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1、2020年9月6日星期日,1,高等數學,北京工商大學楊益民,2020年9月6日星期日,2,第三節(jié) 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,一般地，若曲面S與三元方程 F(x,y,z)=0 滿足：,（1）曲面S上任一點的坐標都滿足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程 F(x,y,z)=0 ；,則稱：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖像。,兩個基本問題：,（2）已知F(x, y, z) = 0 ，問它表示什么曲面？,（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？,2020年9月6日星期日,3,一些特殊曲面,
2、例3 方程 表示 什么圖形？,用截痕法討論幾種特殊曲面（特別二次曲面）,例1 求球心在點 半徑為R的球面方程。,,例2 已知空間兩點A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線段AB的垂直平分 面的方程。,一般地，三元二次方程（不含交叉項且平方項系數相同）,表示空間的一張球面。,2020年9月6日星期日,4,例4 方程 的圖形是怎樣的？,根據題意有,圖形上不封頂，下封底。,解,,,2020年9月6日星期日,5,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線分別稱為旋
3、轉曲面的母線和旋轉軸。,播放,2020年9月6日星期日,6,例5 證明以oz軸為旋轉軸，yoz坐標面上的已知曲線,為母線所產生的旋轉曲面S的方程為：,證明：,旋轉曲面如圖,設M(x, y, z)為旋轉曲面S上任意一點，,顯然，M一定是由母線C上某點M1(0, y1, z1)旋轉得到，,代入母線方程即得證明。,,,即,,2020年9月6日星期日,7,注意：,1. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉得旋轉曲面,2. yoz平面上的母線 繞oy軸旋轉得旋轉曲面,3. xoy平面上的母線 繞ox軸旋轉得旋轉曲面,2020年9月6日星期日,8,例6 求xoz坐標面
4、的上雙曲線C： 分別繞x軸和z軸,旋轉雙曲面,解：,一周生成的旋轉曲面的方程。,直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫圓錐面，兩直線的交點叫圓錐面的頂點，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角。,2020年9月6日星期日,9,解:,圓錐面方程,例7 試建立頂點在坐標原點，旋轉軸為z軸，半頂角為的圓錐面方程。,圓錐面的母線方程為,,2020年9月6日星期日,10,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,2020年9月6日星期日,11,柱面舉例,,,,,拋物柱面,平面,,202
5、0年9月6日星期日,12,一般地，已知準線方程,母線平行于 z 軸的柱面方程為：,注意：方程 中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母線平行于z軸的柱面。,一般地，在空間直角坐標下,（缺z），,表示母線？，準線為？的柱面。,（缺y），,表示母線？，準線為？的柱面。,（缺x），,表示母線？，準線為？的柱面。,2020年9月6日星期日,13,問：,（1） 表示什么曲面？,（2） 表示什么曲面？,回顧,1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。,2. 表示一張球面。,3. 表示空間的
6、一張平面。,4. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉得旋轉曲面,2020年9月6日星期日,14,四、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。,目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。,即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。,5. xoy平面上的準線方程 母線平行于 z 軸的,柱面方程為：,2020年9月6日星期日,15,（一）橢球面,橢球面與三個坐標面的交線：,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面x=x1和y=y1 的交線也是橢圓,2020年9月6日星期日,16,橢球面的幾種特殊情況：,旋
7、轉橢球面,由橢圓 或 繞z軸旋轉而成。,球面,方程可寫為,2020年9月6日星期日,17,（二）拋物面,（p與q同號）,（1）橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標面 xoy (z=0) 去截；,設p與q都大于零。,（2）用平面 去截；,（3）用坐標面 xoz 或 yoz 去截；,（4）用平面 去截；,2020年9月6日星期日,18,橢圓拋物面的圖形如下：,特殊地：當p=q時，方程變?yōu)?旋轉拋物面,2020年9月6日星期日,19,（2）雙曲拋物面（馬鞍面）,( p與q同號 ),用截痕法討論：,設,2020年9月6日星期日,20,（三）雙曲面,
8、單葉雙曲面,（1）,2020年9月6日星期日,21,雙葉雙曲面,（2）,2020年9月6日星期日,22,習題83 4，5，7，8，9，10，11,2020年9月6日星期日,23,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,24,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,25,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲
9、面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,26,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,27,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,28,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,29,,二
10、、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,30,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,31,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,32,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲
11、線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,33,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,2020年9月6日星期日,34,,二、旋轉曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。,,2020年9月6日星期日,35,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,2020年9月6日星期日,36,定
12、義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,37,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,38,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,39,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C
13、 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,40,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,41,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,42,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6
14、日星期日,43,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,44,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,45,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,2020年9月6日星期日,46,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動的動直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,,
曲面及其方程、二次曲面
