陳盛高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.doc
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高等代數(shù)在中學(xué)解題中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 101301028 陳盛 指導(dǎo)教師 黃坤陽(yáng) 講師 【摘要】高等代數(shù)作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，可見高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系。將高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)解題聯(lián)系在一起有著其必然的意義。本文闡明高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用意義，并歸納和總結(jié)了高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中常用的知識(shí)點(diǎn)，主要從行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用、矩陣在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用、線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用三個(gè)方面進(jìn)行解析。 【關(guān) 鍵 詞】行列式；矩陣；線性方程組 Application of Higher Algebra in middle school in problem solving ScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen Sheng Instructor Huang Kunyang lecturer 【Abstract】:?the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the. 【Keywords】:?determinant; matrix; linear equations ? ? 引言:高等代數(shù)是高等學(xué)校的一門基礎(chǔ)課程，它也是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門敲門磚。它是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶。由于高等代數(shù)本身具有較強(qiáng)的邏輯抽象性以及較強(qiáng)的理論性，因此它在提高人的思維能力和抽象概括能力，以及人素質(zhì)的全面發(fā)展起著重要的作用。用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)理論去解決中學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是站在一個(gè)較高的角度去領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，在真正意義將數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。本文將從行列式；矩陣；線性方程組等高等代數(shù)內(nèi)容去指導(dǎo)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。 1 行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 行列式在多項(xiàng)式理論、微積分及線性代數(shù)中它都被視為最基本的數(shù)學(xué)工具，可見行列式有著重要的應(yīng)用。行列式的應(yīng)用也越來(lái)越受到人們的關(guān)注。隨著新課程的改革,行列式不斷的向中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透。根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的一些類型題并結(jié)合行列式知識(shí)進(jìn)行解答。下面從行列式在證明等式、分解因式、解決解析幾何、一次方程組問(wèn)題等三個(gè)方面進(jìn)行歸納。 1.1 用行列式證明等式 二階行列式定義： 三階行列式定義： 在運(yùn)用行列式證明等式時(shí)，首先要觀察等式的結(jié)構(gòu)，與上述定義進(jìn)行比較，通過(guò)變形得到相應(yīng)行列式。 例1 已知，求證 證明：令 則，， 即 例2 已知，求證 證明：由題意有 又 所以 例 3已知，求證：. 證明：令. 則有， 即 1.2 用行列式分解因式 由行列式的定義可知，一個(gè)N階行列式對(duì)應(yīng)一個(gè)2N多項(xiàng)式（N>2）。分解因式的過(guò)程可以看出將多項(xiàng)式通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化成相應(yīng)的行列式，再根據(jù)行列式的性質(zhì)提取出公因式。 即把一個(gè)多項(xiàng)式看成兩個(gè)因式乘積的差，而即(均為代數(shù)式)，于是.再根據(jù)行列式的性質(zhì)，從而達(dá)到對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解. 例4分解因式. 解: 例5分解因式 。 解： 例6分解因式 解： 1.3 行列式在解析幾何中的應(yīng)用 在解析幾何中應(yīng)用行列式可以求解：三角形面積；兩點(diǎn)式直線方程解析式；三點(diǎn)共線條件；三條直線共點(diǎn)的條件。 定理1（1）以平面內(nèi)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積 . （2）通過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為. （3）平面內(nèi)三條直線 .