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同濟大學線性代數(shù)第一章ppt課件

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同濟大學線性代數(shù)第一章ppt課件

第一章 行列式,§1 二階與三階行列式,1. 二階行列式,二元線性方程組,當,時,方程組有唯一解,用消元法,得,記,則有,于是,二階行列式,記作,也稱為方程組的系數(shù)行列式。,行標,列標,(1,2) 元素,對角線法則:,例. 解方程組,解:,2. 三階行列式,類似地,討論三元線性方程組,為三階行列式, 記作,稱,對角線法則:,例:,§2 全排列與逆序數(shù),定義1:把 n 個不同的元素排成的一列, 稱為這 n 個元素的一個全排列, 簡稱排列。,把 n 個不同的元素排成一列, 共有 Pn個排列。,P3 = 3×2×1 = 6,例如:1, 2, 3 的全排列,123,231,312,132,213,321,共有3×2×1 = 6種,即,一般地,Pn= n·(n-1)··3·2·1= n!,P3 = 3×2×1 = 6,標準次序:標號由小到大的排列。,定義2:,在n個 元素的一個排列中,若某兩個元素 排列的次序與標準次序不同,就稱這兩個 數(shù)構成一個逆序,一個排列中所有逆序的 總和稱為這個排列的逆序數(shù)。,一個排列的逆序數(shù)的計算方法:,設 p1 p2 pn 是 1,2,n 的一個排列,,用 ti 表示元素 pi 的逆序數(shù),即排在 pi 前面并比,t = t1 + t2 + + tn,pi 大的元素有 ti 個,則排列的逆序數(shù)為,例4:求排列 32514 的逆序數(shù)。,解:,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。,例如:123 t = 0 為偶排列,,312 t = 2 為偶排列。,321 t = 3 為奇排列,,§3 n 階行列式的定義,觀察二、三階行列式,得出下面結論:,每項都是處于不同行不同列的n個元素的乘積。 2. n 階行列式是 n!項的代數(shù)和。 3. 每項的符號都是由該項元素下標排列的奇偶性 所確定。,定義1: n! 項,的和,稱為 n 階行列式 (n1),記作,例1:寫出四階行列式中含有因子,的項。,例2:,計算四階行列式,D =,acfh,+ bdeg, adeh, bcfg,重要結論:,(1),上三角形行列式,(2),下三角形行列式,(3) 對角行列式,(4) 副對角行列式,行列式的等價定義,§5 行列式的性質(zhì),稱 DT 為 D 的轉置行列式。,設,則,D 經(jīng)過“行列互換”變?yōu)?DT,性質(zhì)1:行列式與它的轉置行列式相等。,證明:設,則,由行列式定義,性質(zhì)2:互換行列式的兩行 ( 列 ),行列式變號。,互換 s、t 兩行:,互換 s、t 兩列:,“運算性質(zhì)”,推論:若行列式有兩行(列)相同, 則行列式為 0 。,性質(zhì)3:用非零數(shù) k 乘行列式的某一行(列)中 所有元素,等于用數(shù) k 乘此行列式。,“運算性質(zhì)”,用 k 乘第 i 行:,用 k 乘第 i 列:,推論:行列式中某一行(列)的公因子可以提到 行列式符號外面。,性質(zhì)4:若行列式有兩行(列)的對應元素成比 例,則行列式等于0 。,性質(zhì)5:若某一行是兩組數(shù)的和,則此行列式就等 于如下兩個行列式的和。,性質(zhì)6:行列式的某一行(列)的所有元素乘以同 一數(shù) k 后再加到另一行(列)對應的元素 上去,行列式的值不變。,用數(shù) k 乘第 t 行加到第 s 行上: 用數(shù) k 乘第 t 列加到第 s 列上:,“運算性質(zhì)”,利用行列式性質(zhì)計算:,(化為三角形行列式),例1:計算,例2:計算,“行等和”行列式,例10:設,證明:,0,證明:利用行的運算性質(zhì) r 把,化成下三角形,,再利用列的運算性質(zhì) c 把,化成下三角形,,對 D 的前 k 行作運算 r,后 n 列作運算 c, 則有,例,§6 行列式按行(列)展開,問題:一個 n 階行列式是否可以轉化為若干個 n1 階行列式來計算?,對于三階行列式,容易驗證:,定義1:在 n 階行列式中,把元素,所在的第 i 行,和第 j 列劃去后,余下的 n1 階行列式叫,的余子式, 記為,稱為 (i, j)元素,的代數(shù)余子式。,做 (i, j) 元素, 同時,例如:,考慮( 2, 3) 元素,( 2, 3)元素的余子式,( 2, 3)元素的代數(shù)余子式,定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素與 其對應的代數(shù)余子式乘積之和,即,證明:分三種情況討論,只對行來證明此定理。,(1),利用上一節(jié)例10的結論有,(2),設 D 的第 i 行除了,把 D 轉化為 (1) 的情形,外都是 0 。,先把 D 的第 i 行依次與第 i 1行, 第 i 2行, ···, 第 1 行交換, 經(jīng)過 i 1次行交換后得,再把 第 j 列依次與第 j1列, 第 j2列, ···, 第 1 列交換, 經(jīng)過 j1次列交換后得,(3) 一般情形, 考慮第 i 行,例,或者,那么,推論:行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的 對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即,綜上,得公式,例12: 證明范德蒙德( Vandermonde )行列式,證明:用數(shù)學歸納法,(1) 當 n = 2 時,(2) 設 n1 階范德蒙德行列式成立, 則,=,有,個因子!,例:,例:,設,求,解:,例:,D,按第4列展開,然后各列的提出公因子,=,例:,D,例:,D,§7 Cramer 法則,Cramer法則:,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零,,即,則線性方程組(11)有唯一解,,其中,證明:,再把 n 個方程依次相加,得,當 D0 時,方程組(1)也即(11)有唯一的解,于是,例1:用 Cramer 法則解線性方程組。,解:,定理4:,定理4:,如果線性方程組(11)的系數(shù)行列式 D0 則(11)一定有解, 且解是唯一的。,如果線性方程組(11)無解或有兩個不同的 解,則它的系數(shù)行列式必為零。,Cramer 法則也可以敘述為,定理 4 的逆否命題是,線性方程組,非齊次與齊次線性方程組的概念:,不全為零,則稱此方程,若常數(shù)項,組為非齊次線性方程組;若,全為零,,則稱此方程組為齊次線性方程組。,齊次線性方程組,易知,,是(13)的解,稱為零解。,若有一組不全為零的數(shù)是(13)的解,稱為非零解。,定理5:,定理5:,如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 D0,則齊次線性方程組沒有非零解。,對于齊次線性方程組有,如果齊次線性方程組有非零解,,則它的系數(shù)行列式必為0。,例:問 l 取何值時,齊次線性方程組,有非零解?,解:,因齊次方程組有非零解,則 D = 0,故 l = 0, 2, 3 時齊次方程組可能有非零解。,例: 求平面上兩兩不重合的三條直線,相交于一點的條件。,解:首先,由三條直線相交于一點,故線性方程組,有唯一解。,不妨設 ( x, y, 1) 是方程組(1)的解, 則它是方程組,的非零解。于是有,其次,由三條直線相交于一點,故其中任意二條直線相交于一點, 故非齊次線性方程組,都有惟一解。于是,

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