高數(shù)下冊第七章微分方程習題課

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1、1,一階微分方程的,習題課 (一),一、一階微分方程求解,二、解微分方程應(yīng)用問題,解法及應(yīng)用,第七章,2,,基本概念,一階方程,類 型 1.直接積分法 2.可分離變量 3.齊次方程 4.可化為齊次 方程 5.全微分方程 6.線性方程,7.伯努利方程,可降階方程,線性方程 解的結(jié)構(gòu) 定理1;定理2 定理3;定理4,歐拉方程,二階常系數(shù)線性 方程解的結(jié)構(gòu),特征方程的根 及其對應(yīng)項,f(x)的形式及其 特解形式,高階方程,,,,,,待定系數(shù)法,特征方程法,一、主要內(nèi)容,,3,,,微分方程解題思路,一階方程,高階方程,分離變量法,全微分方程,常數(shù)變易法,特征方程法,待定系數(shù)法,非全微分方程 非變量可分

2、離,冪級數(shù)解法,,,,,,,,,,,,降階,作變換,作變換,積分因子,,,,4,一、一階微分方程求解,1. 一階標準類型方程求解,關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟,2. 一階非標準類型方程求解,(1) 變量代換法 代換自變量,代換因變量,代換某組合式,(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程,四個標準類型:,可分離變量方程,,齊次方程,,線性方程,,全微分方程,5,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故為分離變量方程:,通解,6,方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 ,,令 y = u x ,化為分,離變量方程.,,,調(diào)換自變量與因變量的地位 ,,用線性方程通解公式求解 .,化為

3、,7,方法 1 這是一個齊次方程 .,方法 2 化為微分形式,故這是一個全微分方程 .,8,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 將方程改寫為,(貝努里方程),(分離變量方程),原方程化為,,,,,9,令 y = u t,(齊次方程),令 t = x 1 , 則,,可分離變量方程求解,,化方程為,10,變方程為,兩邊乘積分因子,,用湊微分法得通解:,,,,11,例3.,設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x), g(x) 在(,+),內(nèi)滿足以下條件:,(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;,(2003考研),(2) 求出F(x) 的表

4、達式 .,解: (1),所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:,12,(2) 由一階線性微分方程解的公式得,,,于是,13,練習題:,(題3只考慮方法及步驟),P326 題2 求以,為通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P327 題3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分離變量方程 :,提示: 這是一階線性方程 , 其中,P326 題1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10),14,提示: 可化為關(guān)于 x 的一階線性方程,提示: 為貝努里方程 , 令,提示: 為全微分方程 , 通解,提示: 可化為貝努里方程,令,微

5、分倒推公式,15,原方程化為,, 即,則,故原方程通解,,提示: 令,16,,例4. 設(shè)河邊點 O 的正對岸為點 A , 河寬 OA = h,,一鴨子從點 A 游向點,二、解微分方程應(yīng)用問題,利用共性建立微分方程 ,,利用個性確定定解條件.,為平行直線,,且鴨子游動方向始終朝著點O ,,,提示: 如圖所示建立坐標系.,設(shè)時刻t 鴨子位于點P (x, y) ,,設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為b,,求鴨子游動的軌跡方程 .,O ,,水流速度大小為 a ,,兩岸,,則,關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學模型,,要點:,17,定解條件,由此得微分方程,即,,鴨子的實際運動速度為,( 求解過程參考P273例3 ),

6、( 齊次方程 ),,18,,P327 題6. 已知某車間的容積為,的新鮮空氣,問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在 30 分鐘后使車間空,的含量不超過 0.06 % ?,提示: 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入,t 時刻車間空氣中含,則在,內(nèi)車間內(nèi),兩端除以,并令,與原有空氣很快混合均勻后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,,,( 假定輸入的新鮮空氣,輸入 ,,的改變量為,19,t = 30 時,解定解問題,,因此每分鐘應(yīng)至少輸入 250,新鮮空氣 .,初始條件,,得,k = ?,20,二階微分方程的,習題課 (二),二、微分方程的應(yīng)用,解法及應(yīng)用,一、兩類二階微分方程的解法,第七章,21,一、兩類二階微分方程的解法,1

7、. 可降階微分方程的解法 降階法,,令,,令,,逐次積分求解,22,2. 二階線性微分方程的解法,常系數(shù)情形,齊次,非齊次,,代數(shù)法,歐拉方程,,練習題: P327 題 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8,,23,解答提示,P327 題2 求以,為通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,P327 題3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,則方程變?yōu)?24,特征根:,齊次方程通解:,令非齊次方程特解為,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齊次項改為,提示:,原方程通解為,特解設(shè)法有何變化 ?,25,P327 題4

