全國(guó)各地2015年中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編（第2期）專題31 點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系

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1、點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系 一.選擇題 1．（2015?棗莊,第11題3分）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等．⊙O與BC相切于點(diǎn)C，與AC相交于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為（　?。? 　 A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1.5cm 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．. 分析： 連接OC，并過點(diǎn)O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長(zhǎng)度，在Rt△OFC中，可得出FC的長(zhǎng)，利用垂徑定理即可得出CE的長(zhǎng)． 解答： 解：連接OC，并過點(diǎn)O作OF⊥CE于F， ∵△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4cm，

2、 ∴△ABC的高為2cm， ∴OC=cm， 又∵∠ACB=60°， ∴∠OCF=30°， 在Rt△OFC中，可得FC=cm， 即CE=2FC=3cm． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目． 2．（2015?湖南湘西州，第15題，4分）⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA=3cm，則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系為（　?。? 　 A．點(diǎn)A在圓上 B． 點(diǎn)A在圓內(nèi) C． 點(diǎn)A在圓外 D． 無法確定 考點(diǎn)： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．. 分析： 根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷． 解答： 解：∵

3、⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm， 即點(diǎn)A到圓心O的距離小于圓的半徑， ∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi)． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r． 　 3 （2015年浙江衢州10，3分）如圖，已知等腰，以為直徑的圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的的切線交于點(diǎn)，若，則的半徑是【 】 A. 　　　B. 　　　 C. 　　　 D. 【答案】D． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方程思想的應(yīng)

4、用． 【分析】如答圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)， ∵，∴. ∵，∴.∴.∴. ∵是的切線，∴.∴. ∴，且四邊形是矩形. ∵，∴由勾股定理，得. 設(shè)的半徑是， 則. ∴由勾股定理，得，即，解得. ∴的半徑是. 故選D． 4.（2015?山東萊蕪,第12題3分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC為直徑的⊙O與AD相切，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。? （1）AB+CD=AD； （2）S△BCE=S△ABE+S△DCE； （3）AB?CD=； （4）∠ABE=∠DCE． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點(diǎn)： 圓

5、的綜合題．. 分析： 設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點(diǎn)為F，連接OF，根據(jù)切線長(zhǎng)定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可． 解答： 解：設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點(diǎn)為F， ∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∵AB為直徑， ∴AB，CD是圓的切線， ∵AD與以AB為直徑的⊙O相切， ∴AB=AF，CD=DF， ∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正確； 如圖1，連接OE， ∵AE=DE，BO=CO， ∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD）， ∴OE⊥BC， ∴S△BCE=BC?OE=（AB+CD）=（AB+CD）?BC==S△

6、ABE+S△DCE， 故②正確； 如圖2，連接AO，OD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AB，CD，AD是⊙O的切線， ∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠AOD=90°， ∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠DOC， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴AB?CD=OB?OC=BCBC=BC2，故③正確， 如圖1，∵OB=OC，OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴∠BEO=∠CEO， ∵AB∥OE∥CD， ∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC， ∴∠ABE=∠DCE，故④正確， 綜

7、上可知正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)， 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理，做到靈活運(yùn)用． 5、（2015年四川省達(dá)州市中考，10,3分）如圖，AB為半圓O的在直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，連接OD、OC，下列結(jié)論：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE?CD，正確的有（　?。? 　 A． 2個(gè) B． 3個(gè) C． 4個(gè) D． 5個(gè) 考點(diǎn)：

8、切線的性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： 連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個(gè)角為直角，且利用切線長(zhǎng)定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項(xiàng)②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個(gè)角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項(xiàng)⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，

9、選項(xiàng)①正確；由△AOD∽△BOC，可得===，選項(xiàng)③正確；由△ODE∽△OEC，可得，選項(xiàng)④正確． 解答： 解：連接OE，如圖所示： ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，選項(xiàng)②正確； 在Rt△ADO和Rt△EDO中，， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC

