數(shù)學(xué)備考高考真題模擬新題分類匯編數(shù)列.doc
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1、 數(shù)列(高考真題+模擬新題) 課標(biāo)文數(shù)17.D1[2011浙江卷] 若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng),則k=________. 課標(biāo)文數(shù)17.D1[2011浙江卷] 4 【解析】 設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng),則有 ∴ ? ?k=4. 課標(biāo)文數(shù)20.D2,A2[2011北京卷] 若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列.記S(An)=a1+a2+…+an. (1)寫出一個(gè)E數(shù)列A5滿足a1=a3=0; (2)若a1=12,n=2000,證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011; (3)在a1=4的E數(shù)列A
2、n中,求使得S(An)=0成立的n的最小值. 課標(biāo)文數(shù)20.D2,A2[2011北京卷] 【解答】 (1)0,1,0,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5. (答案不唯一,0,-1,0,1,0;0,1,0,1,2;0,1,0,-1,-2;0,1,0,-1,0都是滿足條件的E數(shù)列A5) (2)必要性:因?yàn)镋數(shù)列An是遞增數(shù)列, 所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999). 所以An是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+(2000-1)1=2011, 充分性:由于a2000-a1999≤1. a1999-a1998≤1. …… a2-a1≤1. 所以a
3、2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12,a2000=2011. 所以a2000=a1+1999. 故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即E數(shù)列An是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證. (3)對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列An,由于 a2≥a1-1=3, a3≥a2-1≥2, …… a8≥a7-1≥-3, …… 所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8). 所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列An,若S(An)=0,則必有n≥9. 又a1=4的E數(shù)列A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4滿足S(A9)=0, 所以n的最小值
4、是9. 大綱理數(shù)4.D2[2011全國(guó)卷] 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 大綱理數(shù)4.D2[2011全國(guó)卷] D 【解析】 ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=4k+4,∴4k+4=24,可得k=5,故選D. 大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國(guó)卷] 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且-=1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,記Sn=k,證明:Sn<1. 大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國(guó)卷] 【解答】 (1)由題設(shè)-=1
5、, 即是公差為1的等差數(shù)列. 又=1,故=n. 所以an=1-. (2)證明:由(1)得 bn===-, ∴Sn=bk==1-<1. 大綱文數(shù)6.D2[2011全國(guó)卷] 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 大綱文數(shù)6.D2[2011全國(guó)卷] D 【解析】 ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=4k+4,∴4k+4=24,可得k=5,故選D. 課標(biāo)理數(shù)10.M1,D2,B11[2011福建卷] 已知函數(shù)f(x)=ex+x.對(duì)于曲線y=f(x)
6、上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,給出以下判斷:
①△ABC一定是鈍角三角形;
②△ABC可能是直角三角形;
③△ABC可能是等腰三角形;
④△ABC不可能是等腰三角形.
其中,正確的判斷是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
課標(biāo)理數(shù)10.M1,D2,B11[2011福建卷] B 【解析】 解法一:(1)設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3(x1 7、(x3-x2,f(x3)-f(x2)),
∴ =(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))<0,
∴ ∠ABC為鈍角,判斷①正確,②錯(cuò);
(2)若△ABC為等腰三角形,則只需AB=BC,即
(x1-x2)2+(f(x1)-f(x2))2=(x3-x2)2+(f(x3)-f(x2))2,
∵ x1,x2,x3成等差數(shù)列,即2x2=x1+x3,
且f(x1) 8、③錯(cuò)誤,④正確,故選B.
解法二:(1)設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,x3(x1 9、進(jìn)而由Sk=-35可得2k-k2=-35.
即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.
又k∈N*,故k=7為所求.
課標(biāo)理數(shù)11.D2[2011廣東卷] 等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=________.
課標(biāo)理數(shù)11.D2[2011廣東卷] 10 【解析】 由S9=S4,所以a5+a6+a7+a8+a9=0,即5a7=0,所以a7=0,
由a7=a1+6d得d=-,又ak+a4=0,
即a1+(k-1)+a1+3=0,
即(k-1)=-,所以k-1=9,所以k=10.
課標(biāo)理數(shù)13.D2[2011湖北卷] 《九章算 10、術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為________升.
課標(biāo)理數(shù)13.D2[2011湖北卷] 【解析】 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,由 得 解得 所以a5=a1+4d=.
