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1、第6章 二維油藏的數(shù)值模擬方法,二維單相流的數(shù)值模擬方法 二維油水兩相流的數(shù)值模擬方法,第一節(jié) 二維單相流的數(shù)值模擬方法,一 、數(shù)學(xué)模型 1. 假設(shè)條件 1) 符合達(dá)西滲流定律 2) 等溫滲流 3) 單相流體流動(dòng) 4) 二維(x,y)平面流動(dòng) 5) 巖石不可壓縮，流體微可壓縮 6) 油藏非均質(zhì)和各向異性 7) 不考慮重力,(1),2. 質(zhì)量守恒方程,由三維單相質(zhì)量守恒方程逐步簡(jiǎn)化到上述假設(shè)條件。,1) 三維單相非均質(zhì)油藏可壓縮流體和巖石,2) 二維(x,y)單相非均質(zhì)油藏各向異性，可壓縮流體和巖石,3) 二維(x,y)單相非均質(zhì)油藏各向異性，巖石不可壓縮，流體微可壓縮,I.C,假
2、設(shè)矩形或正方形邊界的油藏中有一口或若干口井生產(chǎn)或注入，求油藏中的壓力分布。 3. 初始條件和邊界條件,定壓,封閉,B.C 1) 外邊界,定產(chǎn),定流壓,2) 內(nèi)邊界,式中點(diǎn)源函數(shù) 0 網(wǎng)格塊中無(wú)井 1 網(wǎng)格塊中有井,Pwf或Piwf,可求以下問(wèn)題： 1. 定壓外邊界條件下 1) 內(nèi)邊界定產(chǎn)，求不同時(shí)間的油藏內(nèi)壓力分布和井底流壓。 2)內(nèi)邊界定流壓，求不同時(shí)間的油藏內(nèi)壓力分布和產(chǎn)量。 2. 封閉外邊界條件下 1) 內(nèi)邊界定產(chǎn)，求不同時(shí)間的油藏內(nèi)壓力分布和井底流壓。 2) 內(nèi)邊界定流壓，求不同時(shí)間的油藏內(nèi)壓力分布和產(chǎn)量。,二、差分方程組的建立 1. 對(duì)（1）式左端第一項(xiàng)進(jìn)行二階差商
3、,令,則,,(2),(3),（4）,2. 對(duì)（1）式左端第二項(xiàng)進(jìn)行二階差商 同（2）式可得,3. 對(duì)（1）式右端進(jìn)行一階差商,則差分方程組為 （2）（3）qv（4）,（5）,兩端乘以,令,得隱式差分方程組為,若采用行標(biāo)準(zhǔn)排列,其中Nx為x方向的網(wǎng)格數(shù) 令,(6),則（5）式可寫為,三、不同內(nèi)外邊界條件下的壓力線性代數(shù)方程組,1. 外邊界定壓、內(nèi)邊界定產(chǎn) 假設(shè)取點(diǎn)中心網(wǎng)格。x方向?yàn)镹x個(gè)網(wǎng)格,y方向?yàn)镹y個(gè)網(wǎng)格.,1) 由于外邊界定壓，則邊界壓力可以不進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算內(nèi)部各個(gè)節(jié)點(diǎn)（Nx-2）（Ny-2）的壓力,2) 計(jì)算,3) 計(jì)算,k從內(nèi)部節(jié)點(diǎn)按行標(biāo)準(zhǔn)排列開始算。,4) 列出系數(shù)矩陣方程
4、，解五對(duì)角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Qv，可利用產(chǎn)量方程求出Pwf。若各向同性，正方形網(wǎng)格，其產(chǎn)量公式為：,2. 外邊界定壓，內(nèi)邊界定流動(dòng)壓力。 網(wǎng)格取法同1。,1) 由于外邊界定壓，則邊界壓力可以不進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算內(nèi)部各個(gè)節(jié)點(diǎn)（Nx-2）（Ny-2）的壓力,2) 計(jì)算,Pi,j有兩種處理方法,用n時(shí)刻的數(shù)值，即 為已知，稱為顯式處理，Qv 為 已知。,用n+1時(shí)刻的值，即 為 未知值，稱為隱式處理。需將產(chǎn)量部分系數(shù)的未知數(shù)放到方程左邊，已知數(shù)放在方程右邊。,令,3) 計(jì)算,4) 列出系數(shù)矩陣方程，解五對(duì)角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Pi,j和Pwf，可利用產(chǎn)量公式計(jì)算Qv。,
5、3. 外邊界封閉，內(nèi)邊界定產(chǎn),假設(shè)取塊中心網(wǎng)格。x方向?yàn)镹x個(gè)網(wǎng)格, y方向?yàn)镹y個(gè)網(wǎng)格。,即,即,1) 外邊界封閉處理方法,根據(jù)達(dá)西定律，網(wǎng)格塊之間的流動(dòng)速度,因此有兩種方法處理封閉邊界。,為此在邊界外虛擬一圈網(wǎng)格，并令其與邊界網(wǎng)格壓力 值相等。,加上虛擬網(wǎng)格后，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為(Nx+2)(Ny+2) ，需求 的節(jié)點(diǎn)數(shù)為NxNy 。,在虛擬網(wǎng)格中假設(shè),當(dāng)網(wǎng)格間用調(diào)和平均取 時(shí)，則為零，因此,2) 計(jì)算,3) 計(jì)算,4) 列出系數(shù)矩陣方程，解五對(duì)角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Qv，可利用產(chǎn)量方程求出Pwf。,4. 外邊界封閉，內(nèi)邊界定流壓,網(wǎng)格取法和邊界條件表達(dá)式同3。 1) 外