10、=90°，選項(xiàng)⑤正確； ∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC?DE，選項(xiàng)①正確； ∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°， ∠A=∠B=90°， ∴△AOD∽△BOC， ∴===，選項(xiàng)③正確； 同理△ODE∽△OEC， ∴，選項(xiàng)④正確； 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 二.填空題 1、(2015年浙江省義烏市中考,14,5分)在Rt△ABC中，∠C=90°，B

11、C=3，AC=4，點(diǎn)P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)PA，PB。若PB=4，則PA的長(zhǎng)為 ▲ 考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理．. 專題：分類討論． 分析：連結(jié)CP，PB的延長(zhǎng)線交⊙C于P′，如圖，先計(jì)算出CB2+PB2=CP2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據(jù)垂徑定理得到PB=P′B=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理計(jì)算出P′A=，從而得到滿足條件的PA的長(zhǎng)為3或． 解答：解：連結(jié)CP，PB的延長(zhǎng)線交⊙C于P′，如圖， ∵CP=5，CB=3，PB=4， ∴CB2+PB2=CP2， ∴△CP

12、B為直角三角形，∠CBP=90°， ∴CB⊥PB， ∴PB=P′B=4， ∵∠C=90°， ∴PB∥AC， 而PB=AC=4， ∴四邊形ACBP為矩形， ∴PA=BC=3， 在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8， ∴P′A==， ∴PA的長(zhǎng)為3或． 故答案為3或． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了垂徑定理和勾股定理． 2.(2015?山東泰安,第24題3分）如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，過CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線，切點(diǎn)

13、為F．若∠ACF=65°，則∠E=　50°?。? 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)．. 分析： 連接DF，連接AF交CE于G，由AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，得到，由于EF是⊙O的切線，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根據(jù)外角的性質(zhì)和圓周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到結(jié)果． 解答： 解：連接DF，連接AF交CE于G， ∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H， ∴， ∵EF是⊙O的切線， ∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°， ∵∠FGD=∠FCD+∠CFA， ∵∠DFE=∠DCF， ∠GFD=∠AFC， ∠EFG=∠EGF

14、=65°， ∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°， 故答案為：50°． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 3.（2015?煙臺(tái),第18題3分）如圖，直線與坐標(biāo)軸交于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，一點(diǎn)M為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線想切時(shí)，的值為________________。 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)的計(jì)算 分析： 先求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用直線與圓M相切，要注意考慮有兩種情況，再用相似三角形的性質(zhì)來求BM的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出m的值 解答： 直

15、線與y軸、x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，1），B（2,0），由勾股定理可得AB=如圖（1）當(dāng)圓M與直線AB相切于點(diǎn)C時(shí)，△AOB∽△MCB，，即，解得BM=2所以m=BM-OB=2-2.如圖（2）△AOB∽△MDB，， ，解得BM=2m= BM+ OB =2+2． 點(diǎn)評(píng)： 本題為圓與相似的綜合題，應(yīng)用了坐標(biāo)的求法、相似形三角形的性質(zhì)、勾股定理、直線與圓的關(guān)系等知識(shí)。特別是直線AB與⊙M相切有兩種情形，具有較強(qiáng)的區(qū)分度。 4．（2015?甘肅天水，第11題，4分）相切兩圓的半徑分別是5和3，則該兩圓的圓心距是　2或8?。? 考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系． 專題： 計(jì)算題． 分

16、析： 根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切兩種情況，求出圓心距即可． 解答： 解：若兩圓內(nèi)切，圓心距為5﹣3=2； 若兩圓外切，圓心距為5+3=8， 故答案為：2或8 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)做到不重不漏，考慮問題要全面． 　 5．（2015?湖南湘西州，第8題，4分）如圖，在⊙O中，∠OAB=45°，圓心O到弦AB的距離OE=2cm，則弦AB的長(zhǎng)為　4　cm． 考點(diǎn)： 垂徑定理；等腰直角三角形．. 分析： 首先由垂徑定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊銳角三角函數(shù)可求得AE=OE=2，從而可求得弦AB的長(zhǎng)． 解答： 解：∵O

