江蘇省13市2015年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編 專題15 探索型問(wèn)題

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1、專題15：探索型問(wèn)題 1. （2015年江蘇泰州3分）如圖，△中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交 AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等的三角形的對(duì)數(shù)是【 】 A. 1對(duì) B. 2對(duì) C. 3對(duì) D. 4對(duì) 【答案】D. 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定. 【分析】∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)， ∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易得. ∵EF是AC的垂直平分線， ∴根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等的性質(zhì)，易得. 綜上所述，圖中全等的三角形的對(duì)數(shù)是4對(duì).

2、故選D. 2. （2015年江蘇揚(yáng)州3分）如圖，若銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外（與點(diǎn)C在AB同側(cè)）， 則下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③中，正確的結(jié)論為【 】 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D. 【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形外角性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的性質(zhì). 【分析】如答圖，設(shè)與⊙O相交于點(diǎn)，連接. ∵，∴. ∵正弦、正切函數(shù)值隨銳角的增大而增大，余弦函數(shù)值隨銳角的增大而減小， ∴， ， . ∴正確的結(jié)論為①③. 故選D. 3. （2015年江蘇常州2分）將一張寬為4cm的長(zhǎng)方形紙片（足夠長(zhǎng)）折疊成如

3、圖所示圖形，重疊部分是一個(gè)三角形，則這個(gè)三角形面積的最小值是【 】 A. cm2 B.8 cm2 C. cm2 D. 16cm2 【答案】B． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；等腰直角三角形的性質(zhì)．. 【分析】如答圖，當(dāng)AC⊥AB時(shí)，三角形面積最小， ∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴AB=AC=4cm. ∴S△ABC=×4×4=8cm2． 故選B． 4. （2015年江蘇宿遷3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（3，0），點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為【

4、 】 A. 2個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè) 【答案】D． 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；圓周角定理；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【分析】如答圖，若△PAB為直角三角形，分三種情況： ①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)； ②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)； ③當(dāng)∠APB=90°，以點(diǎn)O 為圓心AB長(zhǎng)為直徑的圓與的圖象交于4點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)有4個(gè)． 綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)有6個(gè)． 故選D． 1. （2015年江蘇無(wú)錫2分）某商場(chǎng)在“五一”期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)顧

5、客按商品標(biāo)價(jià)一次性購(gòu)物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法：①如果不超過(guò)500元，則不予優(yōu)惠；②如果超過(guò)500元，但不超過(guò)800元，則按購(gòu)物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過(guò)800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過(guò)800元的部分給予6折優(yōu)惠．促銷期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨(dú)付款，則應(yīng)分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款 ▲ 元． 【答案】838或910． 【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)思想和分類思想的應(yīng)用． 【分析】由題意知：小紅付款單獨(dú)付款480元，實(shí)際標(biāo)價(jià)為480或480×0.8=600元，小紅母親單獨(dú)付款520元，實(shí)際標(biāo)價(jià)為520×0.8=

6、650元， 如果一次購(gòu)買標(biāo)價(jià)480+650=1130元的商品應(yīng)付款800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元； 如果一次購(gòu)買標(biāo)價(jià)600+650=1250元的商品應(yīng)付款800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元． ∴答案為：838或910． 2. （2015年江蘇徐州3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】探索規(guī)律題（圖形的變化類）；正方形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，知： 第一個(gè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

7、， 第二個(gè)正方形ACEF的邊長(zhǎng)為， 第三個(gè)正方形AEGH的邊長(zhǎng)為， 第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為， …… ∴第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為. 3. （2015年江蘇鹽城3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；分類思想的應(yīng)用. 【分析】如答圖，連接， ∵AB=4，AD=3，∴根據(jù)勾股定理，得BD=5. ∵， ∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外. ∴r

8、的取值范圍是. 4. （2015年江蘇鹽城3分）設(shè)△ABC的面積為1，如圖①將邊BC、AC分別2等份，、相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為；如圖②將邊BC、AC分別3等份，、相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為；……， 依此類推，則可表示為 ▲ ．(用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)) 【答案】. 【考點(diǎn)】探索規(guī)律題（圖形的變化類）；平行的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；等底或等高三角形面積的性質(zhì). 【分析】如答圖，連接，可知∥. 在圖①中，由題意，得，且，∴. ∴和的邊上高的比是.∴. 又∵，∴. 在圖②中，由題意，得，且，∴. ∴和的邊上高的比是.∴. 又∵，

9、∴. 在圖③中，由題意，得，且，∴. ∴和的邊上高的比是.∴. 又∵，∴. …… 依此類推， 可表示為， ∵，∴. 5. （2015年江蘇常州2分）數(shù)學(xué)家歌德巴赫通過(guò)研究下面一系列等式，作出了一個(gè)著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11； … 通過(guò)這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 ▲ （請(qǐng)用文字語(yǔ)言表達(dá)）． 【答案】所有大于2的偶

