27.2 反比例函數(shù)的圖像與性質（2）

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27.2 反比例函數(shù)的圖像與性質（2） 教學目標 【知識與能力】 1.能根據(jù)反比例函數(shù)y= 的圖像理解和掌握反比例函數(shù)的性質. 2.能運用反比例函數(shù)的性質解決有關問題. 【過程與方法】 1.通過觀察反比例函數(shù)的圖像探究反比例函數(shù)的性質,感受反比例函數(shù)表達式與圖像之間的聯(lián)系,體會數(shù)形結合思想的魅力. 2.引導學生類比一次函數(shù)的研究方法,探究反比例函數(shù)的圖像和性質,培養(yǎng)學生的類比思想和遷移能力. 3.通過引導學生正確地對函數(shù)圖像進行觀察、分析和抽象概括,培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力,增強學生探究問題的本領. 【情感態(tài)度價值觀】 1.在動手操作的過程中,體會學習數(shù)學的樂趣,養(yǎng)成勤于動手、勤于思考、勇于探索的習慣. 2.在探究活動中,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和勇于探索的精神,通過應用反比例函數(shù)的性質解決有關問題,增強學生的自信,培養(yǎng)學生的學習興趣. 3.經(jīng)歷觀察、思考、分析、交流等學習過程,提高學生數(shù)學學習能力及合作精神,逐步提高學生分析問題、解決問題的能力. 教學重難點 【教學重點】 探究反比例函數(shù)的性質,能靈活運用反比例函數(shù)的圖像與性質解決問題. 【教學難點】 靈活運用反比例函數(shù)的圖像與性質解決問題. 課前準備 多媒體課件 教學過程 一、新課導入： 導入一: 復習提問: 1.反比例函數(shù)的圖像是什么形狀的?它有什么特征? (兩條曲線;反比例函數(shù)圖像與x軸、y軸沒有交點,兩條曲線關于原點對稱等) 2.反比例函數(shù)y=6x的圖像位于哪幾個象限?反比例函數(shù)y=-6x的圖像呢? (第一、三象限;第二、四象限) 3.你能說出一次函數(shù)的所有性質是什么嗎? (一次函數(shù)的增減性、所經(jīng)過象限等) 【師生活動】　學生思考回答,教師點評補充. 　　[過渡語]　上節(jié)課我們通過畫反比例函數(shù)圖像了解了反比例函數(shù)的一些性質,類比一次函數(shù)的性質,反比例函數(shù)是否還有其他性質呢?這就是我們這節(jié)課共同探究的內容. 導入二: 【課件展示】　長方體的體積為50 cm3,它的底面積S(單位:cm2)與高h(單位:cm)之間滿足的函數(shù)關系是什么?當它的高h增加時,它的底面積S將怎樣變化? 【師生活動】　學生思考回答,并觀察到該反比例函數(shù)中S隨h的增大而減小,教師引出課題. [設計意圖]　復習上節(jié)課反比例函數(shù)圖像的形狀及簡單特征,對本節(jié)課的學習起到承上啟下的作用,降低了學生學習本節(jié)課的難度.以生活實際問題導入新課,讓學生體會生活中處處有數(shù)學,激發(fā)學生的學習興趣,同時通過觀察思考問題中底面積S與高h之間的關系,很自然地由實際問題抽象出本課時學習重點之一的反比例函數(shù)圖像的增減性. 二、新知構建： 　　[過渡語]　這節(jié)課我們繼續(xù)研究反比例函數(shù)的圖像與性質,應用反比例函數(shù)的圖像和性質能解決哪些問題?讓我們一起去探究吧! 共同探究　反比例函數(shù)的圖像與性質 活動一: 【課件展示】　觀察上節(jié)課我們畫出的反比例函數(shù)y=6x與y=-6x的圖像及表達式,探究下列問題: 表達式 圖像的位置 y隨x的變化情況 y=6x 圖像在第　　　　、　　　　象限內? 在每個象限內,y的值隨x的值增大而　　　? y=-6x 圖像在第　　　　、　　　　象限內? 在每個象限內,y的值隨x的值增大而　　　? 　　【師生活動】　學生觀察兩個函數(shù)圖像,獨立思考完成填空,小組內交流答案,教師巡視時幫助有困難的學生,對學生的回答進行點評歸納. 活動二: 動手操作: 畫出反比例函數(shù)y=2x和y=-2x的圖像. 