課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011湖北卷] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,試判斷:對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1amam+ 11、2是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011湖北卷] 【解答】 (1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,兩式相減可得
an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1,
又a2=ra1=ra,所以
當(dāng)r=0時(shí),數(shù)列{an}為:a,0,…,0,…;
當(dāng)r≠0,r≠-1時(shí),由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*),
于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(n∈N*),
∴a2,a3,…,an,…成等比數(shù)列,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=r(r+1)n-2a.
綜上,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
(2)對(duì)于 12、任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列,證明如下:
當(dāng)r=0時(shí),由(1)知,an=
∴對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列;
當(dāng)r≠0,r≠-1時(shí),∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1,
若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,則Sk+1+Sk+2=2Sk,
∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1,
由(1)知,a2,a3,…,an,…的公比r+1=-2,于是對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,從而am+2=4am,
∴am+1+am+2=2am, 13、即am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
綜上,對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
課標(biāo)文數(shù)9.D2[2011湖北卷] 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為( )
A.1升 B.升 C.升 D.升
課標(biāo)文數(shù)9.D2[2011湖北卷] B 【解析】 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,由 得 解得 所以a5=a1+4d=.
課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011湖北卷] 成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后 14、成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.
課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011湖北卷] 【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d.
依題意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5.
所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d.
依題意,有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去).
故{bn}的第3項(xiàng)為5,公比為2.
由b3=b122,即5=b122,解得b1=.
所以{bn}是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為 15、bn=2n-1=52n-3.
(2)證明:由(1)得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn==52n-2-,即Sn+=52n-2.
所以S1+=,==2.
因此是以為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.
課標(biāo)理數(shù)12.D2[2011湖南卷] 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S5=________.
課標(biāo)理數(shù)12.D2[2011湖南卷] 25 【解析】 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=1,a4=7,所以a4=a1+3d?d=2,
故S5=5a1+10d=25.
課標(biāo)文數(shù)5.D2[2011江西卷] 設(shè){an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項(xiàng) 16、和.若S10=S11,則a1=( )
A.18 B.20 C.22 D.24
課標(biāo)文數(shù)5.D2[2011江西卷] B 【解析】 由S10=S11,得a11=S11-S10=0,
∴a1=a11+(1-11)d=0+(-10)(-2)=20.故選B.
課標(biāo)文數(shù)15.D2[2011遼寧卷] Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=S6,a4=1,則a5=________.
課標(biāo)文數(shù)15.D2[2011遼寧卷] -1 【解析】 由S2=S6,得2a1+d=6a1+d解得4(a1+3d)+2d=0,即2a4+d=0,所以a4+(a4+d)=0,即a5=-a4=-1.
課標(biāo)文 17、數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國(guó)卷] 已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.
(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:Sn=;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國(guó)卷] 【解答】 (1)因?yàn)閍n=n-1=,
Sn==,
所以Sn=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)
=-.
所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn=-.
大綱理數(shù)8.D2[2011四川卷] 數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*),若 18、b3=-2,b10=12,則a8=( )
A.0 B.3 C.8 D.11
大綱理數(shù)8.D2[2011四川卷] B 【解析】 由數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b3=-2,b10=12可知數(shù)列公差d=2,所以通項(xiàng)bn=-2+(n-3)2=2n-8=an+1-an,所以a8-a1=2(1+2+3+…+7)-87=0,所以a8=a1=3.
課標(biāo)理數(shù)4.D2[2011天津卷] 已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*,則S10的值為( )
A.-110 B.-90 C.90 D.110
課標(biāo)理數(shù)4.D2[201 19、1天津卷] D 【解析】 由a=a3a9,d=-2,得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解之得a1=20,∴S10=1020+(-2)=110.
課標(biāo)文數(shù)11.D2[2011天津卷] 已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,n∈N*.若a3=16,S20=20,則S10的值為________.
課標(biāo)文數(shù)11.D2[2011天津卷] 110 【解析】 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,由題意得,解之得a1=20,
d=-2,∴S10=1020+(-2)=110.
課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011浙江卷] 已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a(a∈R).設(shè)數(shù)列的 20、前n項(xiàng)和為Sn,且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn;
(2)記An=+++…+,Bn=+++…+.當(dāng)n≥2時(shí),試比較An與Bn的大?。?
