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽樣樣本含量很大時(shí)不需要對(duì)總體樣本是否正態(tài)有要求。 t分布（student t distribution）: 1、t分布是以0為中心的一簇曲線，每個(gè)自由度決定一個(gè)曲線 2、自由度是一個(gè)抽樣小樣本中的具體觀測(cè)值的個(gè)數(shù)（抽樣樣本

7、含量）-1 3、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量較小時(shí)，要求總體樣本呈正態(tài)分布，如果抽樣樣本含量很大（eg. n >= 100），由中心極限定理可知抽樣樣本均數(shù)也近似正態(tài)分布，因而“差值”的概率也呈正態(tài)分布，而t分布的每一條曲線實(shí)際上都是正態(tài)分布曲線） 4、從一個(gè)總體樣本中抽取很多個(gè)小樣本———抽樣 5、每個(gè)小樣本都有一個(gè)均值 6、每個(gè)小樣本的均值與總體樣本均值有一個(gè)差值，這個(gè)差值用t估計(jì) 7、可能有多個(gè)小樣本的差值估計(jì)都是t，t出現(xiàn)的次數(shù)占所有小樣本的比例可以用一個(gè)概率衡量 8、所有t值的概率組成一個(gè)分布，就是t分布的一個(gè)曲線 9、另外做一個(gè)抽樣，每個(gè)小樣本包含的觀

8、測(cè)值不同，則形成t分布的另外一個(gè)曲線 10、自由度越大，則曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 11、t分布只與自由度相關(guān) t分布的概率密度函數(shù)如下圖（v為自由度）： X2分布（chi square distribution）： 1、X2分布也是一簇曲線，每個(gè)自由度決定一個(gè)曲線 2、自由度是一個(gè)抽樣小樣本中的具體觀測(cè)值的個(gè)數(shù)（抽樣樣本含量）-1 2、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量（n）較小時(shí)，要求總體樣本呈正態(tài)分布） 3、從總體樣本中抽取n個(gè)觀測(cè)值：z1，z2，z3……———抽樣 4、將它們平方后求和，這個(gè)和用一個(gè)新變量表示，即X2 5、重復(fù)抽樣并獲得多個(gè)X2

9、：X12，X22，X32，X42……… 6、可能有多次抽樣的X2值相同，同一個(gè)X2值的抽樣次數(shù)占總次數(shù)的比例可以用一個(gè)概率表示 7、所有的概率值共同組成一個(gè)分布，就是X2分布的一條曲線 8、另外做一次，只要從總體中選取觀測(cè)值數(shù)目n不同，得到的就是另外一條曲線 10、自由度越大，則曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 11、X2分布只與自由度相關(guān) X2分布的概率密度函數(shù)如下圖（n在這里為自由度）： F分布（F-distribution）： 1、F分布也是一簇曲線，每對(duì)自由度決定一個(gè)曲線 2、自由度是一個(gè)抽樣小樣本中的具體觀測(cè)值的個(gè)數(shù)（抽樣樣本含量）-1 2、兩總體

10、樣本方差比的分布 3、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量（n）較小時(shí)，要求總體樣本呈正態(tài)分布） 4、從總體樣本中抽取兩個(gè)樣本， 兩個(gè)樣中的觀測(cè)值數(shù)目可相同也可不同，分別記為n1和n2 5、分別計(jì)算出X2：X1，X2 6、構(gòu)建一個(gè)新變量F： 7、重復(fù)抽取樣本，計(jì)算多個(gè)F值：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3…….. 8、可能有多次抽樣的F值相同，同一個(gè)F值的抽樣次數(shù)占總次數(shù)的比例可以用一個(gè)概率表示 9、所有的概率值共同組成一個(gè)分布，就是F分布的一條曲線 10、另外做一次，只要從總體中選取觀測(cè)值數(shù)目n不同，得到的就是另外一條曲線 10、兩個(gè)自由度越大，則曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 11、

11、F分布只與自由度相關(guān) F分布的概率密度函數(shù)如下圖（m，n在這里為自由度）： 【在推估總體平均值時(shí)，基于樣本平均數(shù)的抽樣分布】—— t分布 【在用樣本方差來(lái)推估總體方差時(shí)，必須知道樣本方差的抽樣分布】— X2分布 【比較兩個(gè)總體的方差是否相等時(shí)，必須知道樣本方差的聯(lián)合抽樣分布】— F分布 生存分析（survival analysis）： 1、 多種影響慢性疾病的因素（不同手術(shù)方法、不同藥物………） 2、 隨訪一群患者 3、 一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)生存和死亡 3、最終給出的結(jié)果是一個(gè)評(píng)價(jià)各種因素對(duì)生存時(shí)間的影響（生存時(shí)間、生存率有無(wú)差異） 貝葉斯公式（bayes formula）： 1、 描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系———P(Bi|A)與P(A|Bi)，A為事件，Bi 為一個(gè)劃分 2、 P(Bi|A)=P(A|Bi)*P(Bi)/P(A) 或者 3、 看圖理解 全概率公式（full probability formula）： 1、 描述一個(gè)特定事件的概率與條件概率間的關(guān)系 2、 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn) 3、 看圖理解