《集合與常用邏輯用語(yǔ),函數(shù)》知識(shí)總結(jié)大全.doc
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第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)【知識(shí)概要】 一、集合的概念、關(guān)系與運(yùn)算 1. 集合中元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性. 在應(yīng)用集合的概念求解集合問(wèn)題時(shí),要特別注意這三個(gè)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用,元素的互異性往往就是檢驗(yàn)的重要依椐。 2. 集合的表示方法:列舉法、描述法. 有的集合還可用Venn圖表示,用專(zhuān)用符號(hào)表示,如等。 3. 元素與集合的關(guān)系:我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素,把一些元素組成的總體叫做集合,若元素是集合A的元素,則,否則。 4. 集合與集合之間的關(guān)系: 子集:若,則,此時(shí)稱(chēng)集合A是集合B的子集,記作。 真子集:若,且存在元素,且,則稱(chēng)A是B的真子集,記作:A B.相等:若,且,則稱(chēng)集合A與B相等,記作AB.。5. 集合的基本運(yùn)算:交集: 并集: 補(bǔ)集:,其中為全集,。 6. 集合運(yùn)算中常用結(jié)論: ,。 ,。, ,。 由個(gè)元素所組成的集合,其子集個(gè)數(shù)為個(gè)。互為原命題逆命題否命題逆否命題若p,則q若q,則p互逆逆否互為互否互否互逆逆否 空集是任何集合的子集,即。在解題中要特別留意空集的特殊性,它往往就是導(dǎo)致我們?cè)诮忸}中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)對(duì)象,避免因忽視空集而出現(xiàn)錯(cuò)誤。 7.含參數(shù)的集合問(wèn)題是本部分的一個(gè)重要題型,應(yīng)多根據(jù)集合元素的互異性挖掘題目的隱含條件,并注意分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用。 二、命題及其關(guān)系 1命題的概念:用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題。 2四種命題的相互關(guān)系:3. “若則”是真命題,即;“若則”是假命題,則。 4. 在判斷命題真假的問(wèn)題中,一方面可以直接寫(xiě)出命題進(jìn)行判斷,也可以通過(guò)命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,即原命題與逆否命題等價(jià),否命題與逆命題等價(jià)。 5. 充分必要條件的判斷是本部分的一個(gè)重要題型,在解題中應(yīng)注意:(1)注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式,我們知道,是的充分不必要條件是指且;的必要不充分條件是是指且。這兩種說(shuō)法是在充分必要條件推理判斷中經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆的說(shuō)法,在解題中一定要注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式,弄清它們的區(qū)別,以免出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤。(2)要善于舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。(3)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)化,由原命題與逆否命題等價(jià)可知:若是的充分不必要條件,則是的必要不充分條件;若是的必要不充分條件,則是的充分不必要條件。 6. 證明是的充要條件 (1)充分性:把當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推出; (2)必要性:把當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推出。 三、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 1含有“且()”“或()”“非()”命題的真假性:真、真真真假真、假假真假假、真假真真假、假假假真2全稱(chēng)量詞與存在量詞:命題中的“對(duì)所有”、“任意一個(gè)”等短語(yǔ)叫做全稱(chēng)量詞,用符號(hào)“”表示,“存在”、“至少有一個(gè)”等短語(yǔ)叫做存在量詞,用符號(hào)“”表示。含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)命題,全稱(chēng)命題:“對(duì)中任意一個(gè),有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為。含有存在量詞的命題叫做特稱(chēng)命題,特稱(chēng)命題:“存在中任意一個(gè),使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為。3全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的關(guān)系:P的否定全稱(chēng)命題:特稱(chēng)命題:特稱(chēng)命題:全稱(chēng)命題:第二章 函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)一.函數(shù)的概念及其表示(1)函數(shù)的概念設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則,對(duì)于集合中任何一個(gè)數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合,以及到的對(duì)應(yīng)法則)叫做集合到的一個(gè)函數(shù),記作函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同,且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)(2)區(qū)間的概念及表示法設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù),且,滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,記做;滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的集合叫做開(kāi)區(qū)間,記做;滿(mǎn)足,或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間,分別記做,;滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的集合分別記做注意:對(duì)于集合與區(qū)間,前者可以大于或等于,而后者必須(3)求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù)是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)是偶次根式時(shí),定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1中,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí),則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題,一般步驟是:若已知的定義域?yàn)椋鋸?