10、數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 【考點(diǎn)】探索規(guī)律型題（數(shù)字的變化類）．. 【分析】根據(jù)以上等式得出規(guī)律，此規(guī)律用文字語(yǔ)言表達(dá)為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 6. （2015年江蘇淮安3分）將連續(xù)正整數(shù)按如下規(guī)律排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第5行 17 18 19 20 ……… 若正整數(shù)565位于第行，第列，則＝ ▲ ． 【答案】147. 【考點(diǎn)】探

11、索規(guī)律題（數(shù)字的變化類——循環(huán)問(wèn)題）. 【分析】分別根據(jù)行和列的循環(huán)規(guī)律求解： ∵行的排列規(guī)律是4個(gè)數(shù)一行，而，∴. ∵列的排列規(guī)律是按照1—2—3—4—5—4—3—2列的順序8個(gè)數(shù)一循環(huán)， 而， ∴. ∴. 7. （2015年江蘇南通3分）關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），則a的取值范圍是 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系；一元二次方程根的判別式；二次函數(shù)的性質(zhì)；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 【分析】∵關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴且. 設(shè) ∵實(shí)數(shù)根都在﹣1和0之間， ∴當(dāng)

12、a＞0時(shí)，如答圖1， 由圖可知， 當(dāng)時(shí)，；但，矛盾， ∴此種情況不存在. 當(dāng)a＜0時(shí)，如答圖2， 由圖可知， 當(dāng)時(shí)，，即. 綜上所述，a的取值范圍是. 8. （2015年江蘇宿遷3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長(zhǎng)的最小值為 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；垂線段最短的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)． 【分析】根據(jù)垂線段最短得出PM⊥AB時(shí)線段PM最短，分別求出PB、OB、OA、AB的長(zhǎng)度，利用△PBM∽△ABO，即可求出答案

13、 如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，則：∠PMB=90°， 當(dāng)PM⊥AB時(shí)，PM最短， ∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3）. 在Rt△AOB中，∵AO=4，BO=3，∴根據(jù)勾股定理，得AB=5. ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠ABO=∠PBM， ∴△PBM∽△ABO. ∴，即：，解得. 1. （2015年江蘇連云港10分）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1． （1）判斷原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求⊙P被y軸所截得的

14、劣弧的長(zhǎng)； （3）當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】解：（1）原點(diǎn)O在⊙P外．理由如下： ∵直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)， ∴點(diǎn). 在Rt△OAB中，∵， ∴∠OBA=30°， 如答圖1，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H， 在Rt△OBH中，， ∵＞1，∴原點(diǎn)O在⊙P外. （2）如答圖2，當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)， ∵PB=PC，∴∠PCB=∠OBA=30°. ∴⊙P被y軸所截的劣弧所對(duì)的圓心角為：180°﹣30°﹣30°=120°. ∴弧長(zhǎng)為：. 同理：當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，弧長(zhǎng)同樣為：. ∴當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣

15、弧的長(zhǎng)為：. （3）如答圖3，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D， ∵PD⊥x軸，∴PD∥y軸. ∴∠APD=∠ABO=30°. ∴在Rt△DAP中，， ∴， ∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，0）. 當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可以求得此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，0）. 綜上所述，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，0）或（，0）． 【考點(diǎn)】圓和一次函數(shù)的的綜合題；單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定；扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算；直線與圓相切的性質(zhì)；分類思想的應(yīng)用． 【分析】（1）作輔助線“過(guò)點(diǎn)O作OH

16、⊥AB于點(diǎn)H”，由直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值求得∠OBA=30°，進(jìn)而應(yīng)用三角函數(shù)可求得OH的長(zhǎng)，繼而根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定求得結(jié)論. （2）分點(diǎn)P在y軸右側(cè)和點(diǎn)P在y軸左側(cè)兩種情況討論：求得⊙P被y軸所截的劣弧所對(duì)的圓心角，則可求得弧長(zhǎng). （3）分⊙P位于x軸下方和⊙P位于x軸上方兩種情況討論即可. 2. （2015年江蘇連云港12分）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上． （1）小明發(fā)

17、現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由． （2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)． （3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將線段DG與線段BE相交，交點(diǎn)為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 【答案】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE， ∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴∠AGD=∠AEB. 如答圖1，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H， 在△ADG中，∵∠AGD+∠ADG=90°， ∴∠AEB+∠ADG=90°. 在

18、△EDH中，∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°， ∴∠DHE=90°. ∴DG⊥BE. （2）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE， ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE， ∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴DG=BE. 如答圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M，則∠AMD=∠AMG=90°， ∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠MDA=45°. 在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2， ∴. 在Rt△AMG中，根據(jù)勾股定理得：， ∵，∴. （3）△GHE和△BHD面積之和

19、的最大值為6，理由如下： ∵對(duì)于△EGH，點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△EGH的高最大； ∵對(duì)于△BDH，點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△BDH的高最大. ∴△GHE和△BHD面積之和的最大值為2+4=6． 【考點(diǎn)】面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【分析】（1）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得∠AGD=∠AEB，作輔助線“延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H”

20、，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，從而利用垂直的定義即可得DG⊥BE. （2）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DG=BE，作輔助線“過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M”，則∠AMD=∠AMG=90°，在Rt△AMD中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AM的長(zhǎng)，即為DM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出GM的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出DG的長(zhǎng)，即為BE的長(zhǎng). （3）△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由為：對(duì)兩個(gè)三角形，點(diǎn)H分別在以EG為直徑的圓上和以BD為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，兩個(gè)三

