福建省福州市2012年10月高中數(shù)學學科會議專題講座 函數(shù)與導數(shù) 新人教版

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1、福建省福州市2012年10月高中數(shù)學學科會議專題講座 函數(shù)與導數(shù) 一、函數(shù)與導數(shù)的主要學習內容 主要內容：函數(shù)圖象與性質，導數(shù)等基礎知識。切線、零點、恒成立、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與數(shù)列等。 能力方面：構造函數(shù)能力；運算（估算）能力；畫圖、看圖、用圖能力；分類討論；化歸轉化能力。 思想方面：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，化歸與轉化思想，分類與整合思想，整體思想， 特殊與一般思想，極端化思想，建模思想。 二、函數(shù)與導數(shù)的主要考點 近幾年高考對函數(shù)與導數(shù)這部分的考查,在客觀題中考查函數(shù)的概念、性質以及導數(shù)的幾何意義等基礎知識,而在解答題中通常綜合考查函數(shù)的性質、導數(shù)

2、在研究函數(shù)中的應用,有時會與不等式等綜合考查?；A題以考查基本概念與運算為主,主要考查函數(shù)性質及圖象,同時考查導數(shù)的基礎知識, 高考考查函數(shù)單一性質的簡單題目不多，大多是函數(shù)性質之間的綜合考查。知識載體主要是三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)。 綜合題主要題型: (1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值問題; (2)以函數(shù)為載體的實際應用題; (3)函數(shù)、導數(shù)與不等式等綜合題。 涉及到的主要思想方法有: 數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想. 函數(shù)與導數(shù)在高考試卷中選擇題、填空題，解答題都有考題。 近四年福建省高考（理科）數(shù)學“函數(shù)與導數(shù)”內容：

3、年 份 2009年福建高考 2010年福建高考 2011年福建高考 2012年福建高考 備注 知識點 題號 分值 題號 分值 題號 分值 題號 分值 ? 集合、充要條件 2 5 9 5 1、2 10 3 5 年年考 函數(shù)解析式、定義域、值域 4、15 9 7 5 ? 函數(shù)單調性 5、20（1） 9 15、20（1） 9 10、 5 7、20（1） 9 年年考 函數(shù)奇偶性 7 5 函數(shù)周期性 7 5 參數(shù)取值范圍 14、 2

4、0（2） 9 18（1） 4 15、20（2） 9 ?3年 函數(shù)零點 4 5 ? 最值、極值 20（1） 5 18（2） 5 10 5 ?3年 導數(shù)、切線問題 20、 20 18 13 20 14 年年考 定積分 4 5 20 5 5 6 5 年年考 函數(shù)對稱性 10 5 。 ? 函數(shù)圖象 10 5 函數(shù)新定義 10、 5 15 4 10 5 ?3年 把[ 關 選擇題 10 5

5、 10 5 10 5 10 5 年年考 填空題 15、 4 15 4 15 4 3年 解答題 20 20 20 14 3年 ?合 計 共6題 共38分 共5題 共34分 共6題 共38分 共6題 共38分 說明： ? 函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性、函數(shù)圖象結合在其它題目上考。 ? 函數(shù)單調性、定積分年年考。 ? 選擇題的壓軸題，函數(shù)問題年年出現(xiàn)。 ? 解答題壓軸題有三年是以函數(shù)與導數(shù)綜合問題。 ? 在簡易題和中檔題中，文理差異不大。在較難題中，文、理試題差異相對要大一些。 在近幾年的高考中, 函數(shù)

6、類試題在試題中所占分值一般為34---38分.一般為2個選擇題、1個填空題,1個解答題。 ⑴．函數(shù)的概念和性質 函數(shù)的基礎知識涉及函數(shù)的三要素、函數(shù)的表示方法、單調性、奇偶性、周期性等內容．在解答題中主要與多個知識點交匯命題，難度中． 思考1：在函數(shù)基礎知識的考查中，主要考什么函數(shù)？ 1.（2012年福建文9）設,,則的值為（　B?。? A．1 B．0 C． D． 2.（2012年福建理7）設函數(shù)，則下列結論錯誤的是（ C ） A．的值域為 B．是偶函數(shù) C．不是周期函數(shù) D．不是單調函數(shù) 3.（2011年福

7、建理10、文10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是( B ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4.（2010年福建理4、文7）函數(shù)的零點個數(shù)為 ( C ) A.0 B.1

