《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§2.2 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

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1、§2.2　拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射 　　本節(jié)重點(diǎn): 拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念,并在此空間上建立起來(lái)的連續(xù)映射的概念. 注意區(qū)別: 拓?fù)淇臻g的開(kāi)集與度量空間開(kāi)集的異同；連續(xù)映射概念的異同. 　　現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開(kāi)集及其基本性質(zhì)（定理2.1.2）出發(fā)來(lái)建立拓?fù)淇臻g的概念． 　　定義2.2.1　設(shè)X是一個(gè)集合，T是X的一個(gè)子集族．如果T滿足如下條件： 　?。╨）X，∈T ； 　?。?）若A，B∈T　，則A∩B∈T ； 　?。?）若則稱 T是X的一個(gè)拓?fù)洌? 　　如果T是集合X的一個(gè)拓?fù)?，則稱偶對(duì)（X，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或稱集合X是一個(gè)相對(duì)于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g；此外T

2、的每一個(gè)元素都叫做拓?fù)淇臻g（X，T）或X中的一個(gè)開(kāi)集．即：A∈T A是開(kāi)集 　?。ù硕x與度量空間的開(kāi)集的性質(zhì)一樣嗎） 　　經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的歸納立即可見(jiàn)，以上定義中的條件（2）蘊(yùn)涵著：有限多個(gè)開(kāi)集的交仍是開(kāi)集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個(gè)開(kāi)集的并仍是開(kāi)集． 　　現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇． 　　定義2.2.2　設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間·令為由X中的所有開(kāi)集構(gòu)成的集族．根據(jù)定理2.1.2，（X，）是X的一個(gè)拓?fù)洌覀兎Q為X的由度量ρ誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)洌送馕覀兗s定：如果沒(méi)有另外的說(shuō)明，我們提到度量空間（X，ρ）的拓?fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)?；在稱度量空間（X，ρ）為拓?fù)淇臻g時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g（

3、X，） 　　因此，實(shí)數(shù)空間R，n維歐氏空間（特別，歐氏平面），Hilbert空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫?.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定義的各自的度量所誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)洌? 　　例2.2.1　平庸空間． 　　設(shè)X是一個(gè)集合．令T ={X，}．容易驗(yàn)證，T 是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的平庸拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X，T）為一個(gè)平庸空間．在平庸空間（X，T）中，有且僅有兩個(gè)開(kāi)集，即X本身和空集． 　　例2.2.2　離散空間． 　　設(shè)X是一個(gè)集合．令T =P（X），即由X的所有子集構(gòu)成的族．容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)洌Q之為X的離散拓?fù)?；可知，在離散空間（X，T）

4、中，X的每一個(gè)子集都是開(kāi)集． 　　例2.2.3　設(shè)X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}． 　　容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)?，因此（X，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g．這個(gè)拓?fù)淇臻g既不是平庸空間又不是離散空間． 　　例2.2.4　有限補(bǔ)空間． 　　設(shè)X是一個(gè)集合．首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問(wèn)題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起．因此在后文中對(duì)于X的每一個(gè)子集A，它的補(bǔ)集X－A我們寫為．令 　　T ={U X|是X的一個(gè)有限子集}∪{} 　　先驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌? 　?。?）X∈T (因?yàn)?)；另外，根據(jù)定義便有∈T． 　?。?）設(shè)A，B∈T如果A和B之中有一個(gè)

5、是空集，則A∩B∈T,假定A和B都不是空集．這時(shí) 是X的一個(gè)有限子集，所以A∩B∈T ． 　　（3）設(shè)．令,顯然有 　　 如果，則 　　 設(shè)任意選?。@時(shí)是X的一個(gè)有限子集，所以 　　根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個(gè)拓?fù)洌Q之為X的有限補(bǔ)拓?fù)洌負(fù)淇臻g（X，P）稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間． 　　例2.2.5　可數(shù)補(bǔ)空間． 　　設(shè)X是一個(gè)集合．令 　　T ={U X|是X的一個(gè)可數(shù)子集}∪{} 　　通過(guò)與例2.2.4中完全類似的做法容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自證）T 是X的一個(gè)拓?fù)洌Q之為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)洌負(fù)淇臻g（X，T ）稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間． 　　一個(gè)令人關(guān)心的問(wèn)題是拓?fù)淇臻g

