同濟大學(高等數(shù)學)_第二章_導數(shù)與微分.doc
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第二篇 一元函數(shù)微積分 第二章 導數(shù)與微分 微積分學包含微分學和積分學兩部分,而導數(shù)和微分是微分學的核心概念.導數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化的快慢程度,微分則指明了當自變量有微小變化時,函數(shù)大體上變化了多少,即函數(shù)的局部改變量的估值.本章主要討論導數(shù)和微分的概念、性質以及計算方法和簡單應用. 第1節(jié) 導數(shù)的概念 1.1 導數(shù)概念的引入 1.1.1 質點做變速直線運動的瞬時速度問題 現(xiàn)有一質點做變速直線運動,質點的運動路程與運動時間的函數(shù)關系式記為,求在時刻時質點的瞬時速度為多少? 整體來說速度是變化的,但局部來說速度可以近似看成是不變的.設質點從時刻改變到時刻,在時間增量內,質點經(jīng)過的路程為,在時間內的平均速度為 , 當時間增量越小時,平均速度越接近于時刻的瞬時速度,于是當時,的極限就是質點在時刻時的瞬時速度,即 . 1.1.2 平面曲線的切線斜率問題 已知曲線,求曲線上點處的切線斜率. 欲求曲線上點的切線斜率,由切線為割線的極限位置,容易想到切線的斜率應是割線斜率的極限. 圖2-1 如圖2-1所示,取曲線上另外一點,則割線的斜率為 . 當點沿曲線趨于時,即當時,的極限位置就是曲線在點的切線,此時割線的傾斜角趨于切線的傾斜角,故切線的斜率為 . 前面我們討論了瞬時速度和切線斜率兩個問題,雖然實際意義不同,但如果舍棄其實際背景,從數(shù)學角度看,卻有著相同的數(shù)學形式,即當自變量的改變量趨于零時,求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限.在自然科學、社會科學和經(jīng)濟領域中,許多問題都可以轉化為上述極限形式進行研究,如電流強度、人口增長速度、國內生產(chǎn)總值的增長率、邊際成本和邊際利潤等.因此,我們舍棄這些問題的實際意義,抽象出它們數(shù)量關系上的共同本質——導數(shù). 1.2 導數(shù)的概念 1.2.1 函數(shù)在一點處的導數(shù) 定義1 設函數(shù)在點的某領域內有定義,自變量在處取得增量,且時,函數(shù)取得相應的增量,如果極限 存在,那么稱函數(shù)在點可導,并稱此極限值為函數(shù)在點的導數(shù),記作,即 . 注:(1)由導數(shù)的定義可得與其等價的定義形式 ; . (2)若極限不存在,則稱函數(shù)在點不可導.特別地,若,也可稱函數(shù)在點的導數(shù)為無窮大,此時在點的切線存在,它是垂直于軸的直線. 例1 設,求. 解 根據(jù)導數(shù)的等價定義,可得 . 例2 設,求下列極限: (1); (2). 解 (1). (2) . 1.2.2 單側導數(shù) 導數(shù)是由函數(shù)的極限來定義的,因為極限存在左、右極限,所以導數(shù)也存在左、右導數(shù)的定義. 定義2 (1)設函數(shù)在點的某左鄰域內有定義,當自變量在點左側取得增量時,如果極限或存在,則稱此極限值為在點的左導數(shù),記為,即 . (2)設函數(shù)在點的某右鄰域內有定義,當自變量在點右側取得增量時,如果極限或存在,則稱此極限值為在點的右導數(shù),記為,即 . 由極限存在的充要條件可得函數(shù)在點可導的充要條件如下: 定理1 函數(shù)在點可導和存在且相等. 例3 研究函數(shù)在點的可導性. 解 因為,所以 , , 從而,因此在點不可導. 1.2.3 導函數(shù) 定義3 (1)若函數(shù)在區(qū)間內每一點均可導,則稱在區(qū)間內可導; (2)若函數(shù)在區(qū)間內可導,在區(qū)間左端點的右導數(shù)和區(qū)間右端點的左導數(shù)均存在,則稱在閉區(qū)間上可導. 定義4 若函數(shù)在區(qū)間(可以是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間)上可導,且對于任意的,都對應著一個導數(shù)值,其是自變量的新函數(shù),則稱為在區(qū)間上的導函數(shù),記作,即 或. 注:(1)在導函數(shù)的定義式中,雖然可以取區(qū)間上的任意值,但在求極限的過程中,是常數(shù),和是變量. (2)導函數(shù)也簡稱為導數(shù),只要沒有指明是特定點的導數(shù)時所說的導數(shù)都是指導函數(shù).顯然函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在點處的函數(shù)值,即. 下面利用導數(shù)的定義求一些簡單函數(shù)的導數(shù). 例4 求常值函數(shù)(為常數(shù))的導數(shù). 解 . 即得常值函數(shù)的導數(shù)公式: . 例5求正弦函數(shù)的導數(shù). 解 . 即得正弦函數(shù)的導數(shù)公式: . 類似可得余弦函數(shù)的導數(shù)公式: . 例6求指數(shù)函數(shù)的導數(shù). 解 . 由于當時,,所以 . 即得指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式: . 特別地, . 例7 求對數(shù)函數(shù)的導數(shù). 解 . 即得對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式: . 