21、角形的高最大，即可確定出面積的最大值． 3. （2015年江蘇連云港14分）如圖，已知一條直線過(guò)點(diǎn)（0，4），且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2． （1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)． （2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）過(guò)線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長(zhǎng)度最大？最大值是多少？ 【答案】解：（1）∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為﹣2， ∴.∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1）. 設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為

22、， 將（0，4），（﹣2，1）代入得，解得. ∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為. ∵直線與拋物線相交，∴聯(lián)立，得，解得：或. ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）. （2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)B作BG∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AG∥y軸，交點(diǎn)為G， ∴， ∵由A（﹣2，1），B（8，16）根據(jù)勾股定理，得AB2=325． 設(shè)點(diǎn)C（，0）， 根據(jù)勾股定理，得， ， ①若∠BAC=90°，則， 即，解得：. ②若∠ACB=90°，則， 即，解得：=0或=6. ③若∠ABC=90°，則， 即，解得：=32. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），（0，0），（6，0），（32，0）. （3）如答圖2，設(shè)MP與y

23、軸交于點(diǎn)Q，設(shè)， 在Rt△MQN中，由勾股定理得，， 又∵點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同， ∴，∴ ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為. ∴. ∴. 又∵，2≤6≤8， ∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，的長(zhǎng)度的最大值是18． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)的應(yīng)用；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；直角三角形存在性問(wèn)題；勾股定理；二次函數(shù)的最值；分類思想和方程思想的應(yīng)用． 【分析】（1）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo). （2）作輔助線“過(guò)點(diǎn)B作BG∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AG∥y軸，交點(diǎn)為G”，分若∠BAC=90°，∠ACB=90°，∠ABC=90°三種情況根據(jù)勾

24、股定理列方程確定點(diǎn)C的坐標(biāo). （3）設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)，，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得，然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值原理求解即可． 4. （2015年江蘇蘇州10分）如圖，已知二次函數(shù)（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l．設(shè)P為對(duì)稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC的度數(shù)為 ▲ °； （2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）； （3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長(zhǎng)度最小

25、？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】解：（1）45. （2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)， 設(shè)l與軸交于點(diǎn)， 根據(jù)題意，得拋物線的對(duì)稱軸為， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∵PA=PC，∴. ∴，即. 解得. ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為. （3）存在點(diǎn)Q滿足題意. ∵P點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴ . ∵，∴.∴. ∴是等腰直角三角形. ∵以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似， ∴是等腰直角三角形. ∴由題意知，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或. ①當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為時(shí)，如答圖2， 若PQ與垂直，則，解得，即. 若PQ與不垂直， 則有， ∵0＜m＜1，∴當(dāng)時(shí)，

26、取得最小值，取得最小值. ∵，∴. ∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，取得最小值. ②當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為時(shí)，如答圖3， 若PQ與垂直，則，解得，即. 若PQ與不垂直， 則有， ∵0＜m＜1，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最小值. ∵，∴. ∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，取得最小值. 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或時(shí)，的長(zhǎng)度最小. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；相似三角形的存在性問(wèn)題；二次函數(shù)的性質(zhì)；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)；實(shí)數(shù)的大小比較；分類思想的應(yīng)用. 【分析】（1）令，則，點(diǎn)C的坐標(biāo)為， 令，即，解得， ∵0＜m＜1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)B的

27、坐標(biāo)為. ∴. ∵∠BOC=90°，∴是等腰直角三角形.∴∠OBC=45°. （2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)l與軸交于點(diǎn)，求出拋物線的對(duì)稱軸為，則可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由PA=PC即，根據(jù)勾股定理得到，解出即可求解. （3）根據(jù)相似和是等腰直角三角形證明是等腰直角三角形，由題意知，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，從而分點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或兩種情況討論即可. 5. （2015年江蘇泰州12分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH. （1）求證：四邊形EFGH是正方形； （2）判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由； （3）求

28、四邊形EFGH面積的最小值. 【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴. ∵，∴. ∴.∴. ∴四邊形EFGH是菱形. ∵，∴.∴. ∴四邊形EFGH是正方形. （2）直線EG經(jīng)過(guò)定點(diǎn)-----正方形ABCD的中心. 理由如下： 如答圖，連接，、相交于點(diǎn)， ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC. ∵，∴四邊形BGDE是平行四邊形. ∴，即點(diǎn)是正方形ABCD的中心. ∴直線EG經(jīng)過(guò)定點(diǎn)----正方形ABCD的中心. （3）設(shè)，則， ∵， ∴當(dāng)時(shí)，四邊形EFGH面積的最小值為32. 【考點(diǎn)】單動(dòng)點(diǎn)和定值問(wèn)題；正方形的判定和性質(zhì)；全等三角形的判定和性