課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011浙江卷] 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由2=,
得(a1+d)2=a1(a1+3d).因?yàn)閐≠0,所以d=a1=a,
所以an=na,Sn=.
(2)因?yàn)椋?,所?
An=+++…+=.
因?yàn)閍2n-1=2n-1a,所以
Bn=+++…+=.
當(dāng)n≥2時(shí),2n=C+C+C+…+C>n+1,
即1-<1-,
所以,當(dāng)a>0時(shí),An<Bn;當(dāng)a<0時(shí),An>Bn.
21、大綱文數(shù)1.D2[2011重慶卷] 在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
大綱文數(shù)1.D2[2011重慶卷] D 【解析】 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由a2=2,a3=4,得解得
∴a10=a1+(10-1)d=9d=18.故選D.
課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和S 22、n.
課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,兩角差的正切公式等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力.
【解答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則
Tn=t1t2…tn+1tn+2,①
Tn=tn+2tn+1…t2t1.②
①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得
T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2),
∴an=lgTn=n+2,n≥1.
(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果,知 23、
bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1.
另一方面,利用tan1=tan[(k+1)-k]=.
得tan(k+1)tank=-1.
所以Sn=bk=tan(k+1)tank
= =-n.
課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷]
在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷] 【解析】 本題考查等比和等差數(shù)列,對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算,兩 24、角差的正切公式等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問題的能力,運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力.
【解答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則
Tn=t1t2…tn+1tn+2,①
Tn=tn+2tn+1…t2t1,②
①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得
T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2).
∴an=lgTn=n+2,n≥1.
(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果,知
bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1,
另一方面,利用
tan1=tan[ 25、(k+1)-k]=,
得tan(k+1)tank=-1.
所以Sn=k=an(k+1)tank
=
=-n.
課標(biāo)理數(shù)11.D3[2011北京卷] 在等比數(shù)列{an}中,若a1=,a4=-4,則公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.
課標(biāo)理數(shù)11.D3[2011北京卷] -2 2n-1- 【解析】 由a4=a1q3=q3=-4,可得q=-2;因此,數(shù)列{|an|}是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.
課標(biāo)文數(shù)12.D3[2011北京卷] 在等比數(shù)列{an}中,若a1=,a4=4,則公比q 26、=________;a1+a2+…+an=________.
課標(biāo)文數(shù)12.D3[2011北京卷] 2 2n-1-
【解析】 由題意可知a4=a1q3=q3=4,可得q=2,
所以a1+a2+…+an==2n-1-.
大綱文數(shù)17.D3[2011全國(guó)卷] 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
大綱文數(shù)17.D3[2011全國(guó)卷] 【解答】 設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得
解得或
當(dāng)a1=3,q=2時(shí),an=32n-1,Sn=3(2n-1);
當(dāng)a1=2,q=3時(shí),an=23n-1,Sn=3n-1.
課標(biāo)理數(shù)16.D3, 27、C4[2011福建卷] 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3,前3項(xiàng)和S3=.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=處取得最大值,且最大值為a3,求函數(shù)f(x)的解析式.
課標(biāo)數(shù)學(xué)16.D3,C4[2011福建卷] 【解答】 (1)由q=3,S3=得=,解得a1=.
所以an=3n-1=3n-2.
(2)由(1)可知an=3n-2,所以a3=3.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為3,所以A=3;
因?yàn)楫?dāng)x=時(shí)f(x)取得最大值,
所以sin=1.
又0<φ<π,故φ=.
所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3sin 28、.
課標(biāo)文數(shù)16.D3[2011福建卷] 商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格,即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a,最高銷售限價(jià)b(b>a)以及實(shí)數(shù)x(0 29、](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,
∵b>a,b-a≠0,
∴x2=1-x,即x2+x-1=0,
解得 x=,
因?yàn)? 30、成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.
課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011湖北卷] 【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d.
依題意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5.
所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d.
依題意,有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去).
故{bn}的第3項(xiàng)為5,公比為2.
由b3=b122,即5=b122,解得 31、b1=.
所以{bn}是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為bn=2n-1=52n-3.
(2)證明:由(1)得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn==52n-2-,即Sn+=52n-2.
所以S1+=,==2.
因此是以為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.