特別地, . 例8 求冪函數(shù)的導數(shù). 解 , 因為當時,,從而,故 . 即得冪函數(shù)的導數(shù)公式: . 1.3 導數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點可導時,導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線斜率(圖2-1). 由此可得,曲線在處的切線方程為 . 若,可得切線的傾斜角為或,此時切線方程為. 當時,曲線在處的法線方程為 . 若,則法線方程為. 例9 求函數(shù)在點處的切線的斜率,并寫出在該點的切線方程和法線方程. 解 根據(jù)導數(shù)的幾何意義,函數(shù)在點處的切線的斜率為 . 從而所求的切線方程為 , 即 . 所求法線的斜率為 , 從而所求的法線的方程為 , 即 . 1.4 函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系 定理2 如果函數(shù)在點處可導,那么在點處連續(xù). 證明 因為在點處可導,即 , 其中,所以 . 根據(jù)連續(xù)的定義可知在點處連續(xù). 注:(1)定理2的逆命題不成立,即連續(xù)函數(shù)未必可導. (2)如果函數(shù)在某一點不連續(xù),那么函數(shù)在該點一定不可導. 例10 討論函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導性. 解 因為 , 所以在點處連續(xù). 又因為 不存在,所以在點處不可導. 例11 討論函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導性. 解 因為 , 所以在點處不連續(xù),從而在點處不可導. 例12 設函數(shù)在點處可導,求. 解 由于在點處可導,所以在點處必連續(xù),即 . 因為 , , , 所以可得. 又因為 , . 要使在點處可導,則應有,即.所以,如果在點處可導,則有. 習題2-1 1. 已知物體的運動規(guī)律為,求: (1)物體在到這一時間段的平均速度; (2)物體在時的瞬時速度. 2. 設,按定義求. 3. 設存在,指出下列極限各表示什么? (1); (2); (3)(設且存在). 4. 設函數(shù)在點處連續(xù),且,求. 5. 已知函數(shù),求和,判定是否存在? 6. 求曲線在點處的切線方程和法線方程. 7. 試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導性. 8. 設函數(shù)在處可導,求的值. 第2節(jié) 函數(shù)的求導法則 在上一節(jié)中,利用導數(shù)的定義求得了一些基本初等函數(shù)的導數(shù).但對于一些復雜的函數(shù),利用導數(shù)定義去求解,難度比較大.因此本節(jié)將介紹幾種常用的求導法則,利用這些法則和基本求導公式就能比較簡單地求一般初等函數(shù)的導數(shù). 2.1 導數(shù)的四則運算法則 定理1 如果函數(shù)和都在點處可導,那么它們的和、差、積、商(分母不為零)都在點處可導,且 (1). (2). 特別地, (為常數(shù)). (3). 特別地, . 證明 (1) . (2) , 由于在點處可導,從而其在點處連續(xù),故 . (3)先考慮特殊情況.當時, , 由于在點處可導,從而其在點處連續(xù),故 . 因此,函數(shù)在點處可導,且.于是 . 注:(1)法則(1)可以推廣到有限個可導函數(shù)的和與差的求導.如 . (2)法則(2)可以推廣到有限個可導函數(shù)的積的求導.如 . 例1 設,求. 解 . 例2 設,求. 解 . 例3 設,求. 解 . 例4 設,求. 解 . 例5 設,求. 解 . 即得正切函數(shù)的導數(shù)公式: . 類似可得余切函數(shù)的導數(shù)公式: . 例6 設,求. 解 . 即得正割函數(shù)的導數(shù)公式: . 類似可得余割函數(shù)的導數(shù)公式: . 2.2 反函數(shù)的求導法則 定理2 如果函數(shù)在區(qū)間內單調、可導且,那么它的反函數(shù)在區(qū)間內也可導,且 或 . 換句話說,即反函數(shù)的導數(shù)等于原函數(shù)的導數(shù)的倒數(shù). 證明 由于在區(qū)間內單調、可導(必連續(xù)),從而可知的反函數(shù)存在,且在區(qū)間內也單調、連續(xù). 取,給以增量,由的單調性可知 , 于是有 , 由于連續(xù),所以 , 從而 . 例7 設,求. 解 因為的反函數(shù)在區(qū)間內單調可導,且.又因為在內有,所以在對應區(qū)間內有 . 即得到反正弦函數(shù)的導數(shù)公式: . 類似可得反余弦函數(shù)的導數(shù)公式: . 例8 設,求. 解 因為的反函數(shù)在區(qū)間內單調可導,且,所以在對應區(qū)間內有 . 即得反正切函數(shù)的導數(shù)公式: . 類似可得反余切函數(shù)的導數(shù)公式: . 2.3 復合函數(shù)的求導法則 定理3 如果函數(shù)在點可導,函數(shù)在相應點可導,那么復合函數(shù)在點可導,且其導數(shù)為 或 . 證明 因為在點可導,所以 存在,于是根據(jù)極限與無窮小的關系可得 , 其中是時的無窮小.由于上式中,在其兩邊同乘,可得 , 用除上式兩邊,可得 , 于是 . 根據(jù)函數(shù)在某點可導必在該點連續(xù)可知,當時,,從而可得 . 