8、C.2 D.3 說明：函數(shù)基礎知識的考查主要以客觀題為主，難度中等偏下，多數(shù)以分段函數(shù)形式出現(xiàn)。 ⑵. 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù) ①重點是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，以及函數(shù)的應用問題． ②冪函數(shù)應重點掌握五種常用冪函數(shù)的圖象及性質． ③對數(shù)函數(shù)重點考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質及其應用． ④文科與理科的差別主要體現(xiàn)在復合函數(shù)的求導（文科不要求）. ⑤函數(shù)自定義類型問題是考試形式和內容革新的試驗田，題型不斷更新。 思考2：在近幾年的高考試題中，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是否含參數(shù)？ 1.（2010年福建理4、文7）函數(shù)的零點個數(shù)為 ( C ) A.0

9、 B.1 C.2 D.3 2.（2011年福建理10、文10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是( B ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.（2009年福建理數(shù)14）.若曲線存在垂直于軸的切線，則實

10、數(shù)取值范圍是_____________.答： 4.(2009年福建文數(shù)15)若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是____________答： 5.（2012年福建理20）已知函數(shù) （Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調區(qū)間； （Ⅱ）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。 ⑶. 函數(shù)的綜合應用 函數(shù)的應用歷來是高考重視的考點，新高考更是把這個考點放到了一個重要的位置． 思考3：“自定義”類型問題如何解決？ 1.（2012年福建理15）對于實數(shù)，定義運算“”：， 設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù) 根，則的取值

11、范圍是___ __。答： 2.（2012年福建理10）函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質。設在[1,3]上具有性質，現(xiàn)給出如下命題： ①在上的圖像時連續(xù)不斷的； ②在上具有性質； ③若在處取得最大值1，則，； ④對任意，有。 其中真命題的序號是（ D ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3.（2010年福建理數(shù)10） 對于具有相同定義域的函數(shù)和，若存在函數(shù)（ 為常數(shù)），對任給的正數(shù)，存在相應的，使得當且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”。 給出定義域均為的四組函數(shù)如下： ①，；

12、 ②，； ③，； ④，. 其中，曲線與存在“分漸近線”的是( C ) A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 4. (2011年福建理數(shù)15)設是全體平面向量構成的集合，若映射:滿足： 對任意向量，，以及任意，均有 ，則稱映射具有性質. 現(xiàn)給出如下映射： ①； ②； ③； 其中具有性質的映射的序號為 .（寫出所有具有性質的映射的序號）. 答：①③ 說明：“自定義”類型問題解題的關鍵是在“理解題意”，可通過舉反例，結合函數(shù)的圖象等加以解

13、決。 思考4：“抽象函數(shù)、半抽象函數(shù)”問題如何應對？ 1.（2010年福建理15）已知定義域（0，）的函數(shù)滿足：對任意恒有 成立，當時， 給出如下結論： 對任意，有； 函數(shù)的值域為， ③存在， ④“函數(shù)”的充要條件是“存在使得”。 其中所有正確結論的序號是 。 解：由，可得，， 從而知除③不正確外，其余均正確。 2.（2009年福建理10）函數(shù)的圖象關于直線對稱。據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)a，b，c，m，n，p，關于x的方程的解集都不可能是( D ) A. B. C. D

14、. 3.（2012年福建理10）函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質。設在[1,3]上具有性質，現(xiàn)給出如下命題： ①在上的圖像時連續(xù)不斷的； ②在上具有性質； ③若在處取得最大值1，則，； ④對任意，有。 其中真命題的序號是（ D ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4. （2010年福建理數(shù)10） 對于具有相同定義域的函數(shù)和，若存在函數(shù)（ 為常數(shù)），對任給的正數(shù)，存在相應的，使得當且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”。給出定義域均為的四組函數(shù)如下： ①，； ②，；

15、 ③，； ④，. 其中，曲線與存在“分漸近線”的是( C ) A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 說明：將抽象問題具體化，用數(shù)形結合法解決。 函數(shù)的實際應用主要體現(xiàn)在結合實際問題得到相關的函數(shù)模型,然后利用函數(shù)的性質求解。一般與最優(yōu)化問題聯(lián)系,主要考查函數(shù)的單調性、最值、導數(shù)等知識，通常是解答題。 思考5：函數(shù)的應用題主要考什么函數(shù)模型？ 1.（2010福建文21）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里

16、的處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經過小時與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？ (Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由。 注：(Ⅰ) (Ⅱ) 2.（2011年福建理18）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關系式，其中，為常數(shù)