課標(biāo)理數(shù)18.D3[2011江西卷] 已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}唯一,求a的值.
課標(biāo)理數(shù)18.D3[2011江西卷] 【解答】 (1)設(shè){an}的公比為q,則b1=1+a=2,b2= 32、2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,
由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)設(shè){an}的公比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0,(*)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根,
由{an}唯一,知方程(*)必有一根為0,代入(*)得a=.
課標(biāo)文數(shù)5.D3[2011遼寧卷] 若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為( )
A.2 33、 B.4 C.8 D.16
課標(biāo)文數(shù)5.D3[2011遼寧卷] B 【解析】 由于anan+1=16n,又an-1an=16n-1,所以=q2=16,又由anan+1=16n知an>0,所以q=4.
課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國(guó)卷] 已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.
(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:Sn=;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國(guó)卷] 【解答】 (1)因?yàn)閍n=n-1=,
Sn==,
所以Sn=.
(2)bn=log3a1+log3 34、a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)
=-.
所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn=-.
大綱文數(shù)9.D3[2011四川卷] 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=( )
A.344 B.344+1
C.44 D.44+1
大綱文數(shù)9.D3[2011四川卷] A 【解析】 由an+1=3Sn?Sn+1-Sn=3Sn?Sn+1=4Sn,所以數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=344,所以選擇A.
大綱理數(shù)11.D2[2011重慶卷] 在等差數(shù)列{an}中,a3+a 35、7=37,則a2+a4+a6+a8=________.
大綱理數(shù)11.D2[2011重慶卷] 74 【解析】 由a3+a7=37,得(a1+2d)+(a1+6d)=37,即2a1+8d=37.∴a2+a4+a6+a8=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+(a1+7d)=2(2a1+8d)=74.
課標(biāo)文數(shù)7.D4[2011安徽卷] 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
課標(biāo)文數(shù)7.D4[2011安徽卷] A 【解析】 a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(- 36、1)10(310-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9(39-2)+(-1)10(310-2)]=35=15.
課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,兩角差的正切公式等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力.
【解 37、答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則
Tn=t1t2…tn+1tn+2,①
Tn=tn+2tn+1…t2t1.②
①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得
T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2),
∴an=lgTn=n+2,n≥1.
(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果,知
bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1.
另一方面,利用tan1=tan[(k+1)-k]=.
得tan(k+1)tank=-1.
所以Sn=bk=tan(k+1)tank 38、
= =-n.
課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷]
在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷] 【解析】 本題考查等比和等差數(shù)列,對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算,兩角差的正切公式等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問題的能力,運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力.
【解答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則
39、
Tn=t1t2…tn+1tn+2,①
Tn=tn+2tn+1…t2t1,②
①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得
T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2).
∴an=lgTn=n+2,n≥1.
(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果,知
bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1,
另一方面,利用
tan1=tan[(k+1)-k]=,
得tan(k+1)tank=-1.
所以Sn=k=an(k+1)tank
=
=-n.
大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國(guó)卷] 設(shè)數(shù)列{an}滿足 40、a1=0且-=1.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,記Sn=k,證明:Sn<1.
大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國(guó)卷] 【解答】 (1)由題設(shè)-=1,
即是公差為1的等差數(shù)列.
又=1,故=n.
所以an=1-.
(2)證明:由(1)得
bn===-,
∴Sn=bk==1-<1.
課標(biāo)文數(shù)20.D4[2011湖南卷] 某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少,從第2年到第6年,每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元;從第7年開始,每年初M的價(jià)值為上年初的75%.
(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式;
(2) 41、設(shè)An=.若An大于80萬(wàn)元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對(duì)M更新.證明:須在第9年初對(duì)M更新.
課標(biāo)文數(shù)20.D4[2011湖南卷] 【解答】 (1)當(dāng)n≤6時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120,公差為-10的等差數(shù)列.
an=120-10(n-1)=130-10n;
當(dāng)n≥6時(shí),數(shù)列{an}是以a6為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,又a6=70,所以an=70n-6.
因此,第n年初,M的價(jià)值an的表達(dá)式為
an=
(2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí),Sn=120n-5n(n-1),
An=120-5(n-1)=125-5n;
當(dāng)n≥ 42、7時(shí),由于S6=570,故
Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+704=780-210n-6,
An=,
因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列,所以{An}是遞減數(shù)列.又
A8==82>80,
A9==76<80,
所以須在第9年初對(duì)M更新.