又因為在點可導,所以 , 故 . 如果,規(guī)定,那么,此時仍成立,從而仍有 . 注:(1)表示復合函數(shù)對自變量求導,而則表示函數(shù)對中間變量求導. (2)定理的結論可以推廣到有限個函數(shù)構成的復合函數(shù).例如,設可導函數(shù)構成復合函數(shù),則 . 例9 設,求. 解 因為由復合而成,所以 . 例10 設,求. 解 因為由復合而成,所以 . 從以上例子可以直觀的看出,對復合函數(shù)求導時,是從外層向內層逐層求導,故形象地稱其為鏈式法則.當對復合函數(shù)求導過程較熟練后,可以不用寫出中間變量,而把中間變量看成一個整體,然后逐層求導即可. 例11 設,求. 解 . 例12 設,求. 解 . 例13 設(為常數(shù)),求. 解 . 例14 設,求. 解 因為 , 所以,當時, ; 當時, . 綜上可得 . 例15 設可導,求的導數(shù). 解 . 2.4 高階導數(shù) 變速直線運動的質點的路程函數(shù)為,則速度 , 加速度 , 從而 . 這種導數(shù)的導數(shù)稱為二階導數(shù),依次類推就產(chǎn)生了高階導數(shù)的概念.一般地,可給出如下定義: 定義1 若函數(shù)的導數(shù)在點可導,則稱在點的導數(shù)為函數(shù)在點的二階導數(shù),記作 , 即 . 這時也稱在點二階可導. 若函數(shù)在區(qū)間上每一點都二階可導,則稱它在區(qū)間上二階可導,并稱為在區(qū)間上的二階導函數(shù),簡稱為二階導數(shù). 如果函數(shù)的二階導數(shù)仍可導,那么可定義三階導數(shù): , 記作 . 以此類推,如果函數(shù)的階導數(shù)仍可導,那么可定義階導數(shù): , 記作 . 習慣上,稱為的一階導數(shù),二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).有時也把函數(shù)本身稱為的零階導數(shù),即. 注:由高階導數(shù)的定義可知,求高階導數(shù)就是多次接連地求導數(shù),所以前面學到的求導方法對于計算高階導數(shù)同樣適用. 定理4 如果函數(shù)和都在點處具有階導數(shù),那么 (1). (2),其中. 特別地,(為常數(shù)). 定理4中的(2)式稱為萊布尼茲(Leibniz)公式. 例16 設,求. 解 ,,,. 一般地,設,則. 例17 設,求. 解 ,,,,…, 由歸納法可得 . 特別地,當時,. 例18 設,求. 解 , , , , ,…, 由歸納法可得 . 類似地,可得 . 例19 設,求. 解 ,,,,…, 由歸納法可得 . 例20 設(為任意常數(shù)),求. 解 ,,, ,…, 由歸納法可得 . 特別地,當時,可得 . 而 . 例21 設,求. 解 . 例22 設,求. 解 設,則 , . 由萊布尼茲公式,可得 . 2.5 導數(shù)公式與基本求導法則 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則、反函數(shù)的求導法則及復合函數(shù)的求導法則等在初等函數(shù)的求導運算中起著重要的作用.為了便于查閱,現(xiàn)在把這些導數(shù)公式和求導法則歸納如下: 2.5.1 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 (1)(為常數(shù)); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16). 2.5.2 導數(shù)的四則運算法則 設函數(shù)和都可導,則 (1); (2); (3)(為常數(shù)); (4); (5). 2.5.3 反函數(shù)的求導法則 如果函數(shù)在區(qū)間內單調、可導且,那么它的反函數(shù)在區(qū)間內也可導,且 或 . 2.5.4 復合函數(shù)的求導法則 如果函數(shù)在點可導,函數(shù)在相應點可導,那么復合函數(shù)在點可導,且其導數(shù)為 或 . 2.5.5 高階導數(shù)的運算法則 如果函數(shù)和都在點處具有階導數(shù),那么 (1). (2),其中. 特別地,(為常數(shù)). 習題2-2 1. 求下列函數(shù)的導數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10). 2. 求曲線上橫坐標為的點處的切線方程和法線方程. 3. 求下列函數(shù)的導數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12). 4. 設為可導函數(shù),求下列函數(shù)的導數(shù). (1); (2); (3); (4). 5. 求下列函數(shù)的二階導數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6). 6. 求下列函數(shù)所指定階的導數(shù). (1),求; (2),求. 第3節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 3.1 隱函數(shù)的導數(shù) 以解析式的形式確定的函數(shù)稱為顯函數(shù).例如 ,. 以二元方程的形式確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).例如 ,. 把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù),稱為隱函數(shù)的顯化.