17、E⊥AB， ∴AE=EB 在Rt△AOE中，∠OAB=45°， ∴tan∠OAB=， ∴AE=OE=2． ∴AB=2AE=2×2=4． 故答案為：4cm． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)和垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理和特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 　 6．（2015?江蘇鎮(zhèn)江，第10題，2分）如圖，AB是⊙O的直徑，OA=1，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若BD=﹣1，則∠ACD=　112.5　°． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)．. 分析： 如圖，連結(jié)OC．根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥DC，根據(jù)線段的和差故選得到OD=，根據(jù)勾股定理得到CD=1，根

18、據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DOC=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到∠OCA=∠DOC=22.5°，再根據(jù)角的和差故選得到∠ACD的度數(shù)． 解答： 解：如圖，連結(jié)OC． ∵DC是⊙O的切線， ∴OC⊥DC， ∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1， ∴OD=， ∴CD===1， ∴OC=CD， ∴∠DOC=45°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OCA=∠DOC=22.5°， ∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°． 故答案為：112.5． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．本題關(guān)鍵

19、是得到△OCD是等腰直角三角形． 7．（2015?鄂州, 第15題3分）已知點(diǎn)P是半徑為1的⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，連接PB，則PB=　1或?。? 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)． 專題： 分類討論． 分析： 本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論： （1）如圖1，可以根據(jù)已知條件證明△POA≌△POB，然后即可求出PB； （2）如圖2，此時(shí)可以根據(jù)已知條件證明PABO是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理即可求出PB． 解答： 解：連接OA， （1）如圖1，連接OA， ∵PA=AO=1，OA=OB，PA是⊙的切線， ∴∠AOP=45°∵OA

20、=OB， ∴∠BOP=∠AOP=45°， 在△POA與△POB中，， ∴△POA≌△POB， ∴PB=PA=1； （2）如圖2，連接OA，與PB交于C， ∵PA是⊙O的切線， ∴OA⊥PA， 而PA=AO=，1 ∴OP=； ∵AB=， 而OA=OB=1， ∴AO⊥BO， ∴四邊形PABO是平行四邊形， ∴PB，AO互相平分； 設(shè)AO交PB與點(diǎn)C， 即OC=， ∴BC=， ∴PB=． 故答案為：1或． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，注意分類討論，不要漏解． 8.

21、 （2015?江蘇鹽城，第16題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是　3＜r＜5?。? 考點(diǎn)： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系． 分析： 要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進(jìn)行判斷．當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)． 解答： 解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 則BD==5． 由圖可知3＜r＜5． 故答案為：3＜r＜5． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意

22、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系． 三.解答題 1．（2015?湖北, 第25題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接AC，BC，PB：PC=1：2． （1）求證：AC平分∠BAD； （2）探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）若AD=3，求△ABC的面積． 考點(diǎn)： 圓的綜合題． 分析： （1）首先連接OC，由PE是⊙O的切線，AE和過點(diǎn)C的切線互相垂直，可證得OC∥AE，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠B

23、AD； （2）由AB是⊙O的直徑，PE是切線，可證得∠PCB=∠PAC，即可證得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與PB：PC=1：2，即可求得答案； （3）首先過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得OC的長(zhǎng)，再由△PBC∽△PCA，證得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的長(zhǎng)，繼而求得答案． 解答： （1）證明：連接OC， ∵PE是⊙O的切線， ∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，

24、∴OC∥AE， ∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠BAD； （2）線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=3PB． 理由：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠ABC， ∵∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCB=∠PAC， ∵∠P是公共角， ∴△PCB∽△PAC， ∴， ∴PC2=PB?PA， ∵PB：PC=1：2， ∴PC=2PB， ∴PA=4PB， ∴AB=3PB； （3）解：過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，則A

25、H=AD=，四邊形OCEH是矩形， ∴OC=HE， ∴AE=+OC， ∵OC∥AE， ∴△PCO∽△PEA， ∴， ∵AB=3PB，AB=2OB， ∴OB=PB， ∴=， ∴OC=， ∴AB=5， ∵△PBC∽△PCA， ∴， ∴AC=2BC， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（2BC）2+BC2=52， ∴BC=， ∴AC=2， ∴S△ABC=AC?BC=5． 點(diǎn)評(píng)： 此題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵． 2．（2015?衡陽, 第26題8分）如圖