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法: 觀察法:對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù),我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法:將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法:若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程,則在時(shí),由于為實(shí)數(shù),故必須有,從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法:利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法:通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法:利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法:就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法:就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法:就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(6)映射的概念設(shè)、是兩個(gè)集合,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則,對(duì)于集合中任何一個(gè)元素,在集合中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合,以及到的對(duì)應(yīng)法則)叫做集合到的映射,記作給定一個(gè)集合到集合的映射,且如果元素和元素對(duì)應(yīng),那么我們把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象二函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢(shì),是研究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的_兩個(gè)值,當(dāng)時(shí),都有_,那么在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),稱(chēng)為的單調(diào)_區(qū)間. 如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的_兩個(gè)值,當(dāng)時(shí),都有_,那么在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),稱(chēng)為的單調(diào)_區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),那么函數(shù)在區(qū)間上具有_.點(diǎn)評(píng) 單調(diào)性的等價(jià)定義:在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí),有;在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時(shí),有;函數(shù)單調(diào)性的判定方法定義法;圖像法;復(fù)合函數(shù)法;導(dǎo)數(shù)法;特值法(用于小題),結(jié)論法等.注意:定義法(取值作差變形定號(hào)結(jié)論):設(shè)且,那么在區(qū)間上是增函數(shù);在區(qū)間上是減函數(shù)。導(dǎo)數(shù)法(選修):在區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo),若總有(),則在區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù);反之,在區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù),且處處可導(dǎo),則()。請(qǐng)注意兩者之間的區(qū)別,可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。點(diǎn)評(píng) 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子進(jìn)行因式分解、配方、通分、分子(分母)有理化處理,以利于判斷符號(hào);證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。提醒 求單調(diào)區(qū)間時(shí),不忘定義域;多個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號(hào)“”連接;單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí),可舉反例。與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論若與同增(減),則為增(減)函數(shù),為增函數(shù);若增,為減,則為增函數(shù),為減函數(shù),為減函數(shù);若函數(shù)在某一范圍內(nèi)恒為正值或恒為負(fù)值,則與在相同的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反;函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間;函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間,函數(shù)與函數(shù)具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。2.奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),還是關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng),是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn);函數(shù)奇偶性的定義 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻麑?duì)于_的,都有_,那么函數(shù)是偶函數(shù). 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻麑?duì)于_的,都有_,那么函數(shù)是奇函數(shù). 如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么函數(shù)具有_.注意 具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),因此,確定函數(shù)奇偶性時(shí),務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。圖象特征函數(shù)為奇(偶)函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)成中心(軸)對(duì)稱(chēng)圖形。注意 定義域含的偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn);定義域含的奇函數(shù)圖象一定過(guò)原點(diǎn);利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上,簡(jiǎn)化問(wèn)題。點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.是奇函數(shù).是偶函數(shù).奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則.在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi):()奇函數(shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;()奇函數(shù)有相反的最值(極值),偶函數(shù)有相同的最值(極值)。是偶函數(shù).奇偶性的判定方法若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先考慮其定義域并等價(jià)變形化簡(jiǎn)后,再判斷其奇偶性. 如判斷函數(shù)的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下:定義(等價(jià)定義)法;圖像法;結(jié)論法等.點(diǎn)評(píng) 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域,看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若對(duì)稱(chēng),再求,接著考察與的關(guān)系,最后得結(jié)論.判斷函數(shù)不具有奇偶性時(shí),可用反例。與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論若與同奇(偶),則為奇(偶)函數(shù),和為偶函數(shù),為奇(偶)函數(shù);若與一奇一偶,則和為奇函數(shù),為偶函數(shù);定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和的形式。