例如從方程解出,就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但隱函數(shù)的顯化有時候是困難的,甚至是不可能的.例如方程所確定的隱函數(shù)就難以化成顯函數(shù). 但在很多情況下,需要計算隱函數(shù)的導數(shù),因此,我們希望找到一種方法,不論隱函數(shù)能否顯化,都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導數(shù). 隱函數(shù)求導的基本思想是:把方程中的看成自變量的函數(shù),結合復合函數(shù)求導法,在方程兩端同時對求導數(shù),然后整理變形解出即可.的結果中可同時含有和.若將看成自變量,同理可求出. 例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù). 解 方程兩端對求導,得 , 從而 . 例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù). 解 方程兩端對求導,得 , 從而 . 例3 求橢圓曲線上點處的切線方程和法線方程. 解 方程兩端對求導,得,故.從而,切線斜率和法線斜率分別為 ,. 所求切線方程為 , 即 . 法線方程為 , 即 . 例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù). 解 方程兩端對求導,得 , 從而 . 上式兩端再對求導,得 . 3.2 對數(shù)求導法 對于以下兩類函數(shù): (1)冪指函數(shù),即形如的函數(shù). (2)函數(shù)表達式是由多個因式的積、商、冪構成的. 要求它們的導數(shù),可以先對函數(shù)式兩邊取自然對數(shù),利用對數(shù)的運算性質對函數(shù)式進行化簡,然后利用隱函數(shù)求導法求導,這種方法稱為對數(shù)求導法. 例5 設,求. 解 函數(shù)兩端取自然對數(shù),得 , 兩端分別對求導,得 , 所以 . 例6 設,求. 解 先在函數(shù)兩端取絕對值后再取自然對數(shù),得 , 兩端分別對求導,得 , 即 . 容易驗證,例6中的解法,若省略取絕對值這一步所得的結果是相同的,因此,在使用對數(shù)求導法時,常省略取絕對值的步驟. 3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 一般地,若參數(shù)方程 確定了與之間的函數(shù)關系,則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 定理1 設參數(shù)方程,其中均可導,且函數(shù)嚴格單調,,則有 或 . 證明 因為函數(shù)嚴格單調,所以其存在反函數(shù).又因為可導且,故也可導,且有.對于復合函數(shù)求導,可得 . 如果還是二階可導的,那么由定理1可得到函數(shù)的二階導數(shù)公式: , 即 . 例7 設,求. 解 因為 所以 . 例8 求星形線在的相應點處的切線方程和法線方程(圖2-2). 圖2-2 解 由可得 , 星形線在點處的切線斜率和法線斜率分別為 ,. 從而,所求切線方程為 , 即 . 所求法線方程為 , 即 . 例9 設,求. 解 (方法一)因為 , 所以 . (方法二)由于,代入公式可得 . 3.4 由極坐標方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 研究函數(shù)與的關系通常是在直角坐標系下進行的,但在某些情況下,使用極坐標系則顯得比直角坐標系更簡單. 如圖2-3所示,從平面上一固定點,引一條帶有長度單位的射線,這樣在該平面內建立了極坐標系,稱為極點,為極軸.設為平面內一點,線段的長度稱為極徑,記為,極軸到線段的轉角(逆時針)稱為極角,記為,稱有序數(shù)組為點的極坐標. 圖2-3 若一平面曲線上所有點的極坐標都滿足方程,且坐標滿足方程的所有點都在平面曲線上,則稱為曲線的極坐標方程. 將極軸與直角坐標系的正半軸重合,極點與坐標原點重合,若設點的直角坐標為,極坐標為,則兩者有如下關系: 或. 設曲線的極坐標方程為,利用直角坐標與極坐標的關系可得曲線的參數(shù)方程為 , 其中為參數(shù).由參數(shù)方程的求導公式,可得 . 例10 求心形線在處的切線方程(圖2-4). 圖2-4 解 由極坐標的求導公式得 . 當時, ,, , 所以,所求切線方程為 , 即 . 習題2-3 1. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6). 2. 求曲線在點處的切線方程和法線方程. 3. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù). (1); (2). 4. 利用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6). 5. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的指定階的導數(shù). (1),求; (2),求; (3),求; (4),求. 6. 求四葉玫瑰線(為常數(shù))在對應點處的切線方程. 第4節(jié) 函數(shù)的微分 4.1 微分的概念 在許多實際問題中,要求研究當自變量發(fā)生微小改變時所引起的相應的函數(shù)值的改變. 例如,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由變到(圖2-5),問此薄片的面積改變了多少?當很微小時,正方形的面積改變的近似值是多少? 