CFD理論過渡到編程的傻瓜入門教程.doc
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CFD理論過渡到編程的傻瓜入門教程 （注：這是一篇不知道誰寫的介紹一維無粘可壓縮Euler方程，以及如何編程實現(xiàn)求解該方程的論文。作者從最基本的概念出發(fā)，深入淺出的講解了控制方程，有限體積格式，MSUCL方法，限制器，Roe格式等相關知識。這篇論文我覺得有利于大家學習CFD編程的相關知識，所以推薦給大家。文章的后面附有我寫的程序（C語言），用于求解一維激波管問題，大家有興趣可以看看（程序中加了注釋說明）胡偶2011） 借寶地寫幾個小短文，介紹CFD的一些實際的入門知識。主要是因為這里支持Latex，寫起來比較方便。 CFD，計算流體力學，是一個挺難的學科，涉及流體力學、數值分析和計算機算法，還有計算機圖形學的一些知識。尤其是有關偏微分方程數值分析的東西，不是那么容易入門。大多數圖書，片中數學原理而不重實際動手，因為作者都把讀者當做已經掌握基礎知識的科班學生了。所以數學基礎不那么好的讀者往往看得很吃力，看了還不知道怎么實現(xiàn)。本人當年雖說是學航天工程的，但是那時本科教育已經退步，基礎的流體力學課被砍得只剩下一維氣體動力學了，因此自學CFD的時候也是頭暈眼花。不知道怎么實現(xiàn)，也很難找到教學代碼——那時候網絡還不發(fā)達，只在教研室的故紙堆里搜羅到一些完全沒有注釋，編程風格也不好的冗長代碼，硬著頭皮分析。后來網上淘到一些代碼研讀，結合書籍論文才慢慢入門?？梢哉f中間沒有老師教，后來賭博士為了混學分上過CFD專門課程，不過那時候我已經都掌握課堂上那些了。 回想自己入門艱辛，不免有一個想法——寫點通俗易懂的CFD入門短文給師弟師妹們。本人不打算搞得很系統(tǒng)，而是希望能結合實際，闡明一些最基本的概念和手段，其中一些復雜的道理只是點到為止。目前也沒有具體的計劃，想到哪里寫到哪里，因此可能會很零散。但是我爭取讓初學CFD的人能夠了解一些基本的東西，看過之后，會知道一個CFD代碼怎么煉成的（這“煉”字好像很流行?。g迎大家提出意見，這樣我盡可能的可以追加一些修改和解釋。 言歸正傳，第一部分，我打算介紹一個最基本的算例，一維激波管問題。說白了就是一根兩端封閉的管子，中間有個隔板，隔板左邊和右邊的氣體狀態(tài)（密度、速度、壓力）不一樣，突然把隔板抽去，管子內面的氣體怎么運動。這是個一維問題，被稱作黎曼間斷問題，好像是黎曼最初研究雙曲微分方程的時候提出的一個問題，用一維無粘可壓縮Euler方程就可以描述了。 這里 這個方程就是描述的氣體密度、動量和能量隨時間的變化（）與它們各自的流量（密度流量，動量流量，能量流量）隨空間變化（）的關系。 在CFD中通常把這個方程寫成矢量形式 這里 進一步可以寫成散度形式 一定要熟悉這種矢量形式 以上是控制方程，下面說說求解思路?？蓧嚎s流動計算中，有限體積（FVM）是最廣泛使用的算法，其他算法多多少少都和FVM有些聯(lián)系或者共通的思路。了解的FVM，學習其他高級點的算法（比如目前比較熱門的間斷有限元、譜FVM、譜FDM）就好說點了。 針對一個微元控制體，把Euler方程在空間積分 用微積分知識可以得到 也就是說控制體內氣體狀態(tài)平均值的變化是控制體界面上流通量的結果。因此我們要計算的演化，關鍵問題是計算控制體界面上的。 FVM就是以這個積分關系式出發(fā)，把整個流場劃分為許多小控制體，每個控制體和周圍相鄰的某個控制體共享一個界面，通過計算每個界面上的通量來得到相鄰控制體之間的影響，一旦每個控制體的變化得到，整個流場的變化也就知道了。 所以，再強調一次，關鍵問題是計算控制體界面上的。 初學者會說，這個不難，把界面上的插值得到，然后就可以計算。有道理！ 咱們畫個圖，有三個小控制體 i-1到i+1，中間的“|”表示界面，控制體i右邊的界面用表示，左邊的就是。 | i-1 | i | i+1 | 好下個問題：每個小控制體長度都是如何插值計算界面上的？ 最自然的想法就是：取兩邊的平均值唄， 但是很不幸，這是不行的。 那么換個方法？直接平均得到？ 還是很不行，這樣也不行。 我靠，這是為什么？這明明是符合微積分里面的知識啊？ 這個道理有點復雜，說開了去可以講一本書，可以說從50年代到70年代，CFD科學家就在琢磨這個問題。這里，初學者只需要記住這個結論：對于流動問題，不可以這樣簡單取平均值來插值或者差分。