課標(biāo)理數(shù)5.D4[2011江西卷] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=( )
A.1 B.9
C.10 D.55
課標(biāo)理數(shù)5.D4[2011江西卷] A 【解析】 方法一:由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10,
∴a10=S10-S9=S1=a1=1,故選A.
方法二: 43、
∵S2=a1+a2=2S1,∴a2=1,
∵S3=S1+S2=3,∴a3=1,
∵S4=S1+S3=4,∴a4=1,
由此歸納a10=1,故選A.
課標(biāo)理數(shù)17.D4[2011遼寧卷]
已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
課標(biāo)理數(shù)17.D4[2011遼寧卷] 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知條件可得解得
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,即Sn=a1++…+,故S1=1,
=++…+.
所以,當(dāng)n>1時(shí),
=a1++…+- 44、
=1--
=1--
=,
所以Sn=.
綜上,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=.
課標(biāo)理數(shù)14.D4[2011陜西卷] 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,這個(gè)最小值為________(米).
課標(biāo)理數(shù)14.D4[2011陜西卷] 2000 【解析】 樹苗放在10或11號(hào)坑,則其余的十九人一次走過的路程為90,80,70,60,…,80,90,100,則和為s=2=2000,若放在11號(hào)坑,結(jié)果一樣.
課標(biāo)理數(shù)19.B11,D4[2011 45、陜西卷]
圖1-11
如圖1-11,從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y=ex于點(diǎn)Q1(0,1),曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.現(xiàn)從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2,依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn):P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k=1,2,…,n).
(1)試求xk與xk-1的關(guān)系(2≤k≤n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
課標(biāo)理數(shù)19.B11,D4[2011陜西卷] 【解答】
(1)設(shè)Pk-1(xk-1,0),由y′=ex得Qk-1(xk-1,exk-1)點(diǎn)處切線方程為y-exk-1 46、=exk-1(x-xk-1),
由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n).
(2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),
所以|PkQk|=exk=e-(k-1),于是
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)==.
課標(biāo)文數(shù)10.D4[2011陜西卷] 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào),為使各位同學(xué)從各自樹坑前來(lái)領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小,樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為( )
A 47、.①和? B.⑨和⑩
C.⑨和? D.⑩和?
課標(biāo)文數(shù)10.D4[2011陜西卷] D 【解析】 從實(shí)際問題中考慮將樹苗放在最中間的坑旁邊,則每個(gè)人所走的路程和最小,一共20個(gè)坑,為偶數(shù),在中間的有兩個(gè)坑為10和11號(hào)坑,故答案選D.
課標(biāo)文數(shù)19.B11,D4[2011陜西卷] 【解答】 (1)設(shè)Pk-1(xk-1,0),由y′=ex得Qk-1(xk-1,exk-1)點(diǎn)處切線方程為y-exk-1=exk-1(x-xk-1),
由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n).
(2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),
所以|PkQk|=exk=e-(k- 48、1),于是
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)==.
大綱文數(shù)16.D4[2011重慶卷] 設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn.
大綱文數(shù)16.D4[2011重慶卷]
【解答】 (1)設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比,則由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2.
所以{an}的通項(xiàng)為an=22n-1=2 49、n(n∈N*).
(2)Sn=+n1+2
=2n+1+n2-2.
課標(biāo)理數(shù)20.D5,A3[2011北京卷] 若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列.記S(An)=a1+a2+…+an.
(1)寫出一個(gè)滿足a1=a5=0,且S(A5)>0的E數(shù)列A5;
(2)若a1=12,n=2000.證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011;
(3)對(duì)任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列An,使得S(An)=0?如果存在,寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列An;如果不存在,說明理由.
課標(biāo)理數(shù)20. 50、D5,A3[2011北京卷] 【解答】 (1)0,1,2,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5.
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5)
(2)必要性:因?yàn)镋數(shù)列An是遞增數(shù)列,
所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999).
所以An是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.
所以a2000=12+(2000-1)1=2011.
充分性:由于a2000-a1999≤1,
a1999-a1998≤1,
……
a2-a1≤1,
所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999.
又因?yàn)閍1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+ 51、1999,
故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即E數(shù)列An是遞增數(shù)列.