【思考】 指出反比例函數(shù)y=2x和y=-2x的圖像所在象限,并說明y的值隨x的值的變化而變化的情況. 【師生活動】　學生獨立完成畫函數(shù)圖像的過程及思考,小組內交流答案,教師對學生的回答作出點評. [設計意圖]　通過學生動手操作、觀察思考、分析交流等數(shù)學活動,借助函數(shù)圖像直觀地歸納出反比例函數(shù)圖像的位置及y隨x的變化規(guī)律,教師還可以引導學生通過觀察對應表或分析函數(shù)表達式進行認識,讓學生體會數(shù)形結合思想在數(shù)學中的應用,同時培養(yǎng)學生觀察、分析、思考的能力. 　　[過渡語]　我們通過觀察特殊反比例函數(shù)y=6x與y=-6x及y=2x與y=-2x的圖像,得到了它們的性質,對于一般反比例函數(shù)y=kx,它有哪些性質呢? 思路一 觀察所畫的函數(shù)圖像,學生在教師的引導下思考回答: (1)反比例函數(shù)圖像的形狀是什么? (雙曲線) (2)反比例函數(shù)圖像無限延伸后與x軸、y軸有公共點嗎?反比例函數(shù)圖像關于原點O對稱嗎? (函數(shù)圖像與x軸、y軸沒有交點,關于原點O對稱) (3)函數(shù)圖像在哪個象限內?函數(shù)表達式中誰決定函數(shù)圖像的位置? (當k>0時,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限;當k<0時,雙曲線的兩支分別位于第二、四象限) (4)觀察函數(shù)圖像,在每個象限內隨著x的增大,y如何變化?函數(shù)表達式中誰決定函數(shù)圖像的增減性? (當k>0時,在每個象限內,y隨x的增大而減小;當k<0時,在每個象限內,y隨x的增大而增大) 【師生活動】　學生在教師設計的問題下邊思考邊回答,教師提示學生可以通過表格和圖像兩個方面思考解決問題,對回答有困難的問題,教師要給學生足夠的時間思考、交流. 共同歸納總結: 【課件展示】　一般地,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是雙曲線,它具有以下性質: 1.當k>0時,它的圖像位于第一、三象限,在每個象限內,y的值隨x的值增大而減小; 2.當k<0時,它的圖像位于第二、四象限,在每個象限內,y的值隨x的值增大而增大; 3.雙曲線的兩支向兩邊無限延伸,與坐標軸沒有交點; 4.雙曲線的兩支關于坐標原點成中心對稱. [設計意圖]　通過教師設計的問題,引導學生由淺入深地思考,使學生在探究函數(shù)的性質的過程中有明確的方向和目的,降低學生學習新知識的難度,培養(yǎng)學生觀察、分析及歸納總結的能力,進一步體會數(shù)形結合思想及由特殊到一般的數(shù)學方法. 思路二 類比以前研究的一次函數(shù)的方法,根據(jù)所列表格、函數(shù)表達式、所畫函數(shù)圖像,你能得到哪些結論?看看哪個小組得到的正確結論最多? 【師生活動】　觀察所畫的四個函數(shù)圖像后獨立思考,再小組合作交流,然后學生展示,教師在巡視過程中及時幫助有困難的學生,發(fā)現(xiàn)學生思考片面時,可以及時提醒學生從圖像形狀、增減性、對稱性等多個角度觀察思考,學生展示后,教師點評,師生共同歸納函數(shù)的性質. 共同總結: 一般地,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是雙曲線,它具有以下性質: 1.當k>0時,它的圖像位于第一、三象限,在每個象限內,y的值隨x的值增大而減小; 2.當k<0時,它的圖像位于第二、四象限,在每個象限內,y的值隨x的值增大而增大; 3.雙曲線的兩支向兩邊無限延伸,與坐標軸沒有交點; 4.雙曲線的兩支關于坐標原點成中心對稱. 　　[設計意圖]　通過小組合作交流,歸納反比例函數(shù)的性質,學生之間的合作交流,培養(yǎng)了學生的合作精神,同時提高分析問題的能力.類比以前學過的函數(shù)的方法和性質歸納總結,讓學生體會數(shù)學中重要的學習方法——類比,同時進一步體會數(shù)形結合思想是學習數(shù)學最常用的思想方法之一. 例題講解 　(教材135頁例2)反比例函數(shù)y=kx的圖像如圖所示. (1)判斷k為正數(shù)還是負數(shù). (2)如果A(-3,y1)和B(-1,y2)為這個函數(shù)圖像上的兩點,那么y1與y2的大小關系是怎樣的? 