26、，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． （1）求證：CE是⊙O的切線； （2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由． 考點(diǎn)： 切線的判定；菱形的判定． 分析： （1）連接AC，由題意得==，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結(jié)論； （2）四邊形AOCD為菱形．由=，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）； 解答： 解：（1）連接AC， ∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)， ∴==， ∴

27、∠DAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AE∥OC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ∴∠OCE=∠E， ∵CE⊥AD， ∴∠OCE=90°， ∴OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切線； （2）四邊形AOCD為菱形． 理由是： ∵=， ∴∠DCA=∠CAB， ∴CD∥OA， 又∵AE∥OC， ∴四邊形AOCD是平行四邊形， ∵OA=OC， ∴平行四邊形AOCD是菱形． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容． 　 3．（2015?鄂州, 第22

28、題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交 AB于點(diǎn)F． （1）求證：AE為⊙O的切線． （2）當(dāng)BC=8，AC=12時(shí)，求⊙O的半徑． （3）在（2）的條件下，求線段BG的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 圓的綜合題． 分析： （1）連接OM．利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線； （2）設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質(zhì)得到=，即可解得R=3，從而求得⊙O的半徑為3； （3）過點(diǎn)O作O

29、H⊥BG于點(diǎn)H，則BG=2BH，根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2． 解答： （1）證明：連接OM． ∵AC=AB，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠OBM=∠CBM， ∴∠OMB=∠CBM， ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM， ∴AE是⊙O的切線； （2）設(shè)⊙O的半徑為R， ∵OM∥BE， ∴△OMA∽△BEA， ∴=即=， 解得R=3， ∴⊙O的半徑為3；

30、 （3）過點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，則BG=2BH， ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°， ∴四邊形OMEH是矩形， ∴HE=OM=3， ∴BH=1， ∴BG=2BH=2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓的綜合知識(shí)，題目中還運(yùn)用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大． 　 4. （2015?江蘇南通，第24題8分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，∠ACB=60°． （1）求∠P的度數(shù)； （2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為4cm，求圖中陰影部分的面積． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．. 分析： （1）由PA與PB都為圓O的切線，利用切線

31、的性質(zhì)得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出兩個(gè)角為直角，再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，由已知∠C的度數(shù)求出∠AOB的度數(shù)，在四邊形PABO中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求出∠P的度數(shù)． （2）由S陰影=2×（S△PAO﹣S扇形）則可求得結(jié)果． 解答： 解：連接OA、OB， ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 又∵∠AOB=2∠C=120°， ∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°． ∴∠P=60°． （2）連接OP， ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴APB=30°， 在RT△APO中，t

32、an30°=， ∴AP===4cm， ∴S陰影=2S△AOP﹣S扇形=2×（×4×﹣）=（16﹣）（cm2）． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角函數(shù)，扇形面積公式等知識(shí)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5. （2015?江蘇泰州，第24題10分）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F． （1）試說明DF是⊙O的切線； （2）若AC=3AE，求tanC． 考點(diǎn)： 切線的判定．. 分析： （1）連接OD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，證得

33、OD∥AC，證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線； （2）連接BE，AB是直徑，∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中，即可求得tanC的值． 解答： （1）證明：連接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切線； （2）解：連接BE， ∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE==2AE， 在RT△BEC中，tanC===．

34、 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用以及直角三角函數(shù)等，是一道綜合題，難度中等． 6. （2015?江蘇鹽城，第23題10分）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿足ED=EA． （1）求∠DOA的度數(shù)； （2）求證：直線ED與⊙O相切． 考點(diǎn)： 切線的判定． 分析： （1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論； （2）連接OE，通過△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到結(jié)論． 解答： （1）解；∵∠DBA=50°， ∴∠DOA=2∠DBA=1

