【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 第七章 不等式章末檢測(cè) 理 （含解析）北師大版

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1、 第七章　章末檢測(cè) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2011·山東)設(shè)集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，則M∩N等于(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3] 2．(2011·商丘月考)下列命題中為真命題的是(　　) A．若a>b，c>d，則ac>bd B．若|a|>b，則a2>b2 C．若a>b，則a2>b2 D．若a>|b|，則a2>b2 3．若實(shí)數(shù)a、b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是(　　) A．18 B．6

2、 C．2 D．2 4．不等式y(tǒng)≥|x|表示的平面區(qū)域是(　　) 5．(2011·北京)如果xn)都成立的是(　　) A．|a

3、n－am|< B．|an－am|> C．|an－am|< D．|an－am|> 9．今有一臺(tái)壞天平，兩臂長(zhǎng)不等，其余均精確，有人要用它稱物體的重量，他將物體放在左右托盤各稱一次，取兩次稱量結(jié)果分別為a、b.設(shè)物體的真實(shí)重量為G，則(　　) A.＝G B.≤G C.>G D.

4、 B．(－∞，－2) C．[－2,2] D．[0，＋∞) 12．若實(shí)數(shù)x、y滿足＋＝1，則x2＋2y2有(　　) A．最大值3＋2 B．最小值3＋2 C．最大值6 D．最小值6 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．關(guān)于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，則實(shí)數(shù)a、b的值分別為________． 14．(2011·陜西)如圖，點(diǎn)(x，y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，那么2x－y的最小值為________． 15．(2011·湯陰模擬)已知正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍

5、為____________，a＋b的取值范圍是____________． 16．(2011·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)解關(guān)于x的不等式≤(其中a>0且a≠1)． 18．(12分)(2011·惠州月考)函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y

6、均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)； (2)求f(x)； (3)當(dāng)0ax－5恒成立，求a的取值范圍． 19．(12分)(2011·汕頭月考)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ 20．(12分)(2011·嘉興月考)某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可

7、能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 21．(12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：a＋a≥. 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2， f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a. 因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，從而得a＋a≥. (1)若a1，a2，…，an∈R，a

8、1＋a2＋…＋an＝1，請(qǐng)寫出上述問題的推廣式； (2)參考上述證法，對(duì)你推廣的問題加以證明． 22．(12分)(2009·山東)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2 (log2an＋1)(n∈N*)， 證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式··…·>成立． 第七章　章末檢測(cè) 1．A　[∵x2＋x－6<0，∴－3

9、又∵N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．] 2．D 3．B　[由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，所以3a＋3b的最小值是6.] 4．A 5．D　[不等式轉(zhuǎn)化為?1

10、·G＝l1·b.② ①×②，得G2＝ab，∴G＝.∵l1≠l2， 故a≠b，>＝G.] 10．D　[∵M(jìn)＝(－1)(－1)(－1) ＝··≥··＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴M≥8.] 11．A　[當(dāng)x＝0時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，不等式都成立； 當(dāng)x≠0時(shí)，a≥－＝－＝f(x)， 問題等價(jià)于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2. 綜上可知，a的取值范圍是[－2，＋∞)．] 12．B　[x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·＝1＋＋＋2≥3＋2 ＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立．] 13．－4,1 解析　由題意知，－1、4為方

11、程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的兩根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1. 14．1 解析　令b＝2x－y，則y＝2x－b， 如圖所示，作斜率為2的平行線y＝2x－b， 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，為－b，此時(shí)b＝2x－y取得最小值，為b＝2×1－1＝1. 15．[9，＋∞)　[6，＋∞) 解析　∵a＋b≥2，∴ab－3≥2. 解得，≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9， a＋b＝ab－3≥6. 16. 解析　依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1,3,7,15，…，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)

12、依次為2,4,8,16，…，故其通項(xiàng)公式為bn＝2n. 所以當(dāng)n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 17．解?、佼?dāng)a>1時(shí)，有x－＋1≤－1， ∴x－＋2≤0，∴≤0. ∴≤0，∴x≤－3或01時(shí)，x∈(－∞，－3]∪(0,1]； 當(dāng)0

13、(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x， ∴f(x)＝x2＋x－2.(6分) (3)f(x)>ax－5化為x2＋x－2>ax－5，ax

14、數(shù)列．(6分) 方法二　∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1， ∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1 ＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0. 故SnSn＋2≠S， ∴數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．(6分) (2)解　當(dāng)q＝1時(shí)，{Sn}是等差數(shù)列． 當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列，否則S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2＝S1＋S3. ∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)(10分) 由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2， ∴q＝q2，∵q≠1，∴q＝0. 這與q≠0矛盾，故當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差

15、數(shù)列． (12分) 20．解　設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y.(5分) 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即可行域． 作直線l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直線l0的一組直線x＋0.5y＝z，z∈R，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，且與直線x＋0.5y＝0的距離最大，這里M點(diǎn)是直線x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點(diǎn)．(9分) 解方程組， 得x＝4，y＝6，此時(shí)zmax＝1×4＋0.5×6＝7(萬元)． ∴當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值． 答　投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6

16、萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大．(12分) 21．(1)解　若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1. 求證：a＋a＋…＋a≥.(4分) (2)證明　構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.(8分) 因?yàn)閷?duì)一切x∈R，都有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0， 從而證得a＋a＋…＋a≥.(12分) 22．(1)解　由題意：Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r. 所以an＝Sn－Sn

17、－1＝bn－1(b－1)，(3分) 由于b>0且b≠1， 所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，所以r＝－1.(5分) (2)證明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)， 所證不等式為··…·>. (6分) ①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝，右式＝. 左式>右式，所以結(jié)論成立，(7分) ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即··…·>，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ··…·>· ＝要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立， 只需證≥， 即證≥， 由均值不等式＝≥成立， 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．(11分) 由①②可知，n∈N*時(shí)，不等式··…·>成立．(12分) 8