高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法.doc

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高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法(理科)經(jīng)典例題剖析例1、已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，試判斷：點與是否一定共面？解析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量和線性表示答案:證明：如圖，因為在上，且，所以同理，又，所以又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，共面由于不在平面內(nèi)，所以平面點評：空間任意的兩向量都是共面的與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.例2、如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，點D是AB的中點，（I）求證：ACBC1；（II）求證：AC1/平面CDB1；解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.答案：（1）是的中點，取PD的中點，則，又四邊形為平行四邊形，（4分）（2）以為原點，以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，在平面內(nèi)設(shè)，由由是的中點，此時（8分）（3）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)為故直線與平面所成角的正弦為（12分）解法二：（1）是的中點，取PD的中點，則，又四邊形為平行四邊形，（4分）（2）由（1）知為平行四邊形，又同理，為矩形，又作故交于，在矩形內(nèi)，為的中點當(dāng)點為的中點時，（8分）（3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為，直線與平面所成的角的正弦值為點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來例3、如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.()求與底面所成角的大??；()求證：平面；()求二面角的余弦值.解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：(I)取DC的中點O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影PAO就是PA與底面所成角ADC=60，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=PAO=45PA與底面ABCD可成角的大小為456分(II)由底面ABCD為菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有OADC建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則,由M為PB中點，PADM，PADCPA平面DMC4分(III)令平面BMC的法向量，則，從而x+z=0；,，從而由、，取x=1，則可取由(II)知平面CDM的法向量可取，所求二面角的余弦值為6分法二：（）方法同上 （）取的中點，連接，由（）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，又在中，中位線，則，則四邊形為，所以，在中，則，故而，則（）由（）知，則為二面角的平面角，在中，易得，故，所求二面角的余弦值為例4、如圖，在長方體中，點在線段上.（）求異面直線與所成的角；（）若二面角的大小為，求點到平面的距離.解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識,本題實質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.答案：解法一：（）連結(jié)。由已知，是正方形，有。平面，是在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。作，垂足為，連結(jié)，則所以為二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。設(shè)點到平面的距離為.即，即，.故點到平面的距離為。解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（）由，得設(shè)，又，則。則異面直線與所成的角為。（）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則. 由，得，則，即 由、，可取又，所以點到平面的距離。例5、如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算。答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），則設(shè)平面BEF的法向量，則可取，向量所成角的余弦為。即BD和面BEF所成的角的余弦。（2）假設(shè)線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點坐標(biāo)為則向量，向量所以。點評：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對學(xué)生靈活運用知識解題提出了較高要求。例6、