如果你非要想知道這個究竟，我現(xiàn)在也不想給你講清楚，因為我眼下的目的是讓你快速上手，而且該不刨根問底的時候就不要刨根問底，這也是初學階段一種重要的學習方法。 好了，既然目的只是為了求，我在這里，只告訴你一種計算方法，也是非常重要、非常流行的一種方法。簡單的說，就是假設流動狀態(tài)在界面是不連續(xù)的，先計算出界面兩邊的值，和，再由它們用某種方法計算出。上述方法是非常重要的，是由一個蘇聯(lián)人Godunov在50年代首創(chuàng)的，后來被發(fā)展成為通用Godunov方法，著名的ENO/WENO就是其中的一種。 好了，現(xiàn)在的問題是： 1 怎么確定和 2 怎么計算 對于第一個問題，Godunov在他的論文中，是假設每個控制體中是均勻分布的，因此 第二個問題，Godunov采用了精確黎曼解來計算。什么是“精確黎曼解”，就是計算這個激波管問題的精確解。既然有精確解，那還費功夫搞這些FVM算法干什么？因為只有這種簡單一維問題有精確解，稍微復雜一點就不行了。精確解也比較麻煩，要分析5種情況，用牛頓法迭代求解（牛頓法是什么？看數值計算的書去，哦，算了，現(xiàn)在暫時可以不必看）。 這是最初Godunov的方法，后來在這個思想的基礎上，各種變體都出來了。也不過是在這兩個問題上做文章，怎么確定，怎么計算。 Godunov假設的是每個小控制體內是均勻分布，也就是所謂分段常數(piecewise constant)，所以后來有分段線性(picewise linear)或者分段二次分布(picewise parabolic)，到后來ENO/WENO出來，那這個假設的多項式次數就繼續(xù)往上走了。都是用多項式近似的，這是數值計算中的一個強大工具，你可以在很多地方看到這種近似。 Godunov用的是精確黎曼解，太復雜太慢，也不必要，所以后來就有各種近似黎曼解，最有名的是Roe求解器、HLL求解器和Osher求解器，都是對精確黎曼解做的簡化。 這個多項式的階數是和計算精度密切相關的，階數越高，誤差就越小。不過一般來說，分段線性就能得到不錯的結果了，所以工程中都是用這個，F(xiàn)luent、Fastran以及NASA的CFL3D、OverFlow都是用這個。而黎曼求解器對精度的影響不是那么大，但是對整個算法的物理適用性有影響，也就是說某種近似黎曼求解器可能對某些流動問題不合適，比如單純的Roe對于鈍頭體的脫體激波會算得亂七八糟，后來加了熵修正才算搞定。 上次（http://gezhi.org/node/399）說到了求解可壓縮流動的一個重要算法，通用Godunov方法。其兩個主要步驟就是 1 怎么確定和 2 怎么計算 這里我們給出第一點一個具體的實現(xiàn)方法，就是基于原始變量的MUSCL格式（以下簡稱MUSCL）。它是一種很簡單的格式，而且具有足夠的精度，NASA著名的CFL3D軟件就是使用了這個格式，大家可以去它的主頁（http://cfl3d.larc.nasa.gov/Cfl3dv6/cfl3dv6.html）上看手冊，里面空間離散那一章清楚的寫著。 MUSCL假設控制體內原始變量（就是）的分布是一次或者二次多項式，如果得到了這個多項式，就可以求出控制體左右兩個界面的一側的值和。 我們以壓力p為例來說明怎么構造這個多項式。這里我只針對二次多項式來講解，你看完之后肯定能自己推導出一次多項式的結果（如果你搞不定，那我對你的智商表示懷疑）。 OK，開始 假設，這個假設不影響最終結論，因為你總可以把一個區(qū)間線性的變換到長度為1的區(qū)間。 假設壓力p在控制體i內部的分布是一個二次多項式，控制體i的中心處于處，左右兩個界面就是和。 這里先強調一個問題，在FVM中，每個控制體內的求解出來的變量實際上是這個控制體內的平均值。 所以， 。 我們知道，和，等距網格情況下和處的導數可以近似表示為 那么 （這里錯了，應該是2ax+b） 由上述三個有關a，b和c的方程，我們可以得到 這樣就可以得到f(x)的表達式了，由此可以算出和 通常MUSCL格式寫成如下形式 對應我們的推導結果（二次多項式假設）。 但是這不是最終形式。如果直接用這個公式，就會導致流場在激波（間斷）附近的振蕩。因為直接用二次多項式去逼近一個間斷，會導致這樣的效果。所以科學家們提出要對間斷附近的斜率有所限制，因此引入了一個非常重要的修改——斜率限制器。加入斜率限制器后，上述公式就有點變化。 這里是Van Albada限制器 是一個小數（），以防止分母為0。 