29、質(zhì)；平行四邊形的判定和性質(zhì)；勾股定理；二次函數(shù)的應(yīng)用（實(shí)際問(wèn)題）. 【分析】（1）由證明，即可證明四邊形EFGH是一個(gè)角是直角的菱形----正方形. （2）作輔助線“連接，、相交于點(diǎn)”構(gòu)成平行四邊形BGDE，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互分的性質(zhì)即可證明直線EG經(jīng)過(guò)定點(diǎn)-----正方形ABCD的中心. （3）設(shè)，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到關(guān)于的二次函數(shù)，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解即可. 6. （2015年江蘇無(wú)錫8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機(jī)傳給乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機(jī)傳給其他三人中的某一人．求第二次傳球后球回到甲手里的概率．

30、（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方式給出分析過(guò)程） （2）如果甲跟另外n（n≥2）個(gè)人做（1）中同樣的游戲，那么，第三次傳球后球回到甲手里的概率是 ▲ （請(qǐng)直接寫出結(jié)果）． 【答案】解：（1）畫樹狀圖如下： ∵共有9種等可能的結(jié)果，其中符合要求的結(jié)果有3種， ∴P（第2次傳球后球回到甲手里）=． （2） 【考點(diǎn)】列表法或樹狀圖法；概率；探索規(guī)律題（數(shù)字的變化類）．. 【分析】（1）畫樹狀圖或列表，根據(jù)圖表，可得總結(jié)果與傳到甲手里的情況，根據(jù)傳到甲手里的情況比上總結(jié)果，可得答案. （2）根據(jù)第一步傳的總結(jié)果是，第二步傳的總結(jié)果是，第三步傳的總結(jié)果是，傳給甲的結(jié)果

31、是，根據(jù)概率的意義，第三次傳球后球回到甲手里的概率是. 7. （2015年江蘇無(wú)錫10分）已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m－5，2)． （1）問(wèn)：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA＝90o？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值． 【答案】解：（1）存在． ∵， ∴OA=BC=5，BC∥OA. 如答圖1，以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，則∠OEA=∠OFA=90°， 過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于G，連接DE，則

32、DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF， ∴. ∴E（1，2），F(xiàn)（4，2）. 由解得，， ∴當(dāng)時(shí)，邊BC上總存在這樣的點(diǎn)P，使∠OPA=90°. （2）如答圖2， ∵BC=OA=5，BC∥OA， ∴四邊形OABC是平行四邊形. ∴OC∥AB. ∴∠AOC+∠OAB=180°. ∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB， ∴∠AOQ=∠AOC，∠OAQ=∠OAB. ∴∠AOQ+∠OAQ=90°. ∴∠AQO=90°. 以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，則∠OEA=∠OFA=90°， ∴點(diǎn)Q只能是點(diǎn)E或點(diǎn)F. 當(dāng)Q在F點(diǎn)時(shí)， ∵OF、AF分別是∠AOC與

33、∠OAB的平分線，BC∥OA， ∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB. ∴CF=OC，BF=AB. 而OC=AB，∴CF=BF，即F是BC的中點(diǎn)． 而F點(diǎn)為 （4，2），∴此時(shí)m的值為6.5. 當(dāng)Q在E點(diǎn)時(shí)，同理可求得此時(shí)m的值為3.5. 綜上所述，m的值為3.5或6.5． 【考點(diǎn)】圓的綜合題；垂徑定理；圓周角定理；平行四邊形的判定和性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；分類思想的應(yīng)用. 【分析】（1）由四邊形四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)易得OA=BC=5，BC∥OA，以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，根據(jù)圓周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如圖1，作DG⊥E

34、F于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，根據(jù)垂徑定理得EG=GF，利用勾股定理可計(jì)算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F(xiàn)（4，2），即點(diǎn)P在E點(diǎn)和F點(diǎn)時(shí)，滿足條件，此時(shí)，即1≤m≤9時(shí)，邊BC上總存在這樣的點(diǎn)P，使∠OPA=90°； （2）如圖2，先判斷四邊形OABC是平行四邊形，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義可得到∠AQO=90°，以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，于是得到點(diǎn)Q只能是點(diǎn)E或點(diǎn)F，當(dāng)Q在F點(diǎn)時(shí)，證明F是BC的中點(diǎn)．而F點(diǎn)為 （4，2），得到m的值為6.5；當(dāng)Q在E點(diǎn)時(shí)，同理可求得m的值為3.5． 8. （2015年江

35、蘇無(wú)錫10分）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC＝6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段05上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M． （1）若∠AOB=60o，OM=4，OQ=1，求證：05⊥OB； （2）當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形； ①問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說(shuō)明理由； ②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍． 【答案】解：（1）證明：如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E， ∵PQ∥OA，PM∥OB， ∴四邊形OMPQ為平行四邊形. ∵OQ=1，∠AOB

36、=60°， ∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°. ∴. ∴. ∴. ∴∠PCE=30°. ∴∠CPM=90°， 又∵PM∥OB，∴∠05O=∠CPM=90°，即05⊥OB. （2）①的值不發(fā)生變化，理由如下： 設(shè)， ∵四邊形OMPQ為菱形，∴. ∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O. 又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC. ∴，即， 化簡(jiǎn),得. ∴不變化. ②如答圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OA于點(diǎn)F，設(shè)， 則,∴． ∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O. 又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△05O. ∴. ∴ ∵0＜x＜6，∴根據(jù)二