圖2-5 設此正方形的邊長為,面積為,則與存在函數(shù)關系.當邊長由變到,正方形金屬薄片的面積改變量為 從上式可以看出,分為兩部分,第一部分是的線性函數(shù),即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和,第二部分是圖中右上角的小正方形的面積,當時,第二部分是比高階的無窮小量,即.因此,當很微小時,我們用近似地表示,即.故是正方形的面積改變的近似值. 定義1 設函數(shù)在某區(qū)間內有定義,及在此區(qū)間內,如果函數(shù)的增量 可表示為 , 其中是不依賴于的常數(shù),那么稱函數(shù)在點是可微的,而叫做函數(shù)在點相應于自變量增量的微分,記為 或. 4.2 微分與導數(shù)的關系 定理1 函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在點可導,且當在點可微時,其微分一定是. 證明 (必要性)設函數(shù)在點可微,即,其中是不依賴于的常數(shù).上式兩邊用除之,得 , 當時,對上式兩邊取極限就得到 . 即.因此,若函數(shù)在點可微,則在點一定可導,且. (充分性)函數(shù)在點可導,即 存在,根據(jù)極限與無窮小的關系,上式可寫成 , 其中(當時),從而 , 其中是與無關的常數(shù),比是高階無窮小,所以在點也是可微的. 根據(jù)微分的定義和定理1可得以下結論: (1)函數(shù)在點處的微分就是當自變量產(chǎn)生增量時,函數(shù)的增量的主要部分(此時).由于是的線性函數(shù),故稱微分是的線性主部.當很微小時,更加微小,從而有近似等式. (2)函數(shù)的可導性與可微性是等價的,故求導法又稱微分法.但導數(shù)與微分是兩個不同的概念,導數(shù)是函數(shù)在處的變化率,其值只與有關;而微分是函數(shù)在處增量的線性主部,其值既與有關,也與有關. 定義2 函數(shù)在任意點處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作或,即. 通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作,即.因此,函數(shù)的微分可以寫成 或. 從而有 或. 因此,函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù).所以,導數(shù)又稱微商. 例1 設函數(shù),(1)求;(2)若,求和. 解 (1)由微分的定義可得 . (2)將代入(1)的結果,可得 ; . 4.3 微分的幾何意義 在平面直角坐標系中,函數(shù)的圖形是一條曲線,對于曲線上某一確定的點,當自變量有微小增量時,就得到曲線上另一點(圖2-6).過點作曲線的切線,它的傾斜角為,則有 , . 圖2-6 由此可見,對于可微函數(shù),當是曲線上的點的縱坐標的增量時,微分就是曲線在點的切線的縱坐標的相應增量.當很小時,比小得多,因此在點的鄰近,可以用近似代替,進而可以用切線段來近似代替曲線段. 4.4 微分公式與微分運算法則 由函數(shù)的微分表達式可得,只要先計算出函數(shù)的導數(shù),再乘以自變量的微分就可以計算出函數(shù)的微分.因此可得如下的微分公式和微分運算法則. 4.4.1 基本初等函數(shù)的微分公式 (1)(為常數(shù)); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16). 4.4.2 微分的運算法則 設函數(shù)和都可導,則 (1); (2); (3)(為常數(shù)); (4). 4.4.3 復合函數(shù)的微分法則 設均可導,則復合函數(shù)的微分為 . 由此可見,無論是自變量還是中間變量,微分形式保持不變.這一性質稱為微分形式不變性. 例2 設,求. 解 (方法一)令,,則利用微分形式不變性,可得 . (方法二)若不引入中間變量,則 . 4.4.4 隱函數(shù)的微分 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的微分. 解 對方程兩邊分別求微分,有 , 即 , , 從而,可得 . 4.5 微分在近似計算中的應用 根據(jù)前面的討論可知,如果函數(shù)在點處的導數(shù),且很小時,那么有 , (2-4-1) 公式(2-4-1)可以改寫為 , (2-4-2) 或 . (2-4-3) 在(2-4-3)式中令,即,則可得 . (2-4-4) 如果和都容易計算,則可以利用(2-4-1)式來近似計算,利用(2-4-3)式來近似計算,以及利用(2-4-4)式來近似計算. 若在(2-4-4)式中令,則有 . (2-4-5) 從而,當很小時,可用(2-4-5)式推得以下幾個常用的近似公式 (1); (2); (3); (4); (5); (6). 例4 一個內直徑為的球殼體,球殼的厚度為,問球殼體的體積的近似值為多少? 解 半徑為的球體體積為 . 由于,故就是球殼體的體積.用作為其近似值,則 . 所以球殼體的體積的近似值為. 例5 計算的近似值. 解 設,則.取,則 . 例6 計算的近似值. 解 由于,而,其值較小,故利用近似公式,可得 . 習題2-4 1.已知函數(shù),計算在處,當時的和. 2. 求下列函數(shù)的微分. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8). 3. 求由方程所確定的函數(shù)的微分. 4. 利用微分計算下列近似值. (1); (2). 5.設扇形的圓心角,半徑.如果不變,減少,問扇形面積大約改變了多少?