《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社第二章矩陣.ppt

《《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社第二章矩陣.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社第二章矩陣.ppt（52頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、,幾何與代數(shù),主講: 關(guān)秀翠,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,東 南 大 學(xué) 線 性 代 數(shù) 課 程,教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時分配,,,第二章 矩 陣,思考題：（學(xué)會歸納總結(jié)）,矩陣上的哪些運算是只定義在方陣上的？ 矩陣乘積的交換律一般情況下不成立，但有一些特殊情況是成立的，此時稱A,B是可交換的。請列舉出矩陣乘積可交換的情況。,1. 方陣的正整數(shù)冪,只定義在n階方陣上的運算,A可逆 |A| 0,4. 伴隨矩陣,5. 可逆矩陣,A2=AA,,Ak+1=AkA,3. 行列式,2. 對稱矩陣AT = A,數(shù)量矩陣 En,單位矩陣En,|A|: Rnn R,對角矩陣(iij),1. 方陣的正整數(shù)冪,乘積可交換的運算,4. 伴

2、隨矩陣,5. 可逆矩陣,AkAl=AlAk,3. 行列式,數(shù)量矩陣 En,單位矩陣En,(a Em) Amn = Amn (a En),2. 對角矩陣(iij), =,第二章 矩陣,二. 逆矩陣的運算性質(zhì),一. 可逆矩陣,1. 定義,2.2 逆矩陣,定義在n階方陣上,A可逆，若 方陣B使得AB=BA=E.,A可逆 |A| 0,|A1| = |A|1.,(AT)1 = (A1)T.,(AB)1 = B1A1.,2. 伴隨矩陣,推論. 設(shè)A,B為方陣, 若AB = E(或BA = E), 則B=A1.,穿脫原理,例 9. 求下列方陣的逆矩陣.,解: (1),(2) |B| = 2 0,,B21 =

3、6,,B22 = 6, B23 = 2,,B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2.,2 3 2,B12 = 3,,B13 = 2,,4,2,3,1,4 5 2,6 6 2,,當(dāng)n2, |A| 0時, 有,主換位, 副變號,線性方程組 Ax=b, 能否在一定條件下引進 A-1 的概念,使得解為 x = A-1b ?,問題的提出:,例10 設(shè)方陣A可逆，則,注7: 矩陣乘法的消去率一般不成立.,補充: 但是，消去率在A可逆時成立.,,1.4 線性方程組的求解,Cramer法則,在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和線性方程組的求解,按第一列展開,= a11A11,= b1A11,,,

4、,,++ an1An1,++bnAn1, Di = b1A1i ++bnAni , i = 1,2,,n,即Ax=b,(Cramer法則). 若D=|A|0,,則Ax = b有唯一的解,由Ax = b可得,x =A1b,證明:,因為D=|A|0,,所以A可逆.,該法則的適用范圍：,解n元線性方程組,|A|0,,第二章 矩陣,2.2 可逆矩陣,求矩陣X使AXB = C.,解: 由例9可知A, B都可逆. 故AXB = C A1AXB = A1C XB = A1C XBB1 = A1CB1 X = A1CB1 .,,第二章 矩陣,2.2 可逆

5、矩陣,解：,例12. 設(shè)三階方陣A,B滿足,,第二章 矩陣,2.2 可逆矩陣,所以 A1 E 可逆.,| A1 E | 0.,(右乘 A1),(提公因子B, 注意乘法順序),左乘,第二章 矩陣,2.2 可逆矩陣,例12. 設(shè)三階方陣A,B滿足,,,第二章 矩陣,2.2 可逆矩陣,定理2.2. 方陣A可逆的充分必要條件是|A| 0.,當(dāng)n2, |A| 0時, 有,推論. 設(shè)A,B為方陣, 若AB = E(或BA = E), 則B=A1.,1. 定義: 設(shè)A為方陣, 若存在方陣B, 使得 AB = BA = E. 則稱A可逆, 并稱B為A的逆矩陣.,A為方陣, 若|A| = 0, 則稱之為奇異(或