35、00°， （2）證明：連接OE． 在△EAO與△EDO中，， ∴△EAO≌△EDO， ∴∠EDO=∠EAO， ∵∠BAC=90°， ∴∠EDO=90°， ∴DE與⊙O相切． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接OE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 7．（2015?棗莊,第24題10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE． （1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）求證：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長(zhǎng)．

36、 考點(diǎn)： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線； （2）證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可證得； （3）在直角△ABC

37、中，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線定理OE的長(zhǎng)即可求得． 解答： （1）證明：連接OD，BD， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)， ∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑， ∴DE為⊙O的切線； （2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)， ∴OE是△ABC的中位線， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

38、∴△ABC∽△BDC， ∴=，即BC2=AC?CD． ∴BC2=2CD?OE； （3）解：∵cos∠BAD=， ∴sin∠BAC==， 又∵BE=6，E是BC的中點(diǎn)，即BC=12， ∴AC=15． 又∵AC=2OE， ∴OE=AC=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可． 8.（2015·湖北省隨州市，第22題8分）如圖，射線PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO． （1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作

39、法），并證明：PC是⊙O的切線； （2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點(diǎn)B，AB=AP=4，求的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的判定與性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算；作圖—基本作圖．. 分析： （1）按照作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線； （2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進(jìn)而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可． 解答： 解：（1）作圖如右圖， 連接OA，過O作OB⊥PC， ∵PA切⊙O于點(diǎn)A， ∴OA⊥PA， 又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，

40、∴OA=OB，即d=r， ∴PC是⊙O的切線； （2）∵PA、PC是⊙O的切線， ∴PA=PB， 又∵AB=AP=4， ∴△PAB是等邊三角形， ∴∠APB=60°， ∴∠AOB=120°，∠POA=60°， 在Rt△AOP中，tan60°= ∴OA= ∴==． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，求出圓心角和半徑長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵． 　 9.（2015·湖北省咸寧市，第21題9分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E

41、、F． （1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形； （2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進(jìn)而求出AD． 解答： （1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED． ∵BC與⊙O相切于一點(diǎn)

42、D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°=∠C， ∴OD∥AC， ∵∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OE， ∴△AOE是等邊三角形， ∴AE=AO=0D， ∴四邊形AODE是平行四邊形， ∵OA=OD， ∴四邊形AODE是菱形． （2）解：設(shè)⊙O的半徑為r． ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC． ∴，即8r=6（8﹣r）． 解得r=， ∴⊙O的半徑為． 如圖2，連接OD、DF． ∵OD∥AC， ∴∠DAC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DAC=∠DAO， ∵AF是⊙O的直徑， ∴∠ADF=90°=∠C，

43、∴△ADC∽△AFD， ∴， ∴AD2=AC?AF， ∵AC=6，AF=， ∴AD2=×6=45， ∴AD==3． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一個(gè)綜合題，難度中等．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵． 　 10.（2015·湖北省潛江市、天門市、仙桃市、江漢油田第22 題8分）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，∠COB=∠APB． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）當(dāng)OB=3，PA=6時(shí)，求MB，MC的長(zhǎng)．

44、 考點(diǎn)： 切線的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠MAP=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠P+M=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠M+∠MOB=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案； （2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得==，根據(jù)解方程組，可得答案． 解答： （1）證明：∵PA切⊙O于點(diǎn)A， ∴∠MAP=90°， ∴∠P+M=90°． ∵∠COB=∠APB， ∴∠M+∠MOB=90°， ∴∠MOB=90°，即OB⊥PB， ∵PB經(jīng)過直徑的外端點(diǎn)， ∴PB是⊙O的切線； （2）∵∠COB=∠APB，∠

45、OBM=∠PAM， ∴△OBM∽△APM， ∴==， = ①， = ② 聯(lián)立①②得， 解得， 當(dāng)OB=3，PA=6時(shí)，MB=4，MC=2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定與性質(zhì)，（1）利用了切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)；（2）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，解方程組． 　 11．（2015?恩施州第23題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，過點(diǎn)O作OH⊥AB交圓于點(diǎn)H，點(diǎn)C是弧AH上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C的直線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且∠GCD=∠CED． （1）求證：GC是⊙O的切線；