密度和速度通過同樣的方法來搞定。 密度、速度和壓力被稱作原始變量，所以上述方法是基于原始變量的MUSCL。此外還有基于特征變量的MUSCL，要復雜一點，但是被認為適合更高精度的格式。然而一般計算中，基于原始變量的MUSCL由于具有足夠的精度、簡單的形式和較低的代價而被廣泛使用。 OK，搞定了。下面進入第二點，怎么求。關于這一點，我不打算做詳細介紹了，直接使用現(xiàn)有的近似黎曼解就可以了，都是通過和計算得到。比如Roe因為形式簡單，而非常流行。在CFL3D軟件主頁（http://cfl3d.larc.nasa.gov/Cfl3dv6/cfl3dv6.html）上看手冊，附錄C的C.1.3。 想了一下，還是把Roe求解器稍微說說吧，力求比較完整。但是不要指望我把Roe求解器解釋清楚，因為這個不是很容易三言兩語說清的。 Roe求解器的數學形式是這樣的 顯然這個公式的第一項是一個中心差分形式，先前說過簡單的中心差分不可行，原因是耗散不足導致振蕩，說得通俗點就像一個彈簧，如果缺乏耗散（阻尼）它就會一直振蕩。“耗散”這個術語在激波捕捉格式中是最常見的。第二項的作用就是提供足夠的耗散了。 這里和已經用MUSCL求得了，的定義在第一講中已經介紹了。只有是還沒說過的。 這個矩陣可以寫成特征矩陣和特征向量矩陣的形式 而 ，，和的具體表達式在許多書上都有，而且這里的矩陣表達有問題，所以就不寫了。 是由、和代入計算得到。而、和采用所謂Roe平均值 這才是Roe求解器關鍵的地方！ 總結一下，就是用Roe平均計算界面上的氣體狀態(tài)，然后計算得到，這樣就可以得到了。如果有時間，我后面會找一個代碼逐句分析一下。 總之，計算還是很不直接的。構造近似黎曼解是挺有學問的，需要對氣體動力學的物理和數學方面有較深的理解。通常，如果不是做基礎研究，你只需要知道它們的特點，會用它們就可以了，而不必深究它們怎么推導出來的。 附錄程序：（新建一個.c類型文件，將下面的程序復制粘貼到里面，就可以運行了） /**************************************************** 本程序用于求解一維無粘可壓縮歐拉方程（激波管問題） 運用Dummy Cell處理邊界條件; 通量計算方式: AUSM Scheme; 重構方法：MUSCL方法 限制器：Van Albada限制器 時間離散：四步Runge-Kutta方法 ****************************************************/ #include "stdio.h" #include "conio.h" #include "malloc.h" #include "stdlib.h" #include "math.h" #include "string.h" #define h (1/400.0) //網格步長 #define Nc 404 //網格總數：與h之間的關系 Nc=1/h+4 #define PI 3.1415927 #define It 1000 #define gama 1.4 //氣體比熱比 double KAKA=0.0;//限制器控制參數 double XS1,XS2;//計算域的兩個端點 double dt=2.5e-5;//時間步長 double timesum;//總的計算時間 //函數聲明 void output(); void SolveWtoU(double W[3],double U[3]); void SolveUtoW(double W[3],double U[3]);//基本變量和守恒變量之間的轉換函數 //前后各留兩個網格單元作為虛擬網格單元 計算網格單元從2到NOc-3 struct cell { int flag;//網格點的類型 double xc; double W[3],Wp[3];//conservation varaible double U[3];//jibenbianliang double R[3]; double S;//entropy }; struct cell cell[Nc]; //網格生成及流場初始化 void initialsolve() { int i; double x,xi,xe; XS1=-0.0;XS2=1.0; xi=XS1-2*h;xe=XS2+2*h; for(i=0;i
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