又如果不變,增加,問扇形面積大約改變了多少? 6.有一批半徑為的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,銅的厚度定為,估計一下每只球需用銅多少(銅的密度為)? 第5節(jié) 導數(shù)的應用 由于導數(shù)就是函數(shù)的變化率,所以現(xiàn)實生活中很多涉及變化率的問題,都可以轉化為對導數(shù)的計算問題.因此導數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用是非常廣泛的. 5.1 相關變化率 定義1 若及為可導函數(shù),且函數(shù)由,確定,則變化率與稱為相關變化率. 相關變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關系,以便從其中一個變化率求出另一個變化率. 例1 一氣球從離開觀察員500 m處離地面鉛直上升,其速度為,當氣球高度為500 m時,觀察員視線的仰角增加率是多少? 解 設氣球上升分鐘后其高度為,觀察員視線的仰角為,則 . 上式兩邊對求導,可得 . 當時,,即.又因為,所以 . 即此時觀察員視線的仰角增加率是. 例2 平靜的水面由于石頭的落入而產(chǎn)生同心波紋,如果最外一圈波紋半徑的增大率總是,問在末水面擾動面積的增大率是多少? 解 設時最外一圈波紋半徑為,此時水面擾動面積為,則 . 上式兩邊對求導,可得 . 當時,.又因為,所以, . 即在末水面擾動面積的增大率是 5.2 經(jīng)濟學上的應用 5.2.1 邊際與邊際分析 在經(jīng)濟學中,邊際概念是與導數(shù)密切相關的一個經(jīng)濟學概念,它反映的是一種經(jīng)濟變量相對于另一種經(jīng)濟變量的變化率. 定義2 設函數(shù)在可導,則稱導函數(shù)為的邊際函數(shù).稱為邊際函數(shù)在處的邊際函數(shù)值. 下面介紹經(jīng)濟分析中幾個常用的邊際函數(shù): 1. 邊際成本 定義3 總成本函數(shù)的導數(shù)稱為邊際成本. 邊際成本表示當已生產(chǎn)了個單位產(chǎn)品時,再增加一個單位產(chǎn)品使總成本增加的數(shù)量. 例3 設生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位的總成本為,試求當時的總成本及邊際成本,并解釋邊際成本的經(jīng)濟意義. 解 由,可得邊際成本函數(shù)為 . 當時,總成本為,邊際成本為. 經(jīng)濟意義:當產(chǎn)量為10個單位時,再增加一個單位產(chǎn)量,總成本需再增加5個單位. 2. 邊際收益 定義4 總收益函數(shù)的導數(shù)稱為邊際收益. 邊際收益表示銷售個單位產(chǎn)品后,再多銷售一個單位產(chǎn)品時所增加的總收益. 例4 某產(chǎn)品的價格與銷售量的關系為,求時的總收益及邊際收益,并解釋邊際收益的經(jīng)濟意義. 解 總收益函數(shù)為 , 邊際收益函數(shù)為 . 當時,總收益為,邊際收益為. 經(jīng)濟意義:當銷售量為30個單位時,再多銷售一個單位產(chǎn)品,總收益將減少2個單位(或者說,再少銷售一個單位產(chǎn)品,總收益將少損失2個單位). 3. 邊際利潤 定義5 總利潤函數(shù)的導數(shù)稱為邊際利潤. 邊際利潤表示若已經(jīng)生產(chǎn)了個單位的產(chǎn)品,再多生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品時所增加的總利潤. 例5 某煤炭公司每天生產(chǎn)煤噸的總成本函數(shù)為 , 如果每噸煤的銷售價為490元,求 (1)邊際成本; (2)總利潤函數(shù)以及邊際利潤; (3)當噸時的邊際利潤,并解釋其經(jīng)濟意義. 解 (1)由,可得邊際成本為 . (2)因為總收入函數(shù)為,所以總利潤函數(shù)為 , 故邊際利潤為 . (3)當噸時,邊際利潤為. 經(jīng)濟意義:當每天煤的產(chǎn)量在1000噸的基礎上再增加一噸時,總利潤沒有增加. 5.2.2 彈性與彈性分析 彈性概念是經(jīng)濟學中的另一個重要概念,它是用來定量地描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的反應程度. 定義6 設函數(shù)在點處可導,函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)在與兩點間的彈性,或兩點間的相對變化率. 當時,的極限 稱為函數(shù)在點處的彈性或相對變化率,記為或. 對于一般的,如果可導,且,則有 , 它是的函數(shù),稱之為的彈性函數(shù),簡稱彈性. 注:表示在點處,當改變時,函數(shù)改變. 下面介紹經(jīng)濟分析中常見的彈性函數(shù): 1. 需求的價格彈性 定義7 設某商品的需求函數(shù)(表示商品價格,表示需求量)在點處可導,,由于一般情形下單調減少,和符號相反,且為正數(shù),故和均為非正數(shù),為了用正數(shù)表示彈性,我們稱 為該商品在和兩點間的需求的價格彈性.稱 為該商品在點處的需求的價格彈性函數(shù),簡稱為需求彈性. 根據(jù)需求彈性的大小,可分為下面三種情況: (1)當時,稱需求富有彈性,此時需求變動的幅度大于價格變動的幅度,價格變動對需求量的影響較大. (2)當時,稱需求有單位彈性,此時需求變動的幅度等于價格變動的幅度. (3)當時,稱需求缺乏彈性,此時需求變動的幅度小于價格變動的幅度,價格變動對需求量的影響不大. 