46、 （2）求DE的長(zhǎng)； （3）過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，若∠CED=30°，求CF的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 圓的綜合題．. 分析： （1）先證明四邊形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，證出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出結(jié)論； （2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出結(jié)果； （3）運(yùn)用三角函數(shù)求出CE，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果． 解答： （1）證明：連接OC，交DE于M，如圖所示： ∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH， ∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°， ∴四

47、邊形ODCE是矩形， ∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD， ∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD， ∵∠GCD=∠CED， ∴∠GCD+∠MCD=90°， 即GC⊥OC， ∴GC是⊙O的切線； （2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3； （3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°， ∴CE=DE?cos∠CED=3×=， ∴CF=CE=． 點(diǎn)評(píng)： 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，綜合性強(qiáng)，特別是（1）中，需要證明四邊形是矩形，運(yùn)用角

48、的關(guān)系才能得出結(jié)論． 12.（2015?黃石第19題，7分）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)． （1）求BC的長(zhǎng)； （2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線． 考點(diǎn)： 切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．. 分析： （1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可； （2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可． 解答： 證明：（1）解：連接AD， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， 又∵∠ABC=30°，AB=4，

49、 ∴BD=2， ∵D是BC的中點(diǎn)， ∴BC=2BD=4； （2）證明：連接OD． ∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)， ∴DO是△ABC的中位線， ∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90° ∴DE是⊙O的切線． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)要注意連接過切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線． 13．（2015?甘肅慶陽，第28題，12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． （1）求證：

50、FE⊥AB； （2）當(dāng)EF=6，=時(shí)，求DE的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點(diǎn)，得到OD是△ABC的中位線，根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論； （2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式計(jì)算得到答案． 解答： （1）證明：連接AD、OD， ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC=90°， 又∵AB=AC， ∴CD=DB，又CO=AO， ∴OD∥AB， ∵FD是⊙O的切線， ∴OD⊥EF， ∴FE⊥AB； （2）∵=， ∴=， ∵OD

51、∥AB， ∴==，又EF=6， ∴DE=9． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵． 14．（2015?甘肅天水，第21題，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），經(jīng)過A、O兩點(diǎn)作半徑為的⊙C，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)B． （1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）過B點(diǎn)作⊙C的切線交x軸于點(diǎn)D，求直線BD的解析式． 考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題． 專題： 代數(shù)綜合題；壓軸題． 分析： （1）由于∠AOB=90°，故AB是直徑，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO

52、===4，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣4）； （2）由于BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因?yàn)椤螧DO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，=，OD===，D的坐標(biāo)為（，0），把B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式便可求出k，b的值，從而求出其解析式． 解答： 解：（1）∵∠AOB=90°， ∴AB是直徑，且AB=5， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4， ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣4）； （2）∵BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑， ∴BD⊥AB，即

53、∠ABD=90°， ∴∠DAB+∠ADB=90° 又∵∠BDO+∠OBD=90°， ∴∠DAB=∠DBO， ∵∠AOB=∠BOD=90°， ∴△ABO∽△BDO， ∴=， ∴OD===， ∴D的坐標(biāo)為（，0） 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）， 則有，∴， ∴直線BD的解析式為y=x﹣4． 點(diǎn)評(píng)： 此題較復(fù)雜，把一次函數(shù)與圓的相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)解答，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容． 　 15．（2015?甘肅天水，第25題，12分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC

54、，與DE交于點(diǎn)P．求證： （1）AC?PD=AP?BC； （2）PE=PD． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 證明題． 分析： （1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據(jù)DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據(jù)此判斷出PE=PD即可． （2）首先根據(jù)△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據(jù)PE=PD，可得，據(jù)此判斷出AC?PD=AP?BC即可． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC，

55、 ∴=…①， 又∵AD∥OC， ∴∠DAE=∠COB， ∴△AED∽△OBC， ∴===…②， 由①②，可得ED=2EP， ∴PE=PD． （2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴， ∵PE=PD， ∴， ∴AC?PD=AP?BC． 點(diǎn)評(píng)： （1）此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． （2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌

