蘇科版八年級數(shù)學上冊 探索全等三角形的條件 一課一練習題2（解答題含答案）

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1、1.3《探索全等三角形的條件》習題2 一、解答題 1．如圖，已知點C是線段AB上一點，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE． （1）說明△ACD與△BEC全等的理由；（2）說明AB＝AD+BE的理由． 2．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°， ∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)． 3．綜合與實踐 閱讀以下材料： 定義：兩邊分別相等且夾角互補的兩個三角形叫做“互補三角形”． 用符號語言表示為：如圖①，在△ABC與△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E

2、=180°，BC=EF，那么△ABC與△DEF是互補三角形． 反之，“如果△ABC與△DEF是互補三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的． 自主探究 利用上面所學知識以及全等三角形的相關知識解決問題： （1）性質(zhì)：互補三角形的面積相等 如圖②，已知△ABC與△DEF是互補三角形． 求證：△ABC與△DEF的面積相等． 證明：分別作△ABC與△DEF的邊BC，EF上的高線，則∠AGC=∠DHE=90°． …… (將剩余證明過程補充完整) （2）互補三角形一定不全等，請你判斷該說法是否正確，并說明理由

3、，如果不正確，請舉出一個反例，畫出示意圖． 4.已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求證：△BEC≌△DEA；（2）求證：BC⊥FD． 5.如圖，點在直線的同側(cè)，過作，垂足為，延長至，使得，連接交直線于點．（1）求證：（2）在直線上任意一點（除點外），求證： 6.如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù). 7.如圖，，且，，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)計算圖中實線所圍成的圖

4、形的面積多少. 8. 如圖，已知△ABC≌△DBE，點D在AC上，BC與DE交于點P，若AD=DC=2.4，BC=4.1．（1）若∠ABE=162°，∠DBC=30°，求∠CBE的度數(shù)；（2）求△DCP與△BPE的周長和． 9.如圖，已知∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共邊，所以就可以判定△ABC≌△ACD，你認為這種說法正確嗎?如果不正確，請說明理由． 10.如圖，在中，，，點是內(nèi)部一點，且，證明：． 11.如圖，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，

5、直線l經(jīng)過點C且與邊AB相交．動點P從點A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動；動點Q從點B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動．點P和點Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點同時出發(fā)并開始計時，當點P到達終點B時計時結(jié)束．在某時刻分別過點P和點Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，設運動時間為t秒，則當t＝_____秒時，PEC與QFC全等． 12.如圖，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．設點Q的運動速度為xcm/s，若使得△A

6、CP與△BPQ全等，則x的值為_____． 13.如圖 1，點 P、Q 分別是等邊△ABC 邊 AB、BC 上的動點（端點除外），點 P 從頂點 A、點 Q 從頂點 B 同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP 交于點 M． （1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當點 P、Q 分別在 AB、BC 邊上運動時，∠QMC 變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖 2，若點 P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線 AQ、CP交點為M，則∠QMC 變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)． 14.如圖（

7、1），在ABC中，，BC=9cm, AC=12cm, AB=15cm.現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊ACCBBA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為t s．（1）如圖（1），當t=______時，△APC的面積等于△ABC面積的一半； （2）如圖（2），在△DEF中，，DE=4cm, DF=5cm, ． 在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著ABBCCA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點Q的運動速度． 15.如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm.點P從A點出發(fā),

8、沿路徑向終點B運動，點Q從B點出發(fā),沿路徑向終點A運動.點P 和Q分別和的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過點P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.則點P運動多少秒時，△PEC和△CFQ全等？請說明理由. 16.把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD，以D為頂點作，交邊AC，BC于點M，N．（1）如圖（1），若，，當繞點D旋轉(zhuǎn)時，AM，MN，BN三條線段之間有何種數(shù)量關系？證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），當時，AM，MN，BN三條線段之間有何數(shù)量關系？證明你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條

9、件下，若將M，N分別改在CA，BC的延長線上，完成圖（3），其余條件不變，則AM，MN，BN之間有何數(shù)量關系（直接寫出結(jié)論，不必證明）． 17.（1）如圖1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是　 ??；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，

10、且∠EDF=∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關系，并加以證明． 18.現(xiàn)給出一個結(jié)論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結(jié)論是正確的，用圖形語言可以表示為：如圖1在中，,若點D為AB的中點，則． 請結(jié)合上述結(jié)論解決如下問題：已知，點P是射線BA上一動點（不與A,B重合）分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點（1）如圖2，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系____________；QE與QF的數(shù)量關系是__________（2）如圖3，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明．

11、(3)如圖4，當點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路． 答案 一、解答題 1．（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE， 在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC（AAS）； （2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE． 2．證明： 在△ABC和△DEC中，， （2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°， ∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠

12、5＝112.5°． 3．（1）∵△ABC與△DEF是互補三角形，∴∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF． 又∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠ACG=∠E， 在△AGC與△DHE中，∴△AGC≌△DHE（AAS） ∴AG=DH．∴，即△ABC與△DEF的面積相等． （2）不正確．反例如解圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴△ABC與△DEF是互補三角形．∴互補三角形一定不全等的說法錯誤． 4.證明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°， 在Rt△BEC與Rt△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（HL）； （2）

13、∵由（1）知，△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D． ∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC． 5.（1）， 在和中 （2）在上取一點，連接，， 在中， 6.解：延長AE交DC邊于點F，如圖： ∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE與Rt△CBD中， ∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵∠AEB為△AEC的外角，∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°， ∴∠BDC＝75°．故答案為：75°．

14、7.∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∴∠FEA=∠BAG， 在△FEA和△GAB中，，∴△FEA≌△GAB(AAS)，∴AG=EF=6，AF=BG=2， 同理可證：△CBG≌△DCH(AAS)，∴CG=DH=4，BG=CH=2， ∴FH=2+6+4+2=14，∴梯形EFHD的面積=×(EF+DH)×FH=×(6+4)×14=70， ∴陰影部分的面積=S梯形EFHD?S△EFA?S△ABC?S△DHC=70?×6×2?×(6+4)×2?×4×2=50.故答案為50. 8.解：（1）∵

15、∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°， ∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度數(shù)為66°； （2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AD+DC=4.8，BE=BC=4.1， △DCP和△BPE的周長和=DC+DP+CP+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=15.4． 9.解：不正確，因為AC不是△ABC和△ACD的對應邊，故不能判定△ABC≌△ACD． 10.證明：如圖，在線段上取點，使得，連接， ，，，， 在中，，，， ，，， 在和中，， ，，是等腰直角三角形，， ，．

16、 11.解：由題意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t， ①如圖1，當△PEC≌△CFQ時，則PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2， ②如圖2，當點Q與P重合時，△PEC≌△QFC全等， 則PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝， ③如圖3，當點Q與A重合時，△PEC≌△CFQ， 則PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6， 綜上所述：當t＝2秒或秒或6秒時，△PEC與△QFC全等， 故答案為：2或或6． 12.當△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵運動時間相同，∴P，Q的運動速度也相同，∴x＝

17、2． 當△ACP≌△BQP時，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝ 故答案為2或． 13.（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA， 又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ， 在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）； （2）解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變． 理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60° （3）解：點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變． 理由：∵△ABQ≌△CAP，∴

18、∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°?∠PAC＝180°?60°＝120°． 14.（1） ∵△APC的面積等于△ABC面積的一半 當P點運動到BC邊上時，此時 即 此時 當P點運動到AB邊上時，作PQ⊥AC于Q 此時即 ∴此時P點在AB邊的中點，此時 綜上所述，當t=或時，△APC的面積等于△ABC面積的一半 （2）∵，DE=4cm, DF=5cm, 此時P點運動的時間為 ∵P,Q同時出發(fā)，所以Q運動的時間也是∴Q運動的速度為 15.設運動時間為秒時，和全等， ∵和全等，∴， 有

19、三種情況：如圖1所示，在上，在上，，，∴，∴. （2）如圖2所示，,都在上，此時,重合，，，∴，∴. （3）如圖3所示，當?shù)竭_點(和點重合)，在上時，此時點停止運動， ∵，，，∴，∴.∵，∴符合題意. 答：點運動1秒或3.5秒或12秒時，和全等. 16.（1）．證明如下：如圖，延長CB到E，使，連接DE． ，．，． 在和中，，，，． ，，，． 在和中，，，． ，； （2）．證明如下：如圖，延長CB到E，使，連接DE． ，．，，． 在和中，，，，． ，，，， ，，． 在和中，，，． ，； （3）補充完成題圖，如圖所示． ．證明如下：如上圖，在CB

20、上截取BE=AM，連接DE． ，，，． ，． 在和中，，， ，． ，，． 在和中，，，． ，． 17.（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC=AB=4， ∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5； （2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H． ∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH， ∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH， ∵CH=BE，F(xiàn)H=EF，∴BE+CF＞

21、EF； （3）結(jié)論：AF+EC=EF．理由：延長BC到H，使得CH=AF． ∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH， ∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD（SAS），∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH， ∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH， ∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH（SAS），∴EF=EH， ∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC． 18.（1）AE//BF；QE=QF （2）QE=QF 證明：延長EQ交BF于D， , （3）當點P在線段BA延長線上時，此時（2）中結(jié)論成立 證明：延長EQ交FB的延長于D 因為AE//BF所以 EQ=QF