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1、2020年8月11日星期二,1,高等數(shù)學(xué),北京工商大學(xué)楊益民,2020年8月11日星期二,2,第三節(jié) 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,一般地，若曲面S與三元方程 F(x,y,z)=0 滿足：,（1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程 F(x,y,z)=0 ；,則稱：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖像。,兩個(gè)基本問(wèn)題：,（2）已知F(x, y, z) = 0 ，問(wèn)它表示什么曲面？,（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？,2020年8月11日星期二,3,一些特殊
2、平面,例3 方程 表示 什么圖形？,用截痕法討論幾種特殊曲面（特別二次曲面）,例1 求球心在點(diǎn) 半徑為R的球面方程。,,例2 已知空間兩點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線段AB的垂直平分 面的方程。,一般地，三元二次方程（不含交叉項(xiàng)且平方項(xiàng)系數(shù)相同）,表示空間的一張球面。,2020年8月11日星期二,4,例4 方程 的圖形是怎樣的？,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底。,解,,,2020年8月11日星期二,5,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線
3、一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,播放,2020年8月11日星期二,6,例5 證明以oz軸為旋轉(zhuǎn)軸，yoz坐標(biāo)面上的已知曲線,為母線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：,證明：,旋轉(zhuǎn)曲面如圖,設(shè)M(x, y, z)為旋轉(zhuǎn)曲面S上任意一點(diǎn)，,顯然，M一定是由母線C上某點(diǎn)M1(0, y1, z1)旋轉(zhuǎn)得到，,代入母線方程即得證明。,,,即,,2020年8月11日星期二,7,注意：,1. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,2. yoz平面上的母線 繞oy軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,3. xoy平面上的母線 繞ox軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,2020年8月11日星期二,8,例6
4、 求xoz坐標(biāo)面的上雙曲線C： 分別繞x軸和z軸,旋轉(zhuǎn)雙曲面,解：,一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。,直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面，兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角。,2020年8月11日星期二,9,解:,圓錐面方程,例7 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為的圓錐面方程。,圓錐面的母線方程為,,2020年8月11日星期二,10,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,2020年8月11日星期二,11,柱面舉例,,,,,拋
5、物柱面,平面,,2020年8月11日星期二,12,一般地，已知準(zhǔn)線方程,母線平行于 z 軸的柱面方程為：,注意：方程 中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母線平行于z軸的柱面。,一般地，在空間直角坐標(biāo)下,（缺z），,表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。,（缺y），,表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。,（缺x），,表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。,2020年8月11日星期二,13,問(wèn)：,（1） 表示什么曲面？,（2） 表示什么曲面？,回顧,1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。,2. 表示一張球面。,3.
6、 表示空間的一張平面。,4. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,2020年8月11日星期二,14,四、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。,目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。,即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。,5. xoy平面上的準(zhǔn)線方程 母線平行于 z 軸的,柱面方程為：,2020年8月11日星期二,15,（一）橢球面,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面x=x1和y=y1 的交線也是橢圓,2020年8月11日星期二,
7、16,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 或 繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。,球面,方程可寫為,2020年8月11日星期二,17,（二）拋物面,（p與q同號(hào)）,（1）橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標(biāo)面 xoy (z=0) 去截；,設(shè)p與q都大于零。,（2）用平面 去截；,（3）用坐標(biāo)面 xoz 或 yoz 去截；,（4）用平面 去截；,2020年8月11日星期二,18,橢圓拋物面的圖形如下：,特殊地：當(dāng)p=q時(shí)，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,2020年8月11日星期二,19,（2）雙曲拋物面（馬鞍面）,( p與q同號(hào) ),用截痕法討論：,設(shè),2020
8、年8月11日星期二,20,（三）雙曲面,單葉雙曲面,（1）,2020年8月11日星期二,21,雙葉雙曲面,（2）,2020年8月11日星期二,22,習(xí)題83 4，5，7，8，9，10，11,2020年8月11日星期二,23,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,24,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,25,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲
9、線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,26,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,27,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,28,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲
10、面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,29,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,30,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,31,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,32,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,33,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,2020年8月11日星期二,34,,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,,
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