8、(2) 求解,提示: 令,則方程變?yōu)?積分得,利用,再解,并利用,定常數(shù),思考,若問題改為求解,則求解過程中得,問開方時正負號如何確定?,,,26,P327 題8 設(shè)函數(shù),在 r 0,內(nèi)滿足拉普拉斯方程,二階可導(dǎo), 且,試將方程化為以 r 為自變,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用對稱性,,即,( 歐拉方程 ),原方程可化為,,27,,解初值問題:,則原方程化為,通解:,利用初始條件得特解:,28,特征根 :,例1. 求微分方程,提示:,故通解為,滿足條件,解滿足,處連續(xù)且可微的解.,,設(shè)特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,,29,處的銜接條件可知,,解滿足,故所求解

9、為,其通解:,,,定解問題的解:,30,例2.,且滿足方程,提示:,則,問題化為解初值問題:,最后求得,,,,31,思考: 設(shè),提示: 對積分換元 ,,則有,解初值問題:,,答案:,32,的解.,例3.,設(shè)函數(shù),內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo),(1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程,變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;,(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件,數(shù), 且,解:,上式兩端對 x 求導(dǎo), 得:,(1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知,(2003考研),33,代入原微分方程得,,(2) 方程的對應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)的特解為,代入得 A0,,從而得的通解:,34,由初始條件,得,故所求初值問題的解為

10、,35,二、微分方程的應(yīng)用,1 . 建立數(shù)學模型 列微分方程問題,建立微分方程 ( 共性 ),利用物理規(guī)律,利用幾何關(guān)系,確定定解條件 ( 個性 ),初始條件,邊界條件,可能還要銜接條件,,,2 . 解微分方程問題,3 . 分析解所包含的實際意義,36,例4.,解:,欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,,為使其擺脫地球,引力,,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,,試計算此速度.,設(shè)人造衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為 M ,,衛(wèi)星,的質(zhì)心到地心的距離為 h ,,由牛頓第二定律得:,,,(G 為引力系數(shù)),則有初值問題:,又設(shè)衛(wèi)星的初速度,,37,代入原方程, 得,,兩邊積分得,利用初始條件, 得,因此,注意到

11、,38,為使,因為當h = R (在地面上) 時, 引力 = 重力,,即,,代入即得,這說明第二宇宙速度為,39,求質(zhì)點的運動規(guī),例5.,上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時間 t 成正比 ( 比例系數(shù),提示:,兩邊對 s 求導(dǎo)得:,牛頓第二定律,,,,,,為 k),,,開方如何定 + ?,已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點作直線運動, 作用在質(zhì)點,40,例6. 一鏈條掛在一釘子上 , 啟動時一端離釘子 8 m ,,另一端離釘子 12 m , 如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦,力, 求鏈條滑下來所需的時間 .,解: 建立坐標系如圖.,設(shè)在時刻 t , 鏈條較長一段,下垂 x m ,,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條

12、受力,由牛頓第二定律, 得,,,41,由初始條件得,故定解問題的解為,解得,,當 x = 20 m 時,,(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 , 定解問題的,數(shù)學模型是什么 ?,42,摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 時的數(shù)學模型為,不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為,,,此時鏈條滑下來 所需時間為,43,,練習題,從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測,要求, 需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函,數(shù)關(guān)系.,設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為 m,,體積為B , 海水比重為 ,,儀器所受阻力與下沉速度

13、成正,比 , 比例系數(shù)為 k ( k 0 ) ,,試建立 y 與 v 所滿足的微分,方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研 ),提示: 建立坐標系如圖.,質(zhì)量 m 體積 B,由牛頓第二定律,重力,浮力,阻力,,,,,注意:,44,初始條件為,用分離變量法解上述初值問題得,,質(zhì)量 m 體積 B,得,45,備用題,有特,而對應(yīng)齊次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所給二階非齊次方程為,方程化為,,1. 設(shè)二階非齊次方程,一階線性非齊次方程,46,故,再積分得通解,,復(fù)習: 一階線性微分方程通解公式,47,2.,(1) 驗證函數(shù),滿足微分方程,(2) 利用(1)的結(jié)果求冪

14、級數(shù),的和.,解: (1),(02考研),48,所以,(2) 由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足,,其特征方程:,特征根:,齊次方程通解為,設(shè)非齊次方程特解為,代入原方程得,故非齊次方程通解為,49,代入初始條件可得,故所求級數(shù)的和,50,3.,(94,) 設(shè),為一全微分方程，求,通解為:,具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,，且,及此一全微分方程的通解。,4. (02,),設(shè),的特解。當 時，函數(shù) 的極限（ ).,是二階常系數(shù)線性微分方程,滿足條件,(A)不存在；(B) 等于1 ；(C)等于2 ； (D) 等于 3 。,51,5.,(97,) 設(shè)函數(shù),求 。,通解為:,具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而,，滿足偏微分方程,4. (93,),試確定常數(shù) ，并求該方程的通解。,設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程,的一個特解為,