56、握． 　 16．（8分）（2015?寧夏）（第23題）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的判定． 分析： 連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論； （2）證明△ABC∽△PBO，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長(zhǎng)． 解答： （1）證明：連接OB，如圖所示： ∵AC是⊙O的直徑

57、， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切線； （2）解：∵⊙O的半徑為2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=8． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵． 　 17．（10分）（2015?桂林）（第25題）如圖，四邊形AB

58、CD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點(diǎn)． （1）如圖1，求⊙O的半徑； （2）如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接PE，求PE的長(zhǎng)度； （3）如圖2，若點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含B、C），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點(diǎn)N，求證：AM=MN． 考點(diǎn)： 圓的綜合題． 分析： （1）利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可； （2）利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，進(jìn)而利用勾股定理得出即可； （3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性

59、質(zhì)得出即可． 解答： 解：（1）如圖1，連接OD，OC， ∵PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點(diǎn)， ∴∠ODP=∠OCP=90°， ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形， ∴∠DOC=90°，OD=OC， ∴四邊形DOCP是正方形， ∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°， ∴DO=CO=DC?sin45°=×4=2； （2）如圖1，連接EO，OP， ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， ∴OE⊥BC，∠OCE=45°， 則∠E0P=90°， ∴EO=EC=2，OP=CO=4， ∴PE==2； （3）證明：如圖2，在AB上截取BF=BM， ∵AB=BC，BF=BM，

60、 ∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°， ∴∠FAM=∠NMC， ∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°， ∴∠DCP=45°， ∴∠MCN=135°， ∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°， 在△AFM和△CMN中 ， ∴△AFM≌△CMN（ASA）， ∴AM=MN． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線得出∠MCN=135°是解題關(guān)鍵． 18．（14分）（2015?畢節(jié)市）（第26題）如圖，以△A

61、BC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC=FC． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的判定． 專題： 證明題． 分析： （1）連結(jié)OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)得到OD⊥BE，則∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，則∠OAD+∠CAF=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線； （2）由

62、于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理計(jì)算DF的長(zhǎng)． 解答： （1）證明：連結(jié)OA、OD，如圖， ∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)， ∴OD⊥BE， ∴∠D+∠DFO=90°， ∵AC=FC， ∴∠CAF=∠CFA， ∵∠CFA=∠DFO， ∴∠CAF=∠DFO， 而OA=OD， ∴∠OAD=∠ODF， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線； （2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3， ∴OF=2， 在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2， ∴DF==． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判

63、定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理． 19．（12分）（2015?銅仁市）（第24題）如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙0的切線，切點(diǎn)為B．AC經(jīng)過圓心0并與圓相交于點(diǎn)D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． （1）求證：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半徑． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)．. 分析： （1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根據(jù)等腰

64、三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，通過等量代換得到結(jié)果． （2）如圖2，連接BD通過△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得結(jié)果． 解答： （1）證明：如圖1，連接OB， ∵AB是⊙0的切線， ∴OB⊥AB， ∵CE丄AB， ∴OB∥CE， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴CB平分∠ACE； （2）如圖2，連接BD， ∵CE丄AB， ∴∠E=90°， ∴BC===5， ∵CD是⊙O的直徑， ∴∠DBC=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴， ∴BC2=CD?CE， ∴CD==， ∴OC==，

65、 ∴⊙O的半徑=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 20.（2015?寧夏第23題8分）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的判定． 分析： 連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論

66、； （2）證明△ABC∽△PBO，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長(zhǎng)． 解答： （1）證明：連接OB，如圖所示： ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切線； （2）解：∵⊙O的半徑為2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵． 21.（2015?青海西寧第26題10分）如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點(diǎn)A，D是射線BF上的一點(diǎn)，且滿足=，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)M，連接BM，AM． （1）求證：AD是⊙O的切線； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半徑． 考點(diǎn)： 切線的判定；相似三角形的判定與性