6、是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？換句話就是問(wèn)：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來(lái)？ 　　定義2.2.3　設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果存在X的一個(gè)度量ρ使得拓?fù)銹即是由度量ρ誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?，則稱（X，P）是一個(gè)可度量化空間． 　　根據(jù)這個(gè)定義，前述問(wèn)題即是：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？從§2．1中的習(xí)題2和3可以看出，每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間．然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量化的；例2.2.3中給出的那個(gè)空間只含有三個(gè)點(diǎn)，但不是離散空間，也不是可度量化的．由此可見(jiàn)，拓?fù)淇臻g是可度量空間的

7、范圍要廣泛．進(jìn)一步的問(wèn)題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問(wèn)題之一，以后我們將專門討論． 　　現(xiàn)在我們來(lái)將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射． 　　定義2.2.4　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．如果Y中每一個(gè)開(kāi)集U的原象（U）是X中的一個(gè)開(kāi)集，則稱f是X到Y(jié)的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱映射f連續(xù)． 　　按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了§2．1中的定理2.1.4的啟發(fā)．并且那個(gè)定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f:X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射

8、，反之亦然．（按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌? 　　下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì)． 　　定理2.2.1　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 　?。?）恒同映射：:X→X是一個(gè)連續(xù)映射； 　?。?）如果f:X→Y和g:Y→Z都是連續(xù)映射，則 gof:X→Z也是連續(xù)映射． 　　證明（l），所以連續(xù)． 　?。?）設(shè)f:X→Y,g:Y→Z都是連續(xù)映射 　　 　　這證明gof連續(xù)． 　　在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對(duì)象．如在線性代數(shù)中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學(xué)中

9、考慮各自的圖形和各自的變換等等．并且對(duì)于后者都要提出一類來(lái)予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構(gòu)，群論中的同構(gòu)，集合論中的—一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)（即平移加旋轉(zhuǎn)）等等．我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對(duì)象，即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射．下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來(lái)給予特別的關(guān)注． 　　定義2.2.5　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g．如果f：X→Y是一個(gè)—一映射，并且f和：Y→X都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚． 　　定理2.2.2　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 　?。?）恒同映射：X→X是一個(gè)同胚； 　?。?）如果f：X→Y是一個(gè)同胚，則：Y→X也是一個(gè)同胚； 　?。?）如果f：X

10、→Y和g：Y→Z都是同胚，則gof：X→Z也是一個(gè)同胚． 　　證明　以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見(jiàn)定理2.2.1，定理 l．5．3和定理1．5．4． 　　（l）是一個(gè)—一映射，并且，都是連續(xù)的，從而是同胚． 　?。?）設(shè)f：X→Y是一個(gè)同胚．因此f是一個(gè)—一映射，并且f和 都是連續(xù)的．于是也是一個(gè)—一映射并且和也都是連續(xù)的，所以也是一個(gè)同胚． 　?。?）設(shè)f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是連續(xù)的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是連續(xù)的．所以gof是一個(gè)同胚． 　　定義2.2.6　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g．如果存在一個(gè)同胚f：X→Y，則稱

11、拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻gY是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y． 　　粗略地說(shuō)，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間． 　　定理2.2.3　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 　?。?）X與X同胚； 　?。?）如來(lái)X與Y同胚，則Y與X同胚； 　　（3）如果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚． 　　證明從定理2.2.2直接得到． 　　根據(jù)定理2.2.3，我們可以說(shuō)：在任意給定的一個(gè)由拓?fù)淇臻g組成的族中，兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系．因而同胚關(guān)系將這個(gè)拓?fù)淇臻g族分為互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚． 　　拓?fù)?/p>

12、空間的某種性質(zhì)P，如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．換言之，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)． 　　拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)． 　　至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個(gè)在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)的一段時(shí)期才完成的工作．在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中對(duì)所研究的問(wèn)題不斷地加以抽象這種做法是屢見(jiàn)不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對(duì)象（或其中的某一個(gè)方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升，是一個(gè)去粗取精的過(guò)程．也正因?yàn)槿绱?，新的概念和理論往往有更多的包容．拓?fù)鋵W(xué)無(wú)疑也是如此，一方面它使我們對(duì)“空間”和“連續(xù)”有更為純正的認(rèn)識(shí)，另一方面也包含了無(wú)法列入以往的理論中的新的研究對(duì)象（特別是許多無(wú)法作為度量空間處理的映射空間）．這一切讀者在學(xué)習(xí)的過(guò)程中必然會(huì)不斷地加深體會(huì)． 　　作業(yè)： 　　P55 2,5,6,8,9,10 第 7 頁(yè) ~ 共 7 頁(yè)