37、次函數(shù)的圖象可知， ． 【考點(diǎn)】相似形綜合題；單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；定值問(wèn)題；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定和性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；平行四邊形的判定和性質(zhì)；菱形的性質(zhì). 【分析】（1）作輔助性線，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，利用兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形得到OMPQ為平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，進(jìn)而求出PE與ME的長(zhǎng)，得到CE的長(zhǎng)，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠PCE的度數(shù)，得到PM于NC垂直，而PM與ON平行，即可得到05與OB垂直. （2）①的值不發(fā)生變化，理由如下：設(shè)OM=x，O

38、N=y，根據(jù)OMPQ為菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y﹣x，根據(jù)平行得到△NQP與△NOC相似，由相似得比例即可確定出所求式子的值. ②作輔助性線，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OA于點(diǎn)F，表示出菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，得到，由PM與OB平行，得到△CPM與△05O相似，由相似得比例求出所求式子的范圍即可． 9. （2015年江蘇徐州8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限. 其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm （1）若OB=6cm． ①求點(diǎn)C的坐標(biāo)； ②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑

39、動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離； （2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值= ▲ cm. 【答案】解：（1）①如答圖1，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D， 在Rt△ABC中，AB=12，∠BAC=30°，∴BC=6. 在Rt△AOB中，AB=12， OB=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°. 又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°. ∴BD=3，CD=．∴OD=9. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為. ②如答圖2，設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離， 根據(jù)題意得點(diǎn)B向動(dòng)的距離. ∵在Rt△AOB中，AB=12， OB=6，∴. ∴. 在△A'O B'中，由勾股定理得，，

40、解得，（舍去）. ∴滑動(dòng)的距離為． （2）12． 【考點(diǎn)】面動(dòng)問(wèn)題；含30度角直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；點(diǎn)的坐標(biāo)；二次函數(shù)最值的應(yīng)用；方程思想的應(yīng)用. 【分析】（1）①作輔助線“過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D”，應(yīng)用含30度角直角三角形的性質(zhì)求出CD和BD的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo). ②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離，用表示出和的長(zhǎng)，在△A'O B'中，應(yīng)用勾股定理列方程求解即可. （2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為， 如答圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，CD⊥y軸， 垂足分別為E，D，則OE=－x，OD=y. ∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB. 又∵∠AE

41、C=∠BDC=90°，∴△ACE ∽△BCD. ∴，即. ∴. ∴. ∴當(dāng)取最大值，即點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離最大時(shí)，有最大值，即OC取最大值，如圖，即當(dāng)轉(zhuǎn)到與y軸垂時(shí). 此時(shí)OC=12． 10. （2015年江蘇徐州12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長(zhǎng)至C，使BC=AB，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,交線段OB于點(diǎn)E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過(guò)O、E、A三點(diǎn). （1）∠OBA= ▲ °； （2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，

42、則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？ 【答案】解：（1）90. （2）如答圖1，連接OC， ∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC， ∴OB是的垂直平分線. ∴OC=OA=10. 在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6. ∴C(6，8)，B(8，4). ∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系為. 又E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即E(6，3)． ∵拋物線過(guò)O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)， ∴設(shè)此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為， 把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得. ∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，即． （3）設(shè)點(diǎn)， ①若點(diǎn)P在CD的左側(cè)，延長(zhǎng)OP交CD于Q，如答圖2，

43、 ∵OP所在直線函數(shù)關(guān)系式為：， ∴當(dāng)x=6時(shí)，，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為. ∴. ∴S四邊形POAE= S△OAE ＋S△OPE = S△OAE ＋S△OQE－S△PQE = =. ②若點(diǎn)P在CD的右側(cè)，延長(zhǎng)AP交CD于Q，如答圖3， ，A(10，0)， ∴設(shè)AP所在直線方程為：y=kx＋b， 把P和A坐標(biāo)代入得，， 解得. ∴AP所在直線方程為：. ∴當(dāng)x=6時(shí)，，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為.∴QE=. ∴S四邊形POAE= S△OAE ＋S△APE= S△OAE ＋S△AQE －S△PQE = =. ∴當(dāng)P在CD右側(cè)時(shí)，四邊形POAE的面積最大值為16，此時(shí)點(diǎn)P的位置就一個(gè)

44、， 令，解得，. ∴當(dāng)P在CD左側(cè)時(shí)，四邊形POAE的面積等于16的對(duì)應(yīng)P的位置有兩個(gè). 綜上知，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積S等于16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；圓周角定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；待定系數(shù)洪都拉斯應(yīng)用；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；分類思想、轉(zhuǎn)換思想和方程思想的應(yīng)用. 【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角定理直接得出結(jié)論. （2）作輔助線：連接OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理求出點(diǎn)E、A的坐標(biāo)，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式. （3）設(shè)點(diǎn)，分點(diǎn)P在CD的左側(cè)和右側(cè)兩種情況求出S四邊形POAE關(guān)于