函數(shù)按奇偶性分類(lèi)奇函數(shù)非偶函數(shù),偶函數(shù)非奇函數(shù),既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),非奇非偶函數(shù)。點(diǎn)評(píng)既奇又偶的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可。如函數(shù)。3.周期性函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有某種一定的周期變化規(guī)律; 函數(shù)周期性的定義 一般地,對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)_的常數(shù),使得定義域內(nèi)的_值,都滿(mǎn)足,那么函數(shù)稱(chēng)為周期函數(shù),_常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)周期函數(shù)的所有的周期中存在一個(gè)_的_數(shù),那么這個(gè)數(shù)叫做函數(shù)的最小周期正周期。如沒(méi)有特別說(shuō)明,遇到的周期都指最小正周期。點(diǎn)評(píng) 非零常數(shù)是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì),與自變量的取值無(wú)關(guān);若非零常數(shù)是函數(shù)的周期,則非零常數(shù)的非零整數(shù)倍(,且也是函數(shù)的周期;若函數(shù)的周期為,則函數(shù)(其中,為常數(shù),且,)的周期為;定義中的等式是恒等式;函數(shù)的周期是。三角函數(shù)的周期 ; ; ;函數(shù)周期的判定定義法(試值) 圖像法 公式法(利用(2)中結(jié)論)結(jié)論法。與周期有關(guān)的一些結(jié)論或 的周期為;是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的周期為;奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的周期為;關(guān)于點(diǎn),對(duì)稱(chēng)的周期為;的圖象關(guān)于直線,對(duì)稱(chēng)函數(shù)的周期為;的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),直線軸對(duì)稱(chēng)周期為4;對(duì)時(shí),或的周期為;函數(shù)滿(mǎn)足,且為非零常數(shù)的周期為4;函數(shù)滿(mǎn)足(為非零常數(shù))的周期6。點(diǎn)評(píng) 注意對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系。4.對(duì)稱(chēng)性函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(即函數(shù)圖象關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形或關(guān)于某一條直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形);函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義 如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線成_對(duì)稱(chēng)或點(diǎn)成_對(duì)稱(chēng),那么具有對(duì)稱(chēng)性。注意 利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可以把研究整個(gè)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上,簡(jiǎn)化問(wèn)題。函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的證明證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;與對(duì)稱(chēng)性性有關(guān)的一些結(jié)論 函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)。特別地,當(dāng)時(shí),函數(shù)為偶函數(shù)。函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。特別地,當(dāng)且時(shí),函數(shù)為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng) 函數(shù)奇偶性是函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的特殊情況。若對(duì)時(shí),恒成立,則圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)。5.有界性函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下界情況,重點(diǎn)是通過(guò)研究函數(shù)的最大(?。┲担ㄖ涤颍﹣?lái)研究有界性問(wèn)題。函數(shù)最大(?。┲档亩x 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻嬖冢沟脤?duì)于_的,都有_,那么稱(chēng)為的最大值,記為_(kāi);如果存在,使得對(duì)于_的,都有_,那么稱(chēng)為的最小值,記為_(kāi).注意 函數(shù)最大(?。┲祽?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值;函數(shù)最大(小)值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(?。┑?,最大(小)值不同于極大(?。┲?。值域與最值注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系,理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問(wèn)題。與函數(shù)最值有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),則,;若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù),則,;若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù),則;若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),則。恒成立問(wèn)題的處理方法 恒成立問(wèn)題的處理方法:分離參數(shù)法(最值法); 轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題。如:方程有解(為的值域);不等式恒成立,不等式恒成立。 6.極值 函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問(wèn)題角度有所不同。 極值的定義 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義,如果的值比附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大(?。?,則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極大(小)值。極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的取值,極值是指函數(shù)值。 極值的求法 圖像法;導(dǎo)數(shù)法。 7.零點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)7.1函數(shù)的零點(diǎn)定義 一般地,我們把使函數(shù)的值為_(kāi)的實(shí)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn).點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根。從圖象上看,函數(shù)的零點(diǎn),就是它的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系,可以解決很多函數(shù)與方程的問(wèn)題。這就是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容函數(shù)與方程的思想運(yùn)用。