高數(shù)答案第七章.doc

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1、WORD格式可編輯 第七章空間解析幾何與向量代數(shù) 7.1向量及其線性運算 必作題：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交題： 1、求點(a,b,c)分別關于⑴各坐標面；⑵各坐標軸；⑶坐標原點的對稱點 的坐標. 解：（1）xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）,xoz面（a,-b,c）; (2）ox軸（a,-b,-c）,oy軸（-a,b,-c）,oz軸（-a,-b,c）; (2）關于原點（-a,-b,-c）。 2、坐標面上的點與坐標軸上的點的坐標各有什么特征,指出下列各點的 位置 A(3,4,0),B(0,4

2、,3),C(3,0,0),D(0,1,0). 解：xoy面：z=0，yoz面：x=0，xoz面：y=0. ox軸：y=0,z=0，oy軸：x=0,z=0，oz軸：x=0,y=0， A在xoy面上，B在yoz面上，C在x軸上，D在y軸上。 3、在z軸上求與點A(4,1,7)和點B(3,5,2)等距離的點的坐標. 解：設C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z= 14 9 ，所求點為(0,0, 14 9 ). 4、設uab2c,va3bc,試用a,b,c表示2u3v. 解：2u3v5a11b7c. 5、已知兩點 M1(4,2,1)和M2(3

3、,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方 向角. 解： M1M21,2,1，M1M22，方向余弦為cos 1 2 ， cos 2 2 ， cos 1 2 ，方向角 2 3 ， 3 4 ， 3 . 1 專業(yè)知識 整理分享 6、設向量a的模a2,方向余弦 13 cos0,cos,cos, 22 求a. x 解：設ax,y,z，則0 2 ， y1 22 ， y 3 22 ，所以x0，y1， z3，a0,1,3 7、設有向量

4、 P1P2,P1P22,它與x軸、y軸的夾角分別為 和，如果已 34 知 P1(1,0,3),求P2的坐標. 解：設 P的坐標為(x,y,z)，P1P2x1,y,z3， 2 x11 cos 232 ， 所以x2； y2 cos 242 ，所以y2，又 PP，所以 122, 2 12(z3)2，解得z2或z4，所以P2的坐標為(2,2,2) 或者(2,2,4). 8、求平行于向量a6,7,6的單位向量. 解：a36493611，與a平行的單位向量為16,7,6 11 ，即 為 676 ,,

5、111111 ，或者 676 ,, 111111 . 7.2數(shù)量積向量積混合積 必作題：P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交題： 1、已知向量a1,2,2與b2,3,垂直，向量c1,1,2與 d2,2,平行，求和的值. 解：ab，ab2620，2 2 ab， 112 22u ，u4. 2、已知向量a2i3jk,bij3k,ci2j,分別計算以下各式. ⑴(ab）c(ac）b；⑵(ab)(bc)；⑶(ab)c. 解：⑴(ab）c(ac）b8c8b8j24k ⑵(ab)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk

6、 231 (ab)c1132.⑶ 120 3、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面積. 解：OAOB3i3jk ABO的面積 119 SOAOB. 22 7.3曲面及其方程 必作題：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10. 必交題： 1、一動點與兩定點A2,3,1和B4,5,6等距離，求該動點的軌跡方程. 解：設動點P(x,y,z)，因為PAPB，所以 222222 (x2)(y3)(z1)(x4)(y5)(z6)，解得動點的軌 跡方程為 63 2x2y5z. 2 2、指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么

7、圖形. ⑴yx1；⑵ 224 xy；⑶ 221 xy； ⑷ 22 xy；⑸ 220 xy. 解：⑴直線；平面⑵圓；援助面⑶雙曲線；雙曲柱面 3 ⑷拋物線；拋物柱面⑸原點；Oz坐標軸 3、說明下列旋轉曲面是怎樣形成的. ⑴ 222 xyz 499 1 ；⑵ 222 (za)xy. 解：⑴xOy坐標面上橢圓 22 xy 49 1繞Ox軸旋轉形成，或者xOz坐標面 上橢圓 22 xz 49 1繞Ox軸旋轉形成。 （2）xOz坐標面上zax繞Oz軸旋轉形成，或者yOz坐標面上 z

8、ay繞Oz軸旋轉形成. 4、指出下列方程表示什么曲面 ⑴ 22 xy 94 21 z；⑵ 22 zxy 349 ； ⑶ 222 xyz；⑷ 2224 xyz. 解：⑴橢球面⑵橢圓拋物面⑶圓錐面⑷旋轉雙葉雙曲面. 5、建立單葉雙曲面 222 xyz 1645 1 與平面x2z30的交線關于xoy 面的投影柱面與投影曲線方程. 解： 將曲面與平面方程聯(lián)立，消去變量z得到投影柱面 22(3)2 xyx 16420 1 ， 22(3)2 xyx 16420 1 投影曲線為

9、 . z0 6、畫出下列各曲面所圍立體圖形. ⑴ 22 zxy，z1；⑵ 22 z6xy，z0； 4 ⑶ 22 z2xy， 22 zxy. 解：略 7.4空間曲線及其方程 必作題：P324--325：3，4，5，6，7，8. 必交題： 1、下列方程組各表示什么曲線？ y5x1 y2x3 ；⑵ 22 xy 49 z 1 3 ⑴； ⑶ 2426 xyz z1 ；⑷ 22480 yzx y4 ； ⑸ 222 xyz36 . 222 (x1)(y2