45、的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值原理求解即可. 11. （2015年江蘇鹽城12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線的對(duì)稱軸繞著點(diǎn)P（，2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是該拋物線上的一點(diǎn). （1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式； （2）如圖①，若點(diǎn)Q在直線AB的下方，求點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值； （3）如圖②，若點(diǎn)Q在y軸左側(cè)，且點(diǎn)T（0，t）（t<2）是直線PO上一點(diǎn)，當(dāng)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△PAT相似時(shí)，求所有滿足條件的t的值. 【答案】解：（1）如答圖1，設(shè)直線AB與軸的交點(diǎn)為M， ∵，P（，2），∴. 設(shè)直線AB的解析式為， 則，

46、解得. ∴直線AB的解析式為. （2）如答圖2，過(guò)點(diǎn)Q作軸的垂線QC，交AB于點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)Q作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)D， 根據(jù)條件可知，是等腰直角三角形. ∴. 設(shè)，則， ∴. ∴. ∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值為. （3）∵，∴中必有一角等于45°. ①由圖可知，不合題意. ②若， 如答圖3，過(guò)點(diǎn)B作軸的平行線與軸和拋物線分別交于點(diǎn)，此時(shí)，. 根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)，知， ∴是等腰直角三角形. ∵與相似，且， ∴也是等腰直角三角形. i）若， 聯(lián)立，解得或. ∴. ∴.∴，此時(shí)，. ii）若，，此時(shí)，. ③若，②是情況之一，答案同上. 如

47、答圖4，5，過(guò)點(diǎn)B作軸的平行線與軸和拋物線分別交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，則都在上，設(shè)與y軸左側(cè)的拋物線交于另一點(diǎn). ∵根據(jù)圓周角定理，， ∴點(diǎn)也符合要求. 設(shè)， 由得解得或， 而，故.∴. 可證是等邊三角形，∴. ∴. 則在中，. i）若， 如答圖4，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)， 則， ∴. ∴，此時(shí)，. ii）若， 如答圖5，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)， 設(shè)，則. ∵，∴，.∴. ∴，此時(shí)，. 綜上所述，所有滿足條件的t的值為或或或. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；線動(dòng)旋轉(zhuǎn)和相似三角形存在性問(wèn)題；待定系數(shù)法的應(yīng)用；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；含30度角

48、直角三角形的性質(zhì)；二次函數(shù)最值；勾股定理；圓周角定理；分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的應(yīng)用. 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到等腰直角三角形，從而得到解決點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式. （2）作輔助線“過(guò)點(diǎn)Q作軸的垂線QC，交AB于點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)Q作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)D”，設(shè)，求出關(guān)于的二次函數(shù)，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理即可求解. （3）分，，三種情況討論即可. 12. （2015年江蘇揚(yáng)州12分）如圖，直線⊥線段于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，連接. （1）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則= ▲ °，線段

49、與的比值為 ▲ ； （2）如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓與直線相交于，連接. 求證：①；②； （3）如圖3，，則滿足條件的點(diǎn)都在一個(gè)確定的圓上，在以下兩小題中選做一題： ①如果你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)確定圓的圓心和半徑，那么不必寫出發(fā)現(xiàn)過(guò)程，只要證明這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)Q，都滿足QA=2QB； ②如果你不能發(fā)現(xiàn)這個(gè)確定圓的圓心和半徑，那么請(qǐng)取幾個(gè)特殊位置的點(diǎn)，如點(diǎn)在直線上、點(diǎn)與點(diǎn)重合等進(jìn)行探究，求這個(gè)圓的半徑. 【答案】解：（1）30；2. （2）證明：①∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴.∴. ∵是圓內(nèi)接四邊形的外角，∴.∴. ∴. ②如答圖1，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)

50、， ∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)， ∴是的垂直平分線. ∴，. ∴. ∵，∴. ∴.∴. ∴. （3）兩小題中選做一題： ①如答圖2，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，以點(diǎn)為圓心，2為半徑畫圓，取圓上任一點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)，使，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)， ∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)， ∴是的垂直平分線. ∴. 又∵，∴.∴點(diǎn)、重合. ∵，∴. ∴. ②若點(diǎn)在線段上，由知，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，這個(gè)圓的半徑為2. 若點(diǎn)在射線的延長(zhǎng)線上，由知，點(diǎn)與點(diǎn)重合，這個(gè)圓的半徑為2. 等. 【考點(diǎn)】開放型；單動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問(wèn)題；軸對(duì)稱的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的

51、三角函數(shù)值；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行線分線段成比例的性質(zhì). 【分析】（1）∵，∴. ∵，∴線段與的比值為2. （2）①一方面證明得到；另一方面，由是圓內(nèi)接四邊形的外角得到，從而得到，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊的判定得證. ②作輔助線“連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)”，應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)和平行線分線段成比例的性質(zhì)證明. （3）①如答圖2，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，以點(diǎn)為圓心，2為半徑畫圓，取圓上任一點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)，使，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，此圓即為所求定圓. ②取特殊點(diǎn)探討，答案不唯一. 13. （2015年江蘇常

