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等比數(shù)列
一.知識(shí)點(diǎn)梳理:
1、等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì):
(1)定義:
(2)通項(xiàng)公式:
(3)求和公式:
(4)中項(xiàng)公式: 推廣:
(5)性 質(zhì): a、若m+n=p+q則 ;
b、若成等差數(shù)列 (其中),則成等比數(shù)列。
c、成等比數(shù)列。
d、 ,
2. 判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列常有三種方法:
(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù);
(2)通項(xiàng)公式法;
(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立;
(4) 若{an}為等差數(shù)列,則{}為等比數(shù)列(a>0且a≠1);
若{an}為正數(shù)等比數(shù)列,則{logaan}為等差數(shù)列(a>0且a≠1)。
二. 典型例題:
【例1】若數(shù)列中,(n是正整數(shù)),則數(shù)列的通項(xiàng)
練習(xí):1.若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列,
下列的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組.(寫出所有符合要求的組號(hào))
①S1與S2; ②a2與S3; ③a1與an; ④q與an.
其中n為大于1的整數(shù), Sn為的前n項(xiàng)和.
2.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,末項(xiàng)為,公比為,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3,a2+a3=6,則a7=( )
A.64 B.81
C.128 D.243
4.等比數(shù)列{an}中,若a1=1,a4=8,則a5=( )
A.16 B.16或-16
C.32 D.32或-32
5.已知{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,an>0,m=a5+a6,k=a4+a7,則m與k的大小關(guān)系是( )
A.m>k B.m=k
C.m
0,q≠1).
6、B [解析] 設(shè)公比為q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,
因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù),所以q=,故a1===,故選B.
7、 B [解析] 由條件知,∵∴a2>0,∴b<0,∴b=-3
8、 an=Sn-Sn-1=2n -1-[2n-1 -1]=2n-2n-1=2n-1,an2是以a12=1為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列;S=4n-1/3
9、(1)a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c組成公比為q的等比數(shù)列,所以q3=(a+b-c)/(a+b+c) ,q2=(c+a-b)/(a+b+c)
q=(b+c-a)/(a+b+c),q3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1
(2)因?yàn)閍+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比數(shù)列,公比為q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q
∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.
例題2、 解an-an-1=3n-1 將n=2,3,4,5代入得:a?-a?=31
a?-a?=32
a?-a?=33
...............
an-an-1=3n-1
將上面的式子相加得:an-a1 = 31+32+33+.......+3n-1
an = 1+31+32+33+.......+3n-1=(1/2)(3?-1)
練習(xí)1、C [解析] ∵a2,a3,a1成等差數(shù)列,∴a3=a2+a1,
∵{an}是公比為q的等比數(shù)列,∴a1q2=a1q+a1,
∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q=. ∴===.
2、C [解析] ∵a,b,c成等比數(shù)列, ∴b2=ac>0.
又∵Δ=b2-4ac=-3ac<0,∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
3、(an+2)/2=√(2Sn) Sn=(an+2)2/8 Sn+1=(an+1+2)2/8 an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2
an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0 an+12-4an+1-an2-4an=0 a(n+1)=an+4 an=-2+4n
例題3、 xSn=x+3x2+5x3+7x4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn ①
因?yàn)?Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1) ②
②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x2+x3+x4+.....+xn-1]-(2n-1)xn
(1-x)Sn=1+2[(x-xn)/(1-x)]-(2n-1)xn
(1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn
(1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn
(1-x)Sn=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xn
Sn={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn}/(1-x)
練習(xí)1、在等比數(shù)列中,依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4
S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64 ∴S12=64+20=84
2、B [解析] ∵q2==9,∴q=±3,因此a4+a5=(a3+a4)q=27或-27
3、B [解析] 設(shè)A=a1a4a7…a28,B=a2a5a8…a29,C=a3a6a9…a30,則A、B、C成等比數(shù)列,公比為q10=210,由條件得A·B·C=230,∴B=210,∴C=B·210=220.
4、A [解析] 設(shè)bn=a,則==()2=q2,∴{bn}成等比數(shù)列;
=2an+1-an≠常數(shù);當(dāng)an<0時(shí)lgan無(wú)意義;設(shè)cn=nan,則==≠常數(shù).
5、D [解析] a2a10=a5a7=6. 由,得或.
∴==或.故選D.
6、D [解析] 消去a得:4b2-5bc+c2=0,
∵b≠c,∴c=4b,∴a=-2b,代入a+3b+c=10中得b=2,∴a=-4.
7、 B[解析] 設(shè)前三項(xiàng)分別為a1,a1q,a1q2,后三項(xiàng)分別為a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.
所以前三項(xiàng)之積aq3=2,后三項(xiàng)之積aq3n-6=4.兩式相乘得,aq3(n-1)=8,即aqn-1=2.
又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=aq=64,即(aqn-1)n=642,即2n=642.所以n=12.
8、 00,由三年總產(chǎn)值為300萬(wàn)元,得a=100萬(wàn)元,又a+10-d,a+10,a+11+d成等比數(shù)列,得(a+10)2=(a+10-d)(a+11+d),∴(110-d)(111+d)=1102?d2+d-110=0?d=10,或d=-11(舍).∴原計(jì)劃三年的產(chǎn)值依次為90萬(wàn)元,100萬(wàn)元,110萬(wàn)元.
19、(1)依題意:Sn=2n-1(n∈N*),∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.
當(dāng)n=1,S1=a1=1,∴an=2n-1(n∈N*).
(2)因?yàn)閎n=log2an-12=n-13,所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.∴Tn==(n-)2-.
故當(dāng)n=12或13時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和最小.
(3)∵Tn-bn=-(n-13)==<0,
∴1
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