例6 已知某商品的需求函數(shù)為,求: (1),并解釋其經(jīng)濟意義; (2)需求彈性函數(shù); (3)時的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟意義. 解 (1)當時,有.當時,有,從而 , 故 . 其經(jīng)濟意義:當商品價格從30降到25時,在該區(qū)間內,價格從30每降低1%,需求量從40平均增加1.2%. (2)因為,所以需求彈性函數(shù) . (3)時的需求彈性為. 其經(jīng)濟意義:當時,價格每上漲(下跌)1%,需求量則減少(增加)1%. 2. 供給的價格彈性 定義8 設某商品的供給函數(shù)(表示商品價格,表示供給量)在點處可導,,則稱 為該商品在和兩點間的供給彈性.稱 為該商品在點處的供給的價格彈性函數(shù),簡稱為供給彈性. 注:由于供給函數(shù)一般為價格的遞增函數(shù),故當價格上漲時,供給量相應增加;當價格下跌時,供給量相應減少. 例7 設某商品的供給函數(shù)為,求: (1)供給彈性函數(shù); (2)當時的供給彈性,并解釋其經(jīng)濟意義. 解 (1)因為,所以供給彈性函數(shù)為 . (2)時的供給彈性為. 其經(jīng)濟意義:當時,價格再上漲(下跌)1%,供應量將增加(減少)6%. 3. 收益的價格彈性 定義9 設某商品的需求函數(shù)為可導函數(shù)(表示商品價格,表示需求量),則收益關于價格的函數(shù)為,稱 為該商品在點處的收益的價格彈性函數(shù),簡稱為收益彈性. 例8 已知某商品的需求函數(shù)為,求: (1)該商品的收益彈性函數(shù); (2)時的收益彈性,并解釋其經(jīng)濟意義. 解 (1)商品的收益函數(shù)為,從而收益彈性函數(shù)為 . (2)時的收益彈性為. 其經(jīng)濟意義:當時,價格再上漲(下跌)1%,總收益將減少(增加)0.5%. 習題2-5 1. 氣球充氣時,其半徑以的速度增大,假設在充氣過程中氣球始終保持球形,求時氣球體積的變化率. 2. 注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中,其速率為,當水深為時,其表面上升的速率為多少? 3. 已知某商品的成本函數(shù)為,求當時的總成本及邊際成本. 4. 設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其中為價格,為銷售量,求銷售量為15個單位時的總收益和邊際收益. 5. 已知某商品的需求函數(shù)為,求: (1),并解釋其經(jīng)濟意義; (2)需求彈性函數(shù); (3)、和,并解釋其經(jīng)濟意義. 6. 設某商品的供給函數(shù)為,求: (1)供給彈性函數(shù); (2)當時的供給彈性,并解釋其經(jīng)濟意義. 7. 設某商品的需求函數(shù)為可導函數(shù)(表示商品價格,表示需求量),收益函數(shù)為,證明 . 8. 已知某公司生產(chǎn)經(jīng)營的某種電器的需求彈性在之間,如果該公司計劃在下一年度內將價格降低,試求這種電器的銷售量將會增加多少?總收益將會增加多少? 第6節(jié) MATLAB軟件應用 MATLAB符號工具箱中提供的函數(shù)diff可以求取一般函數(shù)的導數(shù)及高階導數(shù),也可求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù). 函數(shù)diff的調用格式如下: D= diff(fun,x,n) 參數(shù)說明:D是求得的導數(shù), fun是函數(shù)的符號表達式,x是符號變量,n是求導階數(shù),若n缺省,其默認值為1. 在MATLAB中還可以使用函數(shù)subs來計算函數(shù)在某一點的導數(shù)值. 函數(shù)subs的調用格式如下: Z=subs(fun,old,new) 參數(shù)說明:fun 是函數(shù)的符號表達式,old是符號變量,Z是在函數(shù)fun中用變量new替換old后所求得的導數(shù)值. 例1 求的導數(shù). 解 輸入命令: syms a x; daoshu=diff(log(x+sqrt(a^2+x^2)), 'x' ); daoshu=simplify(daoshu) % 使輸出的結果簡單化 輸出結果: daoshu=1/(a^2+x^2)^(1/2) 例2 求的5階導數(shù). 解 輸入命令: syms x; daoshu5=diff(exp(2*x),x,5) 輸出結果: daoshu5=32*exp(2*x) 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù). 解 輸入命令: syms x y; z=exp(y)+x*y-exp(1); dydx=-diff(z,x)/diff(z,y) 輸出結果: dydx=-y/(x+exp(y)) 例4 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù). 解 輸入命令: syms t x=exp(t)*cos(t); y=exp(t)*sin(t); daoshu=diff(y,t)/diff(x,t); daoshu=simplify(daoshu) 輸出結果: daoshu=(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t)) 例5 求的微分. 解 輸入命令: syms x; y=cos(3*x+2); dy=[char(diff(y)),'dx'] 輸出結果: dy=-3*sin(3*x+2)dx 例6 求函數(shù)在處的導數(shù)值. 