相交 于一點(diǎn)或互不相平行的必要條件是：. 推論平面上三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是 例7 如下圖所示，已知A(2,6)、B(1，3)、C(4,4)。 （1）、求BC的直線解析式。 （2）、若，問(wèn)ABC三點(diǎn)是否共線。 （3）、求的面積。 解： （1） 由題意可知BC直線解析式為： → → 即： （2） 因?yàn)椋? 所以，A、B、C三點(diǎn)共線。 （3） 根據(jù)題意： 例8判斷直線 是否共點(diǎn)。 解：依題意：，所以三直線共點(diǎn)。 定理2通過(guò)平面上三點(diǎn)的圓的方程為. 例9已知圓☉經(jīng)過(guò)三點(diǎn),求圓的方程。 解：依據(jù)題意得圓的方程為： 即圓的方程為： 2 矩陣在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用 矩陣本身作為高等代數(shù)研究的內(nèi)容之一，它也是數(shù)學(xué)研究的重要工具。隨著人們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提高，為了滿足人們發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的需要，現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)中不斷的穿插著高等數(shù)學(xué)內(nèi)容?！熬仃嚺c變換”早已成為普通高中數(shù)學(xué)選修模塊的內(nèi)容之一。可見矩陣在中學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義，矩陣的變換為研究映射提供了一個(gè)新的平臺(tái)，其次矩陣的學(xué)習(xí)也為解線性方程組開辟了一條新模式。在應(yīng)用矩陣解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要充分掌握矩陣運(yùn)算的法則以及矩陣的性質(zhì)。 2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣與變換 中學(xué)數(shù)學(xué)中由矩陣建立的變換就是平面上的坐標(biāo)變換。坐標(biāo)在矩陣 的變換下得到新的坐標(biāo)，即將其轉(zhuǎn)換為線性方程組我們會(huì)發(fā)現(xiàn) ，是變換矩陣也是一種映射，線性映射是重要的映射，自身映射就是變換，而線性變換是一種最簡(jiǎn)單也是最重要的變換。特別要注意的是矩陣變換是左乘變換矩陣。 例10 假如某城市的天氣預(yù)報(bào)分為晴和陰兩種狀態(tài)，若今天晴，則明天晴的概率為，陰的概率為；若今天陰，則明天晴的概率為,陰的概率為，如果天氣預(yù)報(bào)報(bào)告今天陰的概率為，那么明天的天氣預(yù)報(bào)會(huì)是怎么樣？ 解：根據(jù)馬爾科夫概率模型，轉(zhuǎn)移矩陣為，則明天的天氣預(yù)報(bào)情況為。明天晴的概率為：；明天陰的概率為： 2.2 運(yùn)用矩陣的秩判斷點(diǎn)之間關(guān)系 定義向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩 我們把矩陣的每行看出一個(gè)向量，利用行秩與列式數(shù)的關(guān)系，來(lái)判斷矩陣中元素是否線性相關(guān)從達(dá)到運(yùn)用矩陣秩判斷點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系。 推論：設(shè)空間上四點(diǎn)的坐標(biāo)為,令 ，r為A的秩。 （1），當(dāng)r<4時(shí)，四點(diǎn)共面 （2），當(dāng)r=2時(shí)，四點(diǎn)共線 （3），當(dāng)r=1時(shí)，四點(diǎn)重合 推論：設(shè)平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)為,令，r為A的秩，當(dāng)<3時(shí)，三點(diǎn)共線。 例12：已知四邊形ABCD是矩形，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P是CD上一點(diǎn)，Q是AB上一點(diǎn)，CP=BQ=3，CD=4，AD=2，PM與QN相較于R，求證：R,A,C三點(diǎn)共線。 解：由題可知：Q(1，0),P(1，2),N(4，1)M(0，1),A(0,O),C(4,2) 直線RQN的直線方程為： 直線RMP的直線方程為： 由（1）、（2）可得R點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1） 又因?yàn)椋?即R,A,C三點(diǎn)共線。 2.3 利用矩陣的秩判斷兩直線位置關(guān)系 定理2 設(shè)空間兩直線：， 設(shè)矩陣的秩為,矩陣的秩為 （1），當(dāng)=4時(shí)，兩直線異面； （2），=2時(shí)，兩直線重合； （3），==3時(shí)，兩直線相交； （4）=3，=2時(shí)，兩直線平行； 例13 判斷兩直線和的位置關(guān)系. 解 ：由題意的矩陣 故==2，所以直線與直線重合. 3 線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 線性方程組是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，線性方程組與矩陣、向量之間有著密切的聯(lián)系，因此將線性方程組在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題有著重要的應(yīng)用。而線性方程組的消元法，是線性方程組的曾廣矩陣行的初等變換，這為線性方程組解的求解提供了快捷的方式。 引理：如果齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣的行秩r下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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