6、邊界封閉的處理方法同3。 2) 計(jì)算,3) 計(jì)算,4) 列出系數(shù)矩陣方程，解五對(duì)角系數(shù)矩陣方程可得P。 5) 已知Pi,j和Pwf，可利用產(chǎn)量公式計(jì)算Qv。,四、計(jì)算框圖,程序三,已知：正方形地層中心有一口井，其油藏和生產(chǎn)參數(shù)如下： 要求：編制二維單相流數(shù)值模擬計(jì)算程序，分別計(jì)算四種內(nèi)外邊界條件下的壓力分布及定井底流壓下的產(chǎn)量和定產(chǎn)量下的井底流壓。 取,第二節(jié) 二維油水兩相流的數(shù)值模擬方法,一 、數(shù)學(xué)模型 1. 假設(shè)條件 1) 符合達(dá)西滲流定律 2) 等溫滲流 3) 油水兩相流動(dòng)，油水兩組分，油組分僅在油相中，水組分僅在水相中 4) 二維(x,y)平面流動(dòng) 5)巖石和流體均可壓縮
7、 6) 油藏非均質(zhì)和各向異性 7) 考慮毛管力，不考慮重力,2. 組分質(zhì)量守恒方程,1) 三維油水兩相兩組分,2) 二維(x,y)油水兩相兩組分,3. 輔助方程,3. 初始條件和邊界條件 假設(shè)矩形或正方形邊界的油藏中有一口或若干口井生產(chǎn)或注入，求油藏中的壓力和飽和度分布。,I.C,B.C 1) 外邊界,定壓,封閉,2) 內(nèi)邊界,定產(chǎn),式中 點(diǎn)源函數(shù) 定流壓,Pwf 或 Piwf 可求不同內(nèi)外邊界條件下，不同時(shí)間的油藏內(nèi)壓力和飽和度分布和井底流壓（定產(chǎn)）或產(chǎn)量（定流壓）。,式中,令,則,二、差分方程組的建立,1. 方程（1）、（2）的右端項(xiàng),其中 平均油藏壓力,其中,對(duì)（5）、（6
8、）式進(jìn)行一階差商,（7）,（8）,(9),2. 方程（1）、（2）左端項(xiàng),令,代入方程（1）的左端項(xiàng),（9）qo（7） （10）,3. 油組分方程（1）的差分形式為：,兩邊同乘以,令,(11),（10）式可寫為：,經(jīng)整理得：,(12),4. 水組分方程（2）的差分形式為：,為了IMPES方法書寫簡(jiǎn)便,,令,（13）、（14）中有四類未知數(shù)Po 、Pw 、So 、Sw，采用IMPES方法，首先建立隱式壓力方程，然后建立顯式飽和度方程。,三、隱式壓力方程的建立,1. 思路 1) 乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)，合并（13）（14）式以消除SW，SO得到只含變量PO，PW的壓力方程。 2) 由毛管壓力公式PC=PO
9、-PW，得到只含變量PO的壓力方程。 3) 達(dá)西系數(shù)項(xiàng)及毛管壓力采用上一時(shí)間值，因此可得只含變量PO的線性 代數(shù) 方程組。 4) 解線性代數(shù)方程組后，求得 ，再求 5) 將 代入方程（14），則可顯式求得 。,(15),2. 具體算法,令,A. (14)+(13) 得到Po 、Pw 方程,(16),若用 代入（15）中，則可得到 方程。,式中,由（16）式根據(jù)不同的內(nèi)外邊界條件，解五對(duì)角系數(shù)矩陣方程，可得 ，然后求得,四、顯式飽和度方程的建立,（17）,式中,求得 后，即可計(jì)算,將 代入方程（14），可得,五、計(jì)算框圖,,打印T，Po,Sw,TT+t,解
10、 然后計(jì)算,解 然后計(jì)算,,,,,,,,,接上頁(yè),Y,N,六、計(jì)算實(shí)例,1. 假設(shè)條件 1) 不可壓縮巖石和可壓縮流體，油水密度相等，常數(shù)，常數(shù)，o= w= 。 2) 油藏均質(zhì)和各向同性，即 kx=ky=k=常數(shù) 3) 不考慮毛管力，即 Po=Pw=P 4) 取反五點(diǎn)井網(wǎng)的四分之一， 包括一口注水井和一口生產(chǎn)井， 即邊界為封閉。 求解已知Piwf、Pwf下， 油藏中的壓力和飽和度分布。,,,2. 數(shù)學(xué)模型 1) 組分質(zhì)量守恒方程 油組分 水組分 2) 輔助方程 3) 初始條件和邊界條件 I.C,B.C 1) 外邊界 2) 內(nèi)邊界 定流壓 Piwf Pwf 3. 差分方程組的建立 1) 隱式壓力方程組 見方程（16），但其中Po=P 2) 顯式飽和度方程 見方程（17），但其中g(shù)wij中的Pwij為Pij。,封閉,4. 邊界條件的處理 根據(jù)假設(shè)，外邊界封閉，內(nèi)邊界定流壓，其處理方法見第一節(jié)三中的4。 5. 程序框圖 見本節(jié)五,程序四,已知：反五點(diǎn)四分之一井網(wǎng)中一口注入井和一口生產(chǎn)井，其油藏和生產(chǎn)參數(shù)如下： 油水相對(duì)滲透率數(shù)據(jù)如下表：,要求：編制二維兩相流數(shù)值模擬計(jì)算程序，計(jì)算定井底流壓條件下的壓力和飽和度分布和注入井的注入量和生產(chǎn)井的日產(chǎn)量。 取,
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