52、州10分）設(shè)ω是一個(gè)平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過(guò)有限步作圖（簡(jiǎn)稱尺規(guī)作圖），畫出一個(gè)正方形與ω的面積相等（簡(jiǎn)稱等積），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為ω的“化方”． （1）閱讀填空 如圖①，已知矩形ABCD，延長(zhǎng)AD到E，使DE=DC，以AE為直徑作半圓．延長(zhǎng)CD交半圓于點(diǎn)H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABCD等積． 理由：連接AH，EH． ∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90° ∴∠HAD+∠AHD=90° ∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ▲ ． ∴，即DH2=AD×DE．

53、 又∵DE=DC ∴DH2= ▲ ，即正方形DFGH與矩形ABCD等積． （2）操作實(shí)踐 平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的正方形． 如圖②，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出與等積的矩形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡）． （3）解決問(wèn)題 三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的 ▲ （填寫圖形名稱），再轉(zhuǎn)化為等積的正方形． 如圖③，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)作出與△ABC等積的正方形的一條邊（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過(guò)計(jì)算△ABC面積作圖）． （4）拓展探究 n邊形（n＞3）的“化方”思路之

54、一是：把n邊形轉(zhuǎn)化為等積的n﹣1邊形，…，直至轉(zhuǎn)化為等積的三角形，從而可以化方． 如圖④，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過(guò)計(jì)算四邊形ABCD面積作圖）． 【答案】解：（1）△HDE；AD×DC. （2）如答圖1，矩形ANMD即為與等積的矩形. （3）矩形. 如答圖2，CF為與△ABC等積的正方形的一條邊. （4）如答圖3，△BCE是與四邊形ABCD等積的三角形. ， 【考點(diǎn)】閱讀理解型問(wèn)題；尺規(guī)作圖（復(fù)雜作圖）；全等、相似三角形的判定和性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)

55、；圓周角定理；轉(zhuǎn)換思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【分析】（1）首先根據(jù)相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；根據(jù)等量代換，可得DH2=AD×DC，據(jù)此判斷即可． （2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)N，連接AN，則易證△DCM≌△ABN，因此，矩形ANMD即為與等積的矩形. （3）三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再轉(zhuǎn)化為等積的正方形． 首先以三角形的底為矩形的長(zhǎng)，以三角形的高的一半為矩形的寬，將△ABC轉(zhuǎn)化為等積的矩形BCMN；然后延長(zhǎng)BC到E，使CE=CM，以BE為直徑作圓．延長(zhǎng)CM交圓于點(diǎn)F，則CF即

56、為與△ABC等積的正方形的一條邊． （4）連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE，則△BCE是與四邊形ABCD等積的三角形. 14. （2015年江蘇常州10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線l，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB與△OAP外接圓的交點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合． （1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△OQB與△APQ全等？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）若點(diǎn)M在直線l上，且∠POM=90°，記△OAP外接圓和△OAM外接圓的面積分別是S1、S2，求

57、的值． 【答案】解（1）（4，0）. （2）存在．理由如下： 如答圖1所示： 將x=0代入得：，∴OB=4. 由（1）可知OA=4. 在Rt△BOA中，由勾股定理得：． ∵△BOQ≌△AQP，∴QA=OB=4，BQ=PA． ∵，∴PA= ． ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）． （3）如答圖2所示： ∵OP⊥OM，∴∠1+∠3=90°． 又∵∠2+∠1=90°，∴∠2=∠3． 又∵∠OAP=∠OAM=90°，∴△OAM∽△PAO． ∴. 設(shè)AP=m，則：，∴． 在Rt△OAP中，， ∴. 在Rt△OAM中，， ∴. ∴. 【考點(diǎn)】圓的綜合題；單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；直線上

58、點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；勾股定理；全等三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)． 【分析】（1）將y=0代入，求得x的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo). （2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理求得AB的長(zhǎng)度，由全等三角形的性質(zhì)求得QA的長(zhǎng)度，從而得到BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)PA=BQ求得PA的長(zhǎng)度，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo). （3）首先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理可求得兩圓的直徑（用含m的式子表示），然后利用圓的面積公式求得兩圓的面積，最后代入所求代數(shù)式求解即可 15. （2015年江蘇淮安12分）閱讀理解： 如圖①，如果四邊形A

59、BCD滿足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=900,那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”. 將一張如圖①所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖②所示的形狀，再展開得到圖③，其中CE、CF為折痕，∠BCD=∠ECF=∠FCD，點(diǎn)B′為點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D′為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接EB′、FD′相交于點(diǎn)O. 簡(jiǎn)單應(yīng)用： （1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是 ▲ ； （2）當(dāng)圖③中的時(shí)，∠AEB′＝ ▲ °； （3）當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時(shí)，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有 ▲ 個(gè)（包含四邊形ABCD）. 拓展提