【師生活動】　學生獨立思考后完成解答過程,小組內交流答案,對有疑問的學生,組長和老師積極幫助,教師鼓勵學生多角度思考比較函數(shù)值的大小,鼓勵學生一題多解,對學生的回答點評后課件展示答案,規(guī)范學生的解答過程. 【課件展示】 解:(1)因為反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一、三象限, 所以k>0. (2)由k>0可知,在每個象限內,y的值隨x的值增大而減小. ∵-3<-1, ∴y1>y2. [設計意圖]　通過觀察函數(shù)圖像的位置及增減性,判斷比例系數(shù)k的正負及比較圖像上點的縱坐標的大小,培養(yǎng)學生的讀圖能力和分析問題的能力,再次體會數(shù)形結合思想的重要應用,同時培養(yǎng)獨立思考、解決問題的能力. 　如圖所示,點A在反比例函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上,AB⊥x軸于B,AC⊥y軸于C,你能求出矩形OBAC的面積嗎? 教師引導回答問題: (1)矩形的兩條鄰邊長與點A的坐標之間有什么關系? (2)點A在反比例函數(shù)圖像上,它的橫、縱坐標與比例系數(shù)之間是否有等量關系? (3)你能求出矩形OBAC的面積嗎? (4)求出的矩形面積與比例系數(shù)之間有什么關系? 【師生活動】　學生獨立思考后,小組交流,教師幫助有困難的學生,并對學生的展示作出評價. 解:設點A的坐標為(x,y),則xy=3. ∴S矩形OBAC=xy=3. 拓展思考: (1)若點A在反比例函數(shù)y=3x(x<0)的圖像上,矩形的面積又是多少?它與比例系數(shù)之間有什么關系? (2)如圖所示,若點A是反比例函數(shù)y=kx(k≠0)圖像上任意一點呢? (3)若連接OA,則△AOB與△AOC的面積又有怎樣的關系? 【師生活動】　學生獨立思考后小組合作交流,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的回答進行點評,師生共同歸納結論. 結論: 反比例函數(shù)y=kx(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義: S矩形OBAC=|x||y|=|k|,S△ABO=S△ACO=12|k|. [設計意圖]　通過探究比例系數(shù)k的幾何意義,進一步運用反比例函數(shù)的圖像和性質解決問題,培養(yǎng)學生觀察、分析圖像,從圖像中獲取信息的能力.通過挖掘反比例函數(shù)表達式與面積之間的數(shù)量關系,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,同時對不同象限內點的討論,讓學生感受數(shù)學學習的嚴謹性,體會由特殊到一般的數(shù)學方法. [知識拓展]　 1.反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號決定的,反過來,由雙曲線的位置或函數(shù)的增減性可以判斷k的符號. 2.當k>0時,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限;當k<0時,雙曲線的兩支分別位于第二、四象限. 3.反比例函數(shù)的增減性必須強調“在每一個象限內”.當k>0時,在每一個象限內,y隨著x的增大而減小,但不能籠統(tǒng)地說:當k>0時,y隨著x的增大而減小.同樣,當k<0時,在每一個象限內,y隨著x的增大而增大,也不能籠統(tǒng)地說:當k<0時,y隨著x的增大而增大. 4.過雙曲線y=kx(k≠0)上的任意一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線,這一點與垂足、原點所構成的矩形的面積為S矩形=|k|,所構成的三角形的面積為S△=12|k|. 三、課堂小結： 1.反比例函數(shù)y=kx的圖像和性質: 當k>0時,它的圖像位于第一、三象限,在每個象限內,y的值隨x的值增大而減小;當k<0時,它的圖像位于第二、四象限,在每個象限內,y的值隨x的值增大而增大. 2.反比例函數(shù)y=kx(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義. - 6 -