綜上,結(jié)論得證.
(3)令ck=ak+1-ak(k=1,2,…,n-1),則ck=1,
因?yàn)閍2=a1+c1,
a3=a1+c1+c2,
……
an=a1+c1+c2+…+cn-1,
所以S(An)=na1+(n-1)c1+(n-2)c2+(n-3)c3+…+cn-1
=(n-1)+(n-2)+…+1-[(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)]
=-[(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)].
因?yàn)閏k=1,所以1-ck 52、為偶數(shù)(k=1,2,…,n-1),
所以(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)為偶數(shù),
所以要使S(An)=0,必須使為偶數(shù),
即4整除n(n-1),亦即n=4m或n=4m+1(m∈N*).
當(dāng)n=4m(m∈N*)時(shí),E數(shù)列An的項(xiàng)滿足a4k-1=a4k-3=0,a4k-2=-1,a4k=1(k=1,2,…,m)時(shí),有a1=0,S(An)=0;
當(dāng)n=4m+1(m∈N*)時(shí),E數(shù)列An的項(xiàng)滿足a4k-1=a4k-3=0,a4k-2=-1,a4k=1(k=1,2,…,m),a4m+1=0時(shí),有a1=0,S(An)=0;
當(dāng)n=4m+2或n=4m+3(m∈ 53、N*)時(shí),n(n-1)不能被4整除,此時(shí)不存在E數(shù)列An,使得a1=0,S(An)=0.
課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011廣東卷] 設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,an≤+1.
課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011廣東卷] 【解答】 (1)由a1=b>0,知an=>0,=+.
令A(yù)n=,A1=,
當(dāng)n≥2時(shí),An=+An-1
=++…++A1
=++…++.
①當(dāng)b≠2時(shí),
An==;
②當(dāng)b=2時(shí),An=.
∴an=
(2)證明:當(dāng)b≠2時(shí),欲證an=≤+1,只需證nbn≤,即證(2n+ 54、1+bn+1)≥n2n+1bn.
而(2n+1+bn+1)=(2n+1+bn+1)(bn-1+2bn-2+…+2n-1)
=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1
=2nbn
>2nbn(2+2+…+2)=2n2nbn=n2n+1bn,
∴an=<1+.
當(dāng)b=2時(shí),an=2=+1.
綜上所述,an≤+1.
課標(biāo)文數(shù)20.D5,E7[2011廣東卷]
設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1.
課標(biāo)文數(shù)20.D 55、5,E7[2011廣東卷] 【解答】 (1)由a1=b>0,知an=>0,
=+.
令A(yù)n=,A1=,
當(dāng)n≥2時(shí),An=+An-1
=+…++A1
=+…++.
①當(dāng)b≠1時(shí),An==,
②當(dāng)b=1時(shí),An=n.
∴an=
(2)證明:當(dāng)b≠1時(shí),欲證2an=≤bn+1+1,只需證2nbn≤(bn+1+1).
∵(bn+1+1)=b2n+b2n-1+…+bn+1+bn-1+bn-2+…+1
=bn
>bn(2+2+…+2)
=2nbn,
∴2an=<1+bn+1.
當(dāng)b=1時(shí),2an=2=bn+1+1.
綜上所述2an≤bn+1+1.
課標(biāo)文數(shù)21.D5 56、[2011江西卷] (1)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若數(shù)列{an}唯一,求a的值;
(2)是否存在兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列?若存在,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;若不存在,說明理由.
課標(biāo)文數(shù)21.D5[2011江西卷] 【解答】 (1)設(shè){an}的公比為q,則b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,
由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),
即aq2-4aq+3a-1=0.
由a> 57、0得Δ=4a2+4a>0,故方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,
再由{an}唯一,知方程必有一根為0,
將q=0代入方程得a=.
(2)假設(shè)存在兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列,設(shè){an}的公比為q1,{bn}的公比為q2,
則b2-a2=b1q2-a1q1,
b3-a3=b1q-a1q,
b4-a4=b1q-a1q,
由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差數(shù)列得
即
①q2-②得a1(q1-q2)(q1-1)2=0.
