高等代數(shù)§7.1線性變換的定義.ppt

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1、7.1 線性變換的定義,教學(xué)目的: 理解線性變換的概念,教學(xué)重點(diǎn): 線性變換的概念,教學(xué)難點(diǎn): 線性變換的概念,（i）,（ii）,定義1,數(shù)域 上的線性空間 到其自身 的映射稱為 的一個(gè)變換； 的一個(gè)變 換 稱為線性變換，如果對于 中任意 向量 ， 和數(shù)域 中任意數(shù) ，都有,以后，我們一般用黑體大寫拉丁字母代表線性變換 , 用 或 代表元素 在變換 下的象 .,上述定義中的 （i）（ii）兩條有時(shí)也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法 , 它可以用下面的一條來代替,（iii）,其中,例1,平面上的向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的二維線 性空間。把向量圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角 的變換是一個(gè)線性變換，記成 。坐

2、標(biāo)變 換公式如下：,例2,設(shè) 是幾何空間中一個(gè)固定的非 零向量，把每個(gè)向量 變成它到 上 的內(nèi)射影的變換是一個(gè)線性變換，記 成 。即,其中 表示內(nèi)積。,例3,特別地，當(dāng) 時(shí)，即 ， 稱它為零變換；,當(dāng) 時(shí)，稱它為單位變換或恒 等變換，記為 ，即 。,是一個(gè)線性變換。,例4,在線性空間 或 中，求 微商是一個(gè)線性變換，記成 ，即,例5,定義在閉區(qū)間 上的全體連續(xù)函 數(shù)組成一線性空間，以 代表，變 換,線性變換的性質(zhì),（i）,設(shè) 是 的線性變換，則：,則 是 同樣的線性組合：,（ii）,線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變，即,如果 是 的線性組合：,線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。,其逆不成立，線性變換可能 把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組。例如零變換就是如此。,注：,（iii）,