解 輸入命令: syms x f=x^3+4*sin(x); dfdx=diff(f,x); f_pi=subs(dfdx,x,pi) 輸出結果: f_pi=3*pi^2-4 總習題2 (A) 1. 一物體的運動方程為,求下列各值: (1)物體在到這段時間的平均速度; (2)物體在時的速度. 2. 已知函數(shù),,求. 3. 討論下列函數(shù)在點的連續(xù)性和可導性. (1); (2). 4. 設在點處可導,求的值. 5. 求曲線在點處的切線方程和法線方程. 6. 求下列函數(shù)的導數(shù). (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16); (17); (18); (19); (20). 7. 求下列函數(shù)的二階導數(shù). (1); (2); (3); (4). 8. 求由方程所確定的隱函數(shù)在處的導數(shù). 9. 求曲線在的相應點處的切線方程和法線方程. 10. 求下列函數(shù)的微分. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8). 11. 半徑為的金屬圓片加熱后,其半徑伸長了,求其面積增大的精確值和近似值? 12. 一長度為的梯子斜靠在墻上順墻下滑.當梯子下端在離墻時沿著地面以的速率離墻時,問此時梯子上端下降的速率是多少? 13. 溶液從深,頂直徑為的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中.已知開始時漏斗中盛滿了溶液,且當溶液在漏斗中深為時,其表面下降的速率為.問此時圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少? 14. 設某廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為元,生產(chǎn)單位產(chǎn)品的可變成本為元,如果每單位產(chǎn)品的售價為元,求: (1)邊際成本; (2)總利潤函數(shù)以及邊際利潤; (3)邊際利潤為零的產(chǎn)量. 15. 設某商品的需求函數(shù)為(其中為價格),求: (1)需求彈性函數(shù); (2)時的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟意義. (B) 一、選擇題. 1.(2007、數(shù)學一)設函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯誤的是( ). (A)若存在,則 (B)若存在,則 (C)若存在,則存在 (D)若存在,則存在 2.(2012、數(shù)學一)設函數(shù),其中為正整數(shù),則( ). (A) (B) (C) (D) 3.(2011、數(shù)學二)設函數(shù)在處可導,且,則( ). (A) (B) (C) (D) 4. (2006、數(shù)學二)設函數(shù)可微,,則( ). (A) (B) (C) (D) 5.(2007、數(shù)學三)設某商品的需求函數(shù)為,其中分別表示需求量和價格,如果該商品需求彈性的絕對值等于1,那么商品的價格是( ). (A)10 (B)20 (C)30 (D)40 二、填空題. 1.(2006、數(shù)學三)設函數(shù)在的某鄰域內可導,且,則_______. 2.(2010、數(shù)學二)函數(shù)在處的階導數(shù)_______. 3.(2011、數(shù)學三)曲線在點處的切線方程為_______. 4.(2008、數(shù)學一)曲線在點處的切線方程為_______. 5.(2013、數(shù)學二)設上對應于的點處的法線方程為______. 6.(2007、數(shù)學二)曲線上對應于的點處的法線斜率為_______. 7. (2014、數(shù)學二)曲線的極坐標方程為,則在點處的切線的直角坐標方程為______. 8.(2013、數(shù)學一)設,為參數(shù),則_______. 9.(2012、數(shù)學二)設是方程所確定的隱函數(shù),則_______. 10. (2012、數(shù)學三)設函數(shù),則_______. 11.(2009、數(shù)學二)設是方程所確定的隱函數(shù),則_______. 12.(2006、數(shù)學二)設是方程所確定的隱函數(shù),則_______. 13.(2010、數(shù)學二)已知一個長方形的長以的速率增加,寬以的速率增加,則當時,它的對角線增加的速率為_______. 14.(2014、數(shù)學三)設某商品的需求函數(shù)為,其中為商品價格,則該商品的邊際收益為______. 15.(2009、數(shù)學三)設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其對價格的彈性為,則當需求量為件時,價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加______元. 三、解答題. 1.(2007、數(shù)學二)已知函數(shù)具有二階導數(shù),且,函數(shù)由方程確定,設,求. 50- 配套講稿:
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- 同濟大學 高等數(shù)學 第二 導數(shù) 微分
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