函數(shù)零點(diǎn)的存在性一般地,若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線,且_,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得,此時(shí)實(shí)數(shù)為函數(shù)的零點(diǎn).點(diǎn)評(píng) 若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線,且0,則有惟一的實(shí)數(shù),使得。7.2不動(dòng)點(diǎn) 方程的根叫做函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),也是函數(shù)的零點(diǎn)。7.3函數(shù)、方程與不等式三者之間的關(guān)系一般地,不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合;不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸下方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合;點(diǎn)評(píng) 利用函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn),可求不等式或的解集;利用函數(shù)圖象并結(jié)合相應(yīng)方程的解,可求不等式或的解集等;74基本方法求函數(shù)零點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)的方法直接法(通過(guò)解方程(組);圖像法;二分法。點(diǎn)評(píng) 注意函數(shù)上述幾大性質(zhì)相互之間的聯(lián)系。三基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)(1)根式的概念叫做根式,這里叫做根指數(shù),叫做被開(kāi)方數(shù) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為任意實(shí)數(shù);當(dāng)為偶數(shù)時(shí),根式的性質(zhì):;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí), (2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:且0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:且0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 注意口訣:底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù)(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域(0,+)過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí),y=1奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi),越大圖象越高,越靠近y軸;在第二象限內(nèi),越大圖象越低,越靠近x軸在第一象限內(nèi),越小圖象越高,越靠近y軸;在第二象限內(nèi),越小圖象越低,越靠近x軸2.對(duì)數(shù)函數(shù)(1)對(duì)數(shù)的定義若,則叫做以為底的對(duì)數(shù),記作,其中叫做底數(shù),叫做真數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù):常用對(duì)數(shù):,即;自然對(duì)數(shù):,即(其中)(3)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式: ,(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果,那么加法: 減法:數(shù)乘: 換底公式:(5)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn),即當(dāng)時(shí),奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi),越大圖象越靠低,越靠近x軸在第四象限內(nèi),越大圖象越靠高,越靠近y軸在第一象限內(nèi),越小圖象越靠低,越靠近x軸在第四象限內(nèi),越小圖象越靠高,越靠近y軸(6) 反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域;從原函數(shù)式中反解出;將改寫(xiě)成,并注明反函數(shù)的定義域(7)反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)即,若在原函數(shù)的圖象上,則在反函數(shù)的圖象上函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域 3.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的圖象(需要知道x=12,1,2,3與y=1x的圖像)(2)冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布:冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無(wú)圖象 過(guò)定點(diǎn):圖象都通過(guò)點(diǎn) 4.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:頂點(diǎn)式: 兩根式: (2)求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),宜用一般式已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大(?。┲涤嘘P(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫線坐標(biāo)已知時(shí),選用兩根式求更方便(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,對(duì)稱(chēng)軸方程為 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。在二次函數(shù)中當(dāng)時(shí),圖象與軸有 個(gè)交點(diǎn)當(dāng) 時(shí),圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)當(dāng) 時(shí),圖象與軸有沒(méi)有交點(diǎn)當(dāng) 時(shí),拋物線開(kāi)口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增,當(dāng)時(shí),f(x)min= ;當(dāng) 時(shí),拋物線開(kāi)口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減,當(dāng)時(shí),f(x)max= (4)一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容,這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及,但尚不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用,下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì),系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布 設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為,且令,從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題:開(kāi)口方向: 對(duì)稱(chēng)軸位置: 判別式: 端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào) kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且僅有一個(gè)根x1(或x2)滿(mǎn)足k1x1(或x2)k2 f(k1)f(k2)0,并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此結(jié)論可直接由推出- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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