60、升： 當(dāng)圖中的時(shí)，連接AB′，請(qǐng)?zhí)角蟆螦B′E的度數(shù)，并說(shuō)明理由. 【答案】解：簡(jiǎn)單應(yīng)用： （1）正方形. （2）80. （3）5. 拓展提升：，理由如下： 如答圖，連接， ∵，且AB=AD， ∴四邊形ABCD是正方形. ∴. 由折疊對(duì)稱的性質(zhì)，得， ∴點(diǎn)在以為直徑的圓上. ∵由對(duì)稱性，知，∴. ∴. 【考點(diǎn)】新定義和閱讀理解型問(wèn)題；折疊問(wèn)題；正方形的判定和性質(zhì)；折疊對(duì)稱的性質(zhì)；圓周角定理；等腰直角三角形的性質(zhì). 【分析】簡(jiǎn)單應(yīng)用： （1）根據(jù)“完美箏形”的定義，知只有正方形是“完美箏形”. （2）∵，∴根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，得. ∵，∴. ∴. （

61、3）根據(jù)“完美箏形”的定義，可知是“完美箏形”. 拓展提升： 作輔助線“連接”，由題意判定四邊形ABCD是正方形，從而證明點(diǎn)在以為直徑的圓上，即可得出. 16. （2015年江蘇淮安12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8. 動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng). 過(guò)線段MN的中點(diǎn)G作邊AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，交△ABC的另一邊于點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. （1）當(dāng)t＝ ▲ 秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M、N相遇

62、； （2）設(shè)△PMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）取線段PM的中點(diǎn)K，連接KA、KC，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△KAC的面積是否變化？若變化，直接寫出它的最大值和最小值；若不變化，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】解：（1）2.5. （2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分三段：點(diǎn)與點(diǎn)重合前；點(diǎn)與點(diǎn)重合后點(diǎn)M、N相遇前；點(diǎn)與點(diǎn)重合后點(diǎn)M、N相遇后. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如答圖1， ∵， ∴. ∴根據(jù)勾股定理，得，解得. 由（1）動(dòng)點(diǎn)M、N相遇時(shí)，. 當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，由得. ①當(dāng)時(shí)，如題圖， ∵，∴. ∵，，∴，即. ∴. ②當(dāng)時(shí)，如答圖2， ∵，∴. ∵，， ∴，即.

63、 ∴. ③當(dāng)時(shí)，如答圖3， ∵，∴. ∵，， ∴，即. ∴. 綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為. （3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△KAC的面積變化，它的最大值是4，最小值是. 【考點(diǎn)】雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式（幾何問(wèn)題）；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；一次函數(shù)的應(yīng)用和性質(zhì)；三角形和梯形的中位線定理；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 【分析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8，∴根據(jù)勾股定理，得. ∵點(diǎn)M的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度， ∴動(dòng)點(diǎn)M、N相遇時(shí)，有秒. （2）分點(diǎn)與點(diǎn)重合前；點(diǎn)與點(diǎn)重合后點(diǎn)M、N相遇前

64、；點(diǎn)與點(diǎn)重合后點(diǎn)M、N相遇后三種情況討論即可. （3）分點(diǎn)與點(diǎn)重合前；點(diǎn)與點(diǎn)重合后點(diǎn)M、N相遇前；點(diǎn)與點(diǎn)重合后點(diǎn)M、N相遇后三種情況討論，如答圖，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，易得 ①當(dāng)時(shí)，如答圖4，易得，， ∴. ∴. 當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最小值為. ②當(dāng)或時(shí)，如答圖4，5，易得，. ∴. 當(dāng)時(shí)，最大值為4； 最小值不大于. 綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△KAC的面積變化，它的最大值是4，最小值是. 17. （2015年江蘇南通13分）已知拋物線（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，直線. （1）求證：點(diǎn)P在直線l上； （2）當(dāng)m=﹣3時(shí)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸

65、交于點(diǎn)C，與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，∠ACM=∠PAQ（如圖），求點(diǎn)M的坐標(biāo)； （3）若以拋物線和直線l的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的m的值． 【答案】解：（1）證明：∵， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m﹣1）， ∵當(dāng)x=m時(shí)，y=x﹣1=m﹣1， ∴點(diǎn)P在直線l上. （2）當(dāng)m=﹣3時(shí)，拋物線解析式為， 當(dāng)y=0時(shí)，，解得x1=﹣1，x2=﹣5，則A（﹣5，0）. 當(dāng)x=0時(shí)，，則C（0，5）. 聯(lián)立方程組，解得或， ∴P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3）. 如答圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x

66、軸于F，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G， ∵OA=OC=5，∴△OAC為等腰直角三角形. ∴∠ACO=45°. ∴∠MCE=45°﹣∠ACM. ∵QG=3，OG=2，∴AG=OA﹣OG=3=QG. ∴△AQG為等腰直角三角形. ∴∠QAG=45°. ∴. ∵∠ACM=∠PAQ，∴∠APF=∠MCE. ∴Rt△CME∽R(shí)t△PAF. ∴. 設(shè)，則. ∴，整理得，解得x1=0（舍去），x2=﹣4， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3）. （3）m的值為0，，，，． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；分類思想和方程思想的應(yīng)用．. 【分析】（1）利用配方法求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)P在直線l上. （2）當(dāng)m=﹣3時(shí)，拋物線解析式為，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題求出A（﹣5，0），易得C（0，5），通過(guò)解方程組得P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），如圖，作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，證明Rt△CME∽R(shí)t△PAF，利用相似得，設(shè)，則，解之即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)