6、退化)矩陣. 若|A| 0, 則稱之為非奇異(或非退化)矩陣. 可見, A可逆 |A| 0 A非奇異(非退化).,singular,第二章 矩陣,二. 逆矩陣的運算性質(zhì),一. 可逆矩陣,三. 克拉默法則,1. 定義,2.2 逆矩陣,定義在n階方陣上,A可逆，若 方陣B使得AB=BA=E.,A可逆 |A| 0 A非奇異(非退化).,|A1| = |A|1.,(AT)1 = (A1)T.,(AB)1 = B1A1.,2. 伴隨矩陣,若|A|0,則Ax = b有唯一的解,若|A|0,則Ax = 0 只有零解.,解n元線性方程組,|A|0,第二章 矩 陣,2.3 分塊矩陣,一. 矩陣的分塊,二. 分塊

7、矩陣的運算,線性運算,轉(zhuǎn)置,乘法,三. 分塊矩陣的應(yīng)用,2.3 分塊矩陣,一.矩陣的分塊,在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列 之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。,,,A21,,,B11,2.3 分塊矩陣,一.矩陣的分塊,在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列 之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。,,A1,,,,,,A2,,,1,2,2,處理有特點的大矩陣時需要進行分塊 分法: 將矩陣用縱線和橫線分成若干小 矩陣,每個小矩陣稱為原矩陣的子塊.,定義 以子塊為元素的矩陣稱為分塊陣.,2.3 分塊矩陣,一.矩陣的分塊,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,三種特殊的分塊方法,設(shè)A為mn矩陣, 記

8、Aj為A的第j列, i為A的 第i行(j = 1, , n, i = 1, , m), 則有如下兩 種重要的分塊方法,A = (A1, A2, , An),,其中A1, A2,, As都是方陣, 則稱A為分塊對角陣 (或準(zhǔn)對角矩陣).,二. 分塊矩陣的運算,分塊加法,設(shè)矩陣A與B是同型的, 采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,,,,,二. 分塊矩陣的運算,分塊加法,設(shè)矩陣A與B是同型的, 采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,2. 分塊數(shù)乘,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,3. 分塊乘法,設(shè)A為ml 矩陣, B為l n 矩

9、陣, 將它們分塊如下,Ai1, Ai2, , Ait的列數(shù)分別與B1j, B2j, , Btj的行數(shù)相等.,(i = 1,2,,s; j = 1,2,,r.),第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,例1 求AB:,解1：,,,,6,0,,,將矩陣分塊作乘法其分法不是唯一的 . 只要前一矩陣列的分法與后一矩陣行的分法 一致,在例1中,,例1 求AB:,解2：,其中Ai , Bi 都是同階方陣，i = 1,2, , s.,分塊對角矩陣的乘法,設(shè)A =,B =,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,4. 分塊轉(zhuǎn)置,分外層內(nèi)層 雙重轉(zhuǎn)置,AT = A1, A2, , AnT,= 1T, 2T, , mT .,

10、A1T A2T AnT,T,注意!,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,例2,,,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,4. 分塊轉(zhuǎn)置,分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置,設(shè)A, B為s 階t 階可逆矩陣,Cst,Ots ,求,解: 設(shè),, 則,解得X4 = B-1, X3 =O, X1 = A-1, X2 = A-1CB-1.,所以,5. 分塊求逆,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,則A可逆的充分必要條件是A1, A2, , As都 可逆. 且當(dāng)A1, , As都可逆時,有,6.分塊對角矩陣的逆矩陣,,,其中, A1, A2,, As 都是方陣,,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,則A可逆的充分必要條件是A1,