10、)(z1)25 解：⑴直線⑵橢圓⑶雙曲線（4）拋物線⑸圓 2、求由上半球面 222 zaxy，柱面 220 xyax及平面z0所 圍立體在xoy坐標面和xoz坐標面的投影. 解：在xOy平面投影 2 aa 22 (x)y，z0 24 在xOz平面投影 22 zax，y0，x0 1、將曲線的一般方程 2229 xyz 化為參數(shù)方程. yx 3 xcost 2 解： 3 ycost 2 z3sint ，0t2 7.5平面及其方程 5 必作題：P329---330：2，4，6，7，8. 必交題： 1、求

11、滿足下面條件的平面方程 ⑴過點3,0,1且與向量a3,7,5垂直; ⑵過點1,0,1且與二向量a2,1,1，b1,1,0平行; ⑶過點5,7,4且在三坐標軸上的截距相等且不為零; ⑷過z軸，且與平面2xy5z0的夾角為. 3 解：⑴3(x3)7y5(z1)0，即3x7y5z4 ijk ⑵ab211ij3k，所以(x1)y3(z1)0，即 110 xy3z4 ⑶設平面方程為xyza，過點5,7,4，所以a2，即 xyz2 ⑷設平面方程為AxBy0， cos 2AB 32210 AB ，解得A3B 或B3A，所以方程為 3BxBy0，即3xy0，

12、或者Ax3Ay0，即x3y0. 2、求兩平行平面1:xyz10與2:2x2y2z30之間的距 離. 解：在 1上任取一點(0,0,1)，距離 2353 d. 6 444 7.6空間直線及其方程 必作題：P335---336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16. 6 必交題 1、求過點(0,2,4)且與兩平面 1:x2z1和2:y3z2平行的直線 方程. 解：方向向量s1,0,20,1,32,3,1 以直線方程為 xy2z4 231 2、求直線L : xy3z0 xyz0 和平面:xyz10間的夾角. 解：

13、s1,1,31,1,12,4,2，n1,1,1 242 sin0 4164111 ，所以0 3、求點P(3,1,2)到直線 xyz10 2xyz40 的距離. 解：s1,1,12,1,10,3,3 在直線上任取一點M(1,0,2)，PM2,1,0，PMs3,6,6 距離 d PMs s 32 2 第七章總復習 必作題:P337---338:總習題七. 必交題:第七章模擬檢測題 1、填空題 (1)設2a5b與ab垂直，2a3b與a5b垂直，則(a,b)=. 2 或 33 (2)已知a(2,2,1),b(8,4,1)，則

14、a在b的投影為； 7 與a同方向的單位向量為；b的方向余弦為. 1； 221 ,, 333 ； cos 8 9 ， cos 4 9 ， cos 1 9 (3)空間曲線 22 zxy 22 z2(xy) 在xOy面上的投影曲線的方程 為. 221 xy z0 x1 y1t z2t 及 x1y2z1 121 (4)與兩直線 都平行且過原點的平 面方程為.xyz0 (5)點P(3,5,7)關于平面2x6y3z420的對稱點的坐為. 9713109

15、 (,,) 4949491、選擇題 (1)設ab3，ab(1,1,1)，則向量a與b的夾角為（D）; A．B．C．D． 2346 (2)設兩直線L1： x1yz1 112 ，L2： xy1z2 134 ，則此兩條 直線（A）; A．異面B．相交C．平行D．重合 (3)通過x軸且垂直于平面5x4y2z30的平面方程為（B）; A．z2y0B.y2z0C．x2z0D．z2x0 (4)平面2x4y3z30與平面xy2z90的夾角為（D）; A．B．C．D． 6432 8 (5)點M(1,1,0)到直線L : 2y3z30

16、xy0 的距離為（B）. A． 340 11 B． 341 11 C． 342 11 D． 343 11 3、計算題 (1)求點A（-1，2，0）在平面x2yz10上的投影. 解：垂涎方程為 x1y2z 121 ，令 x1y2z 121 t 代入平面方程解得 522 (,,) 333 2 t，所以 3 5 x， 3 2 y， 3 2 z，即投影為 3 (2)設平面過點（0，1，3），且平行于直線 x1y2z1 211 ，又垂 直于已知

17、平面xy2z10，求此平面方程. 解：法線向量n2,1,11,1,21,5,3，所求平面方程為 (x0)5(y1)3(z3)0，即x5y3z14 (3)求直線 x1y3z 231 繞z軸旋轉一周所成曲面方程. 解：s2,3,1， cot 11 4913 曲面方程為 22 z(x1)(y3)cot，即 222 13z(x1)(y3) (4)求以點A（3，2，1）為球心，且與平面x2y3z18相切的球面 方程. 9 解：點A到平面的距離 34318 dr14， 149 球面方程為 222 (x3)(y2)(z1)

18、14. (5)求空間曲線 xz 22 xy 1 在三個坐標面上的投影曲線方程. 1 解：在xOy平面的投影 221 xy ，在yOz平面的投影 z0 22 (z1)y1 x0 在xOz平面的投影 xz y 0 1 . 4、證明題 (1)證明向量ai3j2k,b2i3j4k,c3i12j6共k 面. 132 (ab)c2340，所以三個向量共面.證明： 3126 或者c5ab，三個向量線性相關，所以共面. (2)已知兩直線方程為 x2y2z3 L:， 1 112 x1y1z1 L:，證明直線L1與L2相交. 2 121 證明：直線 x1y1z1 L:過點(1,1,1)，而該點滿足 2 121 x2y2z3 L:的方程： 1 112 121213 112 ，且 1,1,21,2,10，所以兩直線不平行，也就不重合，故兩直線相交. 10