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1、2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題07 立體幾何(教師版)
【2013高考會這樣考】
1、 熟練掌握線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化與證明;
2、 熟練記憶利用向量法求空間角的步驟;
3、 靈活使用向量法解決探究性問題;
4、 合理運用體積公式計算空間幾何體的體積.
【原味還原高考】
【高考還原1:(2012年高考(福建理))】如圖,在長方體中為中點.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)若二面角的大小為,求的長.
說明存在這樣的點,反之不存在.
試題注意點:(1)線面平行時,直線的方向向
2、量與平面的法向量垂直,即數(shù)量積為0;(2)利用向量法求解二面角的大小時,注意求出的量是二面角的余弦還是二面角補角的余弦.
【高考還原3:(2012年高考(湖北理))】如圖1,,,過動點A作,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿將△折起,使(如圖2所示).
(Ⅰ)當?shù)拈L為多少時,三棱錐的體積最大;
(Ⅱ)當三棱錐的體積最大時,設(shè)點,分別為棱,的中點,試在棱上確定一點,使得,并求與平面所成角的大小.
解法2:由(Ⅰ)知,當三棱錐的體積最大時,,.
如圖b,取的中點,連結(jié),,,則∥.
由(Ⅰ)知平面
3、,所以平面.
A
B
C
D
圖1
B
D
A
C
圖2
【細品經(jīng)典例題】
【經(jīng)典例題1】如圖1,平面四邊形關(guān)于直線對稱,,,.把沿折起(如圖2),使二面角的余弦值等于
【名師剖析】
試題重點:本題考查:1、平面幾何基礎(chǔ)知識;2、余弦定理的應(yīng)用;3、線面垂直的判定定理;4、二面角;5、線面成角的計算;6、等體積法的使用;7、向量法的使用.
試題難點:計算基本量.
試題注意點:翻折問題要弄清在翻折的前后哪些量是改變的,哪些量是不變的.
【名題出處】2013福建省
4、莆田市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查
又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ
(方法二)在平面PAD中,分別過D點、P點作直線PA、AD的平行線相交于點M,
連結(jié)MC交直線DQ與點N,在平面PQD中過點N作直線NE∥PQ交PQ于點E,----------------------------11分
由題可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N
∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ---------------------12分
∵CQ=1,MD=PA=2,∴
∵NE∥PQ, -----------------------
5、-------13分
于是,
∵平面,平面,
∴∥平面. ……………4分
(2)解:∵平面,平面,
∴,. ……………11分
∴為平面 與平面所成二面角(銳角). ……………12分
∴為與平面所成的角. ……………7分
∵,
∵平面, ∴是平面的一個法向量.
∴. ……………13分
∴平面 與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.……………14分
【名題巧練5】如圖,在四棱錐中,底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,,E是PB的中點。
(Ⅰ)求證:
6、平面平面PBC;
(Ⅱ)若二面角的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值。
取m=(1,-1,0)
則,m為面PAC的法向量
【名題巧練6】如圖, 中,側(cè)棱與底面垂直, ,,點分別為和的中點.
(1)證明: ;
(2)求二面角的正弦值.
,
…………12分
設(shè)向量和向量的夾角為,則
,,
在中,,
又
【名題巧練8】在邊長為5的菱形ABCD中,
AC=8.現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起,
折起后使∠ADC的余弦值為.
(1)求證:平面ABD⊥平面CBD;
(2)若M是AB的中點,求折起后
AC與平面MCD所成角的正弦值。
【名題巧練9】如圖,在長方體中,,
且.
(1)求證:對任意,總有;
(2)若,求二面角的余弦值;
(3)是否存在,使得在平面上的射影平分
?若存在, 求出的值, 若不存在,說明理由.
即 ,即,
解得 .所以存在滿足題意得實數(shù),使得在平面上
的射影平分 ┄┄┄┄┄ (12分)