11、A2, , As都 可逆. 且當(dāng)A1, , As都可逆時,有,6.分塊對角矩陣的逆矩陣,其中, A1, A2,, As 都是方陣,,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,例3 設(shè)矩陣,求 A 的逆 .,,,解,設(shè)D =,證明: D = D1D2.,7. 分塊矩陣的行列式,= |A| |B|,= (1)mn |A| |B|,A,B為m,n階矩陣, |A| |B| |C| |D|,=,=,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,= |A1||A2||As|.,8.分塊對角矩陣的行列式,|A| =,A1 0 0 0 A2 0 0 0 As,,,其中, A1, A2,, As 都是方陣,,第二章 矩陣,

12、,2.3 分塊矩陣,2.3 分塊矩陣,一. 矩陣的分塊,三. 分塊矩陣的應(yīng)用,矩陣方程的求解,,分塊對角陣,按行,按結(jié)構(gòu),按列,分外層內(nèi)層 雙重轉(zhuǎn)置,轉(zhuǎn)置,乘法,二. 分塊矩陣的運算,線性運算,線性組合,三. 分塊矩陣的應(yīng)用,線性方程組的表示形式,三. 分塊矩陣的應(yīng)用,線性方程組的表示形式之一,如何解多個系數(shù)矩陣都為A的方程組？,AX1 = B1,AX2 = B2, ,AXs = Bs,,( AX1,, AXs ) = ( B1,, Bs ),A( X1,, Xs ) = ( B1,, Bs ),,矩陣方程 AX = B,A Rmn, Bj Rm , Xj Rn , j= 1,2, ,s.,,

13、,用初等行變換求解矩陣方程：,(A B),行 階 梯 陣,行 最 簡 形,矩陣方程的求解,如何解多個系數(shù)矩陣都為A的方程組？,X,,B,例4. 求解BY = A, AX = B.,解：,,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,尤其要注意AB = 0時的特殊情況:,說明B 的每一列都是齊次線性方程組 Ax = 0的一個解.,*例5,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,AB的列向量,線性方程組的表示形式之二,即,稱b是向量組 A1, A2, , An 的線性組合。,x1, x2, , xn 稱為線性組合的組合系數(shù)。,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,(AB)的列向量是A的列向量組 A

14、1, A2, , An 的線性組合,設(shè),若把A, C按列分塊，則,AB的列向量,2. 矩陣AB的列向量,若把矩陣B, C按行分塊，則,設(shè)矩陣,于是有,即C的行向量是B的行向量組1, 2,, n的線性組合.,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,3. 矩陣AB的行向量,例6. 設(shè)A是二階方陣，x是二維非零列向量， 若 ，求一矩陣C， 使得AB = BC.,解：,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,,,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,4.若,則,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,若,則,第二章 矩陣,,2.3 分塊矩陣,2.3 分塊矩陣,一. 矩陣的分塊,三. 分塊矩陣的應(yīng)用,矩陣

15、方程的求解,,分塊對角陣,按行,按結(jié)構(gòu),按列,分外層內(nèi)層 雙重轉(zhuǎn)置,轉(zhuǎn)置,乘法,二. 分塊矩陣的運算,線性運算,2. 矩陣AB的列向量,2. 矩陣AB的行向量,(A) 填空題選擇題：作為課下練習(xí),(A) 1(1,2),2(1) (B) 3(1-6,10),4(1),9,(B) 留作業(yè),每周三交作業(yè),(C) 課下提高題：有時間的話盡量做,二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4) (B) 5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*, 15,16,三. (A) 2(5) (B) 14(1,2),17,18,20,21,四. (A) 一. 4-7 二. 4-7 (B) 22(1),23,25,27,30,31*,,思考題：（學(xué)會歸納總結(jié)）,方陣A可逆的充要條件有哪些？,指派問題的數(shù)學(xué)模型,人員i能否完成工作j,人員i只能完成一項工作,工作j只能由一個人完成,總的工作時間最少,給n個工作人員x1, x2,, xn安排n項工作y1, y2,, yn. 如果第i個工作人員完成第j項工作的時間為cij , 求一個使總工作時間最少的工作分配方案.,工作分配問題 (指派問題) (Assignment Problem),思考題：請寫出線性方程組(1)(2)的系數(shù)矩陣，并用分塊矩陣描述。,