由a1≠0得q1=q2或q1=1,
i)當(dāng)q1=q2時(shí),由①②得b1=a1或q 58、1=q2=1,這時(shí)(b2-a2)-(b1-a1)=0,與公差不為0矛盾;
ii)當(dāng)q1=1時(shí),由①②得b1=0或q2=1,這時(shí)(b2-a2)-(b1-a1)=0,與公差不為0矛盾.
綜上所述,不存在兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列.
課標(biāo)理數(shù)17.D5[2011課標(biāo)全國(guó)卷] 等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
課標(biāo)理數(shù)17.D5[2011課標(biāo)全國(guó)卷] 【解答】 ( 59、1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a=9a2a6得a=9a,所以q2=.
由條件可知q>0,故q=.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)
=-.
故=-=-2,
++…+=-2++…+=-.
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為-.
課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011山東卷] 等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
60、2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011山東卷] 【解答】 (1)當(dāng)a1=3時(shí),不合題意;
當(dāng)a1=2時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3=18時(shí),符合題意;
當(dāng)a1=10時(shí),不合題意.
因此a1=2,a2=6,a3=18,
所以公比q=3,
故an=23n-1.
(2)因?yàn)閎n=an+(-1)nlnan
=23n-1+(-1)nln(23n-1)
=23n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3] 61、
=23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,
所以
Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3.
所以
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=2+ln3
=3n+ln3-1;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=2-(ln2-ln3)+ln3
=3n-ln3-ln2-1.
綜上所述,Sn=
課標(biāo)文數(shù)20.D5[2011山東卷] 等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3 62、
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n.
課標(biāo)文數(shù)20.D5[2011山東卷] 【解答】 (1)當(dāng)a1=3時(shí),不合題意;
當(dāng)a1=2時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3=18時(shí),符合題意;
當(dāng)a1=10時(shí),不合題意.
因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3.
故an=23n-1.
(2)因?yàn)閎n=an+(-1)nlnan
=23n-1+(-1)nln(23n-1)
=23n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln 63、3]
=23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,
所以S2n=b1+b2+…+b2n
=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln3
=2+nln3
=32n+nln3-1.
課標(biāo)數(shù)學(xué)13.D5[2011江蘇卷] 設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列,a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是________.
課標(biāo)數(shù)學(xué)13.D5[2011江蘇卷] 【解析】 記a2=m,則1≤m≤q≤m+1≤q2≤m+2≤q3,
要q取 64、最小值,則m必定為1,于是有1≤q≤2,2≤q2≤3,3≤q3,所以q≥.
課標(biāo)數(shù)學(xué)20.D5[2011江蘇卷] 設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)的和為Sn,已知對(duì)任意的整數(shù)k∈M,當(dāng)整數(shù)n>k時(shí),Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.
(1)設(shè)M={1},a2=2,求a5的值;
(2)設(shè)M={3,4},求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
課標(biāo)數(shù)學(xué)20.D5[2011江蘇卷] 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生分析探究及邏輯推理的能力.
【解答】 (1)由題設(shè)知,當(dāng)n≥2時(shí),Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1), 65、即(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1.
從而an+1-an=2a1=2.
又a2=2,故當(dāng)n≥2時(shí),an=a2+2(n-2)=2n-2.
所以a5的值為8.
(2)由題設(shè)知,當(dāng)k∈M={3,4}且n>k時(shí),Sn+k+Sn-k=2Sn+2Sk且Sn+1+k+Sn+1-k=2Sn+1+2Sk,兩式相減得an+1+k+an+1-k=2an+1,即an+1+k-an+1=an+1-an+1-k.所以當(dāng)n≥8時(shí),an-6,an-3,an,an+3,an+6成等差數(shù)列,且an-6,an-2,an+2,an+6也成等差數(shù)列.
從而當(dāng)n≥8時(shí),2an=an+3+an-3=an+6+an-6,(*)
且an+6+an-6=an+2+an-2,所以當(dāng)n≥8時(shí),2an=an+2+an-2,即an+2-an=an-an-2,于是當(dāng)n≥9時(shí),an-3,an-1,an+1,an+3成等差數(shù)列,從而an+3+an-3=an+1+an-1,故由(*)式知2an=an+1+an-1,即an+1-an=an-an-1.
當(dāng)n≥9時(shí),設(shè)d=an-an-1.
當(dāng)2≤m≤8時(shí),m+6≥8,從而由(*)式知2am+6=am+am+12,故2am+7=am+1+am+13.
從而
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