17、，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 解：(Ⅰ)因為時，所以； (Ⅱ)由(Ⅰ)知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤： ； ，令得 函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當時函數(shù)取得最大值 答：當銷售價格時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42. 說明：函數(shù)的應用題主要考的函數(shù)模型有“二次函數(shù)類、三次函數(shù)以及分式類型”。 4.（2007年福建理19）某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司

18、交元（）的管理費，預計當每件產品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件． （1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價的函數(shù)關系式； （2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值． 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關系式為：． （Ⅱ）． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側的值由正變負．所以（1）當即時， ． （2）當即時， ， 所以 答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）． 對比：20

19、11年福建理18題與2007年福建理19題。 ⑷. 導數(shù)的概念及運算 利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程是高考的熱點問題，強調切點既在切線上又在曲線上． 定積分問題考基礎知識。 1.（2011福建理數(shù)5）等于（ C ） A. 1 B. C. D. 2.（2012福建理6）如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點， 則點恰好取自陰影部分的概率為（ C ） A． B． C． D． ⑸. 函數(shù)與導數(shù)的綜合應用 利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值。 導數(shù)為零

20、的點不一定是極值點，導函數(shù)在零點兩側變號才是函數(shù)的極值點； 求單調區(qū)間時一定要注意函數(shù)的定義域； 求最值時需要把極值和端點值逐一求出，比較即可。 思考6：在函數(shù)與導數(shù)的綜合題中參數(shù)問題？ ．（2012年福建文12）已知,且. 現(xiàn)給出如下結論:①;②;③;④. 其中正確結論的序號是 （　C?。? A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2.（2012年福建理20）已知函數(shù) （Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調區(qū)間； （Ⅱ）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。 3．（2012年福建文22）已知函數(shù)且在上的最大值為.

21、 (1)求函數(shù)的解析式; (2)判斷函數(shù)在內的零點個數(shù),并加以證明. 4.（2010年福建理數(shù)20） （Ⅰ）已知函數(shù),。 （i）求函數(shù)的單調區(qū)間； （ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段 （Ⅱ）對于一般的三次函數(shù),請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明。 5.（2010年福建文數(shù)22） 已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為. (Ⅰ)求實數(shù),的值； (Ⅱ)設是上的增函數(shù). （i）求實數(shù)的最大值； (ii)當取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖

22、形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由. 6.（2009年福建文數(shù)21） 已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （Ⅱ）求的單調區(qū)間； （Ⅲ）令，設函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點； 7.（2009年福建理數(shù)20）已知函數(shù),且 (1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調區(qū)間； （2）令,設函數(shù)在處取得極值，記點M (,)，N(,)，P(), ,請仔細觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題： （I）若對任意的(, )，線段MP與曲線均有異于M,P的

23、公共點，試確定的最小值，并證明你的結論； （II）若存在點Q(n ,f(n)), x n<,使得線段PQ與曲線有異于P、Q的公共點，請直接寫出的取值范圍（不必給出求解過程） 說明：在導數(shù)的綜合題中參數(shù)主要是出現(xiàn)在“系數(shù)”位置。 三、函數(shù)和導數(shù)專題的復習建議 1.基本初等函數(shù)和函數(shù)的應用： 函數(shù)概念的復習要到位而不越位，一般出現(xiàn)在客觀題中，屬于中、低檔題，因此復習時不宜拓展。 在掌握好基本知識的前提下重點解決函數(shù)性質在解決問題中的綜合應用、函數(shù)性質在判斷函數(shù)零點中的應用，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的應用，數(shù)形結合思想的應用。 2.導數(shù)及其應用： 要掌握好導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的

24、運算、導數(shù)和函數(shù)的單調性與極值的關系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調性為前提的，因此要重點解決導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用，特別是系數(shù)中含有參數(shù)的函數(shù)的單調性。要注意把不等式問題、方程問題轉化為函數(shù)的單調性、極值、最值進行研究性訓練。 對于基本函數(shù)、函數(shù)性質的復習要全面而突出重點，并注重橫向聯(lián)系。歷年高考中考查對函數(shù)知識的應用，試題多數(shù)圍繞函數(shù)的概念，性質，圖象等方面命題。圍繞二次函數(shù)，分段函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾個基本函數(shù)來進行。因此在復習中，應該全面夯實基礎，突出對上面所講重點內容的復習。另外，對函數(shù)性質單調性，奇偶性，周期性和圖象對稱性等內容的考查，多以整合形式出現(xiàn)。在解答題中，對函數(shù)性質的考查中涉及到分類討論，數(shù)形結合等，思維層次要求較高。因此在復習中例題的選擇及訓練題的配備一定要放在學科